1、1苏科版八年级下数学错题集三及答案1、如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分DAB 交 DC 于点 E，连接 BE，过E 作 EFBE 交 AD 于 E。(1)求证：DEF =CBE ；(2)请找出图中与 EB 相等的线段( 不另添加辅助线和字母)，并说明理由。考点：正方形的性质, 全等三角形的判定与性质分析：利用同角的余角相等可知DEF=CBE，结合直角和等边可证明 FDECEB 所以DEF=CBE，EB=EF解答：(1)证明：EFBE，DEF+CEB=90 .CBE+CEB=90，DEF=CBE.(2)EB=EF.理由如下：AE 平分DAB，DEA=EAB=DAE，DA=DE，DA=BC，
2、DE=BC.EFBE， DEF+CEB= EBC+ CEB=90， DEF=EBC，C=D=90，FDECEB(ASA).EB=EF.2、如图,在梯形 ABCD 中,AD BC,AB=DC,AC 与 BD 相交于 P.已知 A(2,3),B(1,1),D(4,3),则点P 的坐标为(_,_).考点：等腰梯形的性质, 两条直线相交或平行问题分析：过 A 作 AMx 轴与 M，交 BC 于 N，过 P 作 PE x 轴与E，交 BC 于 F，根据点的坐标求出各个线段的长，根据 APDCPB 和CPFCAN 得出比例式，即可求出答案解答：过 A 作 AMx 轴与 M，交 BC 于 N，过 P 作 P
3、E x 轴与 E，交 BC 于 F，ADBC, A(2,3), B(1,1), D(4,3)，ADBC x 轴，AM=3，MN=EF=1，AN=31=2，AD=42=2，BN=21=1 ，C 的坐标是(5,1) ，BC=51=4，CN=41=3，ADBC ，APDCPB，ADBC=APPC=2/4=1/2，CP/AC=2/3AMx 轴，PEx 轴，AMPE， CPFCAN，PF/AN=CF/CN=CP/CA=2/3，AN=2，CN=3，PF=4/3,PE=4/3+1=7/3，CF=2，BF=2，P 的坐标是(3,7/3)，故答案为：3,7/3.23、如图,在矩形 AOBC 中,点 A 的坐标是
4、(2,1),点 C 的纵坐标是 4,则 B. C 两点的坐标分别是( ) 考点：矩形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质分析：首先过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴，过点A 作 AFx 轴，交点为 F，易得CAFBOE， AODOBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案解答：过点 A 作 AD x 轴于点 D,过点 B 作 BEx 轴于点 E,过点 C 作 CFy 轴,过点 A 作 AFx 轴，交点为 F，延长 CA 交 x 轴于点 H，四边形 AOBC 是矩形，ACOB ，AC=OB ，CAF=
5、BOE=CHO ，在ACF 和OBE 中，F=BEO=90 CAF=BOE AC=OB，CAFBOE(AAS)，BE=CF=41=3，AOD+ BOE= BOE+ OBE=90，AOD=OBE，ADO= OEB=90，AOD OBE，ADOE=ODBE ， 即 1/OE=2/3，OE=3/2 ，即点 B(3/2,3)，AF=OE=3/2，点 C 的横坐标为：(23/2)=1/2 ， 点 C(1/2,4).故选：B.4、如图ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 中点,过 E 作 EFAB 交 BC 于 F.(1)求证：四边形 DBFE 为平行四边形；(2)当ABC 满足什么条件时，四边形 DB
6、FE 为菱形，请说明理由。考点：菱形的判定， 平行四边形的判定分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得出 BD=BF，推出 AB=BC 即可解答：(1)证明：D、E 分别是 AB、AC 的中点，DE 是 ABC 的中位线，DEBC，又EFAB， 四边形 DBFE 是平行四边形；(2)当 AB=BC 时，四边形 DBFE 是菱形。理由如下：D 是 AB 的中点，BD=1/2AB，DE 是ABC 的中位线，DE=1/2BC，AB=BC，BD=DE ，又四边形 DBFE 是平
7、行四边形， 四边形 DBFE 是菱形。35、如图,ABCD，点 E. F 分别在 AB、CD 上，连接 EF，AEF、 CFE 的平分线交于点G，BEF、DFE 的平分线交于点 H.(1)求证：四边形 EGFH 是矩形。(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索, 过点 G 作MNEF, 分别交 AB、CD 于点 M、N,过点 H 作PQEF ，分别交 AB、CD 于点 P、Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形 MNQP 是菱形。请在下列框图中补全他的证明思路。小明的证明思路：由 ABCD,MNEF,PQ EF 易证, 四边形 MNQP 是平行四边形。要证MNQP 是菱形,只要证 MN
8、=NQ.由已知条件 ,MNEF, 可证 NG=NF,故只要证GM=FQ,即证MGEQFH，易证 ， ，故只要证MGE= QFH，易证MGE= GEF，QFH=EFH， ，故得 MGE=QFH，即可得证。考点：矩形的判定, 菱形的判定分析：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出FEH+EFH=90，进而得出GEH=90，进而求出四边形 EGFH 是矩形；（2）利用菱形的判定方法首先得出要证MNQP 是菱形，只要证 MN=NQ，再证MGE=QFH 得出即可解答：(1)证明：EH 平分BEF，FEH=12BEF，FH 平分DFE，EFH=12DFE，ABCD， BEF+DFE=180，FEH+
9、EFH=12(BEF+ DFE)=12180=90 ，FEH+EFH+EHF=180，EHF=180(FEH+EFH)=18090=90，同理可得：EGF=90，EG 平分AEF，EFG=1/2AEF ，EH 平分BEF，FEH=1/2BEF ，点 A. E. B 在同一条直线上，AEB=180，即AEF+BEF=180 ，FEG+FEH=1/2( AEF+BEF)=1/2180=90 ，即GEH=90四边形 EGFH 是矩形；(2)答案不唯一：由 ABCD,MNEF,PQ EF，易证四边形 MNQP 是平行四边形，要证MNQP 是菱形,只要证 MN=NQ,由已知条件：FG 平分CFE,MN
10、EF ，故只要证 GM=FQ,即证MGE QFH，易证 GE=FH、GME=FQH.故只要证MGE= QFH ，易证MGE=GEF，QFH=EFH，GEF=EFH，即可得证；故答案为：FG 平分CFE，GE=FH 、GME=FQH， GEF=EFH.6、如图,菱形 ABCD 的面积为 120cm2,正方形 AECF 的面积为 50cm2，则菱形的边长为_cm.考点：正方形的性质, 菱形的性质4分析：根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可解答：正方形 AECF 的面积为 50 ，AC= =10cm，菱形 ABCD 的面积为 1202 250BD= =24cm， 菱形的边长= =13cm.22
11、12010 (102)2+(242)2故答案为：13.7、如图，在图 1 中，RtOAB 绕其直角顶点 O 每次旋转 90，旋转三次得到右边的图形.在图2 中，四边形 OABC 绕 O 点每次旋转 ，旋转 次得到右边的图形.下列图形中，不能通过上述方式得到的是（ ）解答 A：由基本图形连续两次旋转 120得到；B：由基本图形旋转 180得到；C：由基本图形旋转 180得到；D：不可以通过旋转得到.故选 D.8、如图：把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在直线 l 上, 按顺时针方向在 l 上转动两次,使它转到ABC的位置上 ,已知 BC=1,A=30.则顶点 A 运动到 A的位置时，点 A
12、经过的路线有多长?点 A 经过的路线与直线 l 所围成的面积有多大?考点：旋转的性质, 弧长的计算, 扇形面积的计算分析：（1）点 A 经过的路线长是两段弧长，利用弧长公式计算（2）点 A 经过的路线与直线 l 所围成的面积是两个扇形的面积加上一个直角三角形的面积，按扇形面积公式和三角形面积公式计算解答：59、一个等边三角形绕中心至少旋转_ 度后能与自身重合。考点：旋转对称图形分析：根据等边三角形的中心角的度数，以及旋转对称图形的性质解答解答：等边三角形的中心角是 3603=120，把一个等边三角形旋转 120的整数倍后能与自身重合， 旋转的最小角是 120.故答案为：120.10、如图,在
13、RtABC 中, C=90,点 D 为 AB 中点,E、F 分别为边 BC、AC 上两点, 且EDF=90(1)求证： + = ； 222(2)若 BE=5， AF=12，求 EF 的长。考点：全等三角形的判定与性质， 勾股定理， 等腰直角三角形分析：（1）延长 FD 到点 G，使 DG=DF，连接 BG，易证 EF=EG，ADFBDG，可得BG=AF，DBG=A，即可求得CBG=90，即可判定BEG 是直角三角形，根据勾股定理可得 BE+BG=EG，即可解题；（2）根据（1）中结论，将 BE、AF 的值代入即可求得 EF 的长解答：(1)证明：延长 FD 到点 G，使 DG=DF，连接 BG
14、，EDF=90 ，DF=DG，DE 垂直平分 FG，EF=EG，D 是 AB 中点，AD=BD，在ADF 和 BDG 中，DF=DG ADF= BDG AD=BD，ADFBDG(SAS)，BG=AF，DBG=A，C=90 ，A+ ABC=90，CBG=ABC+ DBG=90，BEG 是直角三角形， + = ， + = ；222 222(2) + = BE=5，AF=12，222， = + =169，222EF=13.11、在ABC 中,ACB=90 ，AC=BC，P 是 ABC 内一点，且满足 PA=3，PB=1 ，PC=2，求BPC 的度数。考点：全等三角形的判定与性质 , 勾股定理的逆定理
15、, 等腰直角三角形分析：过点 C 作 CDCP，使 CD=CP=2，连接 CD，PD ，AD ，根据 AC=BC，由同角的余角相等得到夹角相等，利用 SAS 的三角形 ACD 与三角形 CBP 全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到 AD=BP=1，ADC=BPC ，在直角三角形 DCP 中，利用勾股定理求出 DP6的长，由 AD 以及 AP 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形 ADP 为直角三角形，由4+5 求出 ADC 度数，即为 BPC 度数解答：过点 C 作 CDCP，使 CD=CP=2，连接CD，PD，AD，1+2=ACB=90 =DCP= 3+2，1= 3，在CAD 和
16、CBP 中，CD=CP 3= 1 AC=BC，CAD CBP(SAS)，DA=PB=1，ADC=BPC，在等腰 RtDCP 中,4=45 ，根据勾股定理得：DP 2=CD2+CP2=22+22=8，DP 2+DA2=8+1=9,AP2=32=9，DP 2+DA2=AP2，ADP 为直角三角形,即5=90 ，则BPC= ADC=4+5=45+90=13512、如图，在正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，N 是 CD 的中点，且AMDCCM，试说明 AN 平分DAM分析：此题要充分利用 AMDCCM，再根据四边形 ABCD 是正方形，故延长 AN 交 BC 的延长线于点 E，下面只要说明
17、CE 与 AD 相等即可解答：延长 AN 交 BC 的延长线于点 EN 是 CD 的中点，DN CN又ADNECN90，且ANDENC，ADNECN，ADCE，又 AMDCCM，AD CD，AMEM，MAEE又EDAN，DANMAE ， AN平分DAM13、如图 1,ABC 是正三角形,BDC 是等腰三角形,BD=CD,BDC =120,以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN.(1)探究 BM、MN、NC 之间的关系，并说明理由。(2)若ABC 的边长为 2，求AMN 的周长。考点：等边三角形的性质, 全等三角形的判定与性质, 等腰三角形的性质
18、7分析：（1）延长 AC 至 E，使得 CE=BM 并连接 DE，构造全等三角形，找到 MD=DE，BDM=CDE，BM=CE，再进一步证明 DMNDEN，进而得到MN=BM+NC；（2）利用（1）中结论，将AMN 的周长转化为 AB、AC 的和来解答解答：(1)MN=BM+ NC.理由如下：延长 AC 至 E，使得 CE=BM，连接 DE，如图所示：BDC 为等腰三角形，ABC 为等边三角形，BD= CD,DBC =DCB,MBC=ACB=60 ，又BD=DC,且BDC=120，DBC=DCB=30 ， ABC+DBC=ACB +DCB=60+30=90，MBD=ECD=90 ，在 MBD
19、与 ECD 中，BD= CD MBD=ECD BM=CE，MBDECD (SAS)，MD=DE ，BDM=CDE，BM =CE，又BDC=120 ,MDN=60，BDM+ NDC=BDCMDN=60，CDE+NDC=60 ,即NDE=60，MDN =NDE =60，在DMN 与DEN 中，DM=DEMDN=NDEDN=DN，DMN DEN(SAS)，MN=EN，又NE=NC+CE，BM=CE， MN=BM+NC；(2)ABC 为等边三角形，AB=BC=AC=2，利用(1)中的结论得出：BM=CE，MN=EN ，AMN 的周长 =AM+MN+AN=AM+NE+AN=AM+AN+NC+CE=AM+
20、AN+NC+BM=(AM+BM)+(NC+AN)=AB+AC=2+2=4，14、如图，在平行四边形 ABCD 中，E ，F 为 BC 上两点，且BE=CF，AF=DE.求证：(1)ABFDCE；(2)四边形 ABCD 是矩形。考点：矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质分析：（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD ，AF=DE ，又因为 BE=CF，那么两边都加上 EF 后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件（2）由于四边形 ABCD 是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可解答：证明：(1)BE=CF ，BF=BE+EF，CE=CF
21、+EF， BF=CE.四边形 ABCD 是平行四边形，AB=DC.在ABF 和 DCE 中，AB=DCBF=CEAF=DE，ABF DCE(SSS).8(2)ABFDCE，B= C.四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD.B+C =180.B=C=90.四边形 ABCD 是矩形。15、如图,已知 EF 是梯形 ABCD 的中位线, DEF 的面积为 4 .,则梯形 ABCD 的面积为2_ .2考点：梯形中位线定理分析：设梯形的高为 h，根据已知DEF 的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积解答：设梯形的高为 h，EF 是梯形 ABCD 的中位线
22、，DEF 的高为 h2，DEF 的面积为 12EFh2=14hEF=4，hEF=16，梯形 ABCD 的面积为 EFh=16. 故答案为：16 .216、如图,在梯形 ABCD 中,AD BC,ABDE,AFDC，E. F 两点在边 BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形。(1)AD 与 BC 有何等量关系，请说明理由；(2)当 AB=DC 时，求证：平行四边形 AEFD 是矩形。考点：梯形, 平行四边形的性质 , 矩形的判定分析：（1）由题中所给平行线，不难得出四边形 ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形，而四边形 AEFD 也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边 AD，所以可
23、得出 AD= BC13的结论（2）根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形只要证明 AF=DE 即可得出结论解答：(1) AD= BC.理由如下：ADBC,ABDE,AF DC，13四边形 ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形。AD=BE，AD=FC，又四边形 AEFD 是平行四边形， AD=EF. AD=BE=EF=FC.AD= BC13(2)证明：四边形 ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形，DE=AB，AF=DC. AB=DC ，DE=AF.又四边形 AEFD 是平行四边形，平行四边形 AEFD 是矩形。17、如图，将ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE
24、=DC，连接 AE，交 BC 于点 F.(1)求证：ABFECF；9(2)若AFC=2D，连接 AC、BE，求证：四边形 ABEC 是矩形。考点：平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定分析：（1）先由已知平行四边形 ABCD 得出 ABDC，AB=DC， ABF=ECF，从而证得ABF ECF；（2 ）由（ 1）得的结论先证得四边形 ABEC 是平行四边形，通过角的关系得出 FA=FE=FB=FC，AE=BC ，得证解答：证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，AB DC ，AB=DC，ABF= ECF，EC=DC，AB=EC ，在ABF 和 ECF 中，ABF= EC
25、F，AFB= EFC，AB=EC ，ABF ECF.(2)AB=EC，ABEC，四边形 ABEC 是平行四边形， FA=FE，FB=FC ，四边形 ABCD 是平行四边形，ABC=D ，又AFC=2 D，AFC=2ABC ，AFC=ABC+BAF，ABC=BAF，FA=FB，FA=FE=FB=FC，AE=BC ，四边形 ABEC 是矩形。18、把边长分别为 3cm，5cm，7cm 的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 个不同的四边形，其中有 个平行四边形.考点：平行四边形的定义及表示方法分析： 根据题意把两个三角形任意相等的一条边重合，可得到一个四边形；两个三角有三组对应相等的边，把三组边分
26、别组合，即可得到全部四边形；由于三条边的长度不同，根据对边的关系确定其中平行四边形的个数.解答：答案：6，3.拼出的四边形共有 6 个，其中有 3 个平行四边形，如下图所示：19、在平行四边形 ABCD 中 ,若AB=70 ，则A=_， B=_，C=_，D=_.考点：平行四边形的性质分析：根据平行四边形的对角相等，可得A=C ，B=D；又因为平行四边形的对边平行，可得 ADBC，即可得A+ B=180，又A-B=70，解方程组即可求得平行四边形的四个角的度数解答：四边形 ABCD 是平行四边形，A= C,B= D,AD BC，A+ B=180，AB=70，A=125,B=55,C=125,D=
27、55.故答案为 125,55,125,55.1020、如图，在平行四边形 ABCD 中，BCE 、CDF 都是等 边三角形，试说明AEF 是等边三角形。考点：平行四边形的性质, 等边三角形的判定与性质分析：先证明ABEADF，再证明 ADFECF 即可解 决问题解答：证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AD=BC，ABC= ADC，ABE=ABC+CBE，ADF=ADC+CDF，BCE、CDF 都是等边三角形，CBE=60=CDF，BE=BC=AD，AB=CD=DF，ABE=ADF在ABE 和ADF 中， BE=ADABE=ADFAB=DF，ABEADFAE=AFECF=360B
28、CDBCEDCF=360 (180ADC)6060= ADC+60 =ADF，在ADF 和ECF 中，EC=ADADF=ECFDF=CF，ADFECF，AF=EF，AE=AF=EF，AEF 是等边三角形。21、如图，点 O 是ABC 内一点，连结 OB、OC，并将AB、OB、OC、AC 的中点 D. E. F. G 依次连结，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形 DEFG 是平行四边形；(2)若 M 为 EF 的中点，OM=3，OBC 和OCB 互余，求 DG 的长度。考点：平行四边形的判定与性质 分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 EFBC 且EF= BCB
29、C，DGBC 且 DG= BC，从而得到 DE=EF，DGEF ，再利用一组对边平行且相12 12等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出BOC=90，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出 EF 即可解答：(1)D、G 分别是 AB、AC 的中点，DGBC,DG= BC，12E、F 分别是 OB、OC 的中点，EFBC,EF= BC，12DG=EF,DGEF，四边形 DEFG 是平行四边形；(2)OBC 和OCB 互余， OBC+OCB=90，BOC=90，M 为 EF 的中点，OM=3， EF=2OM=6.由(1)有四边形 DEFG 是平行四边形，DG=EF=6.1122、矩
30、形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的垂线与角 BAD 的平分线相较于点 C，求证 AC=CE解答：延长 DC 交 AE 于 HABCD 矩形OA=OD ADC=BAD=90OAD= ODA CGBDDCG+CDG=90CDG+ODA=90DCG=ODA OAD=DCGDCG=ECH OAD=ECHBAF= DAF=1/2BAD=45CAF=DAF-OAD=45- OADABDC CHF=BAF=45CHF=E+ECHE=45-ECHOAD= ECHE=CAF AC=CE 方法 2：作 AMBD 于 M ABM+BAM=90ABCD 矩形OA=OD ADC=B
31、AD=90 OAD=ODAABM+ODA=90OAD= BAMBAF=DAFFAM= CAFAMBD EGBDAMEG E=FAMCAF=E AC=CE23、平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,分别添加下列条件：ABC=90 ;ACBD;AB=BC;AC 平分BAD;AO=DO.使得四边形 ABCD 是矩形的条件有_,是菱形的条件有_.(填序号)考点：矩形的判定， 菱形的判定分析：四边形 ABCD 是平行四边形，要成为矩形加上一个角为直角或对角线相等即可；要使其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可解答：要使得平行四边形 ABCD 为矩形添加：ABC=90；AO=DO2 个即可；要
32、使得平行四边形为菱形添加：:ACBD；AB=BC；AC 平分BAD3 个即可，故答案为：，。24、如图,矩形 ABCD 中,O 为 AC 中点, 过点 O 的直线分别 与AB、CD 交于点 E. F,连结 BF 交 AC 于点 M,连结DE、BO.若COB=60 ,FO=FC,则下列结论：FB 垂直平 分OC;EOBCMB;DE=EF;S AOE:SBCM=2:3.其中正确结论的个数是( )A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个考点：矩形的性质, 全等三角形的判定与性质, 线段垂直平分线的性质12分析：利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；证OMBOEB 得EOBCMB；先
33、证BEF 是等边三角形得出 BF=EF，再证DEBF 得出 DE=BF，所以得 DE=EF；由可知BCMBEO ，则面积相等， AOE 和BEO 属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即 SAOE：SBOE=AE ：BE，由直角三角形 30角所对的直角边是斜边的一半得出 BE=2OE=2AE，得出结论 SAOE：SBOE=AE：BE=1：2矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，OB=OC，COB=60 ，OBC 是等边三角形，OB=BC ，FO=FC，FB 垂直平分 OC，故正确；FB 垂直平分 OC，CMB OMB，OA=OC，FOC=EOA，DCO=BAO，FOCEOA，FO=E
34、O，易得 OBEF ，OMBOEB，EOB CMB，故正确；由OMBOEBCMB 得1=2= 3=30，BF=BE，BEF 是等边三角形，BF=EF，DF BE 且 DF=BE，四边形 DEBF 是平行四边形，DE=BF，DE=EF，故 正确；在直角BOE 中3=30，BE=2OE，OAE= AOE=30，AE=OE，BE=2AE，SAOE:SBCM=SAOE:S BOE=1:2，故错误；所以其中正确结论的个数为 3 个；故选 B25、如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，OE BC，垂足为点 E，则 OE=_.考点：菱形的性质分析：先根据菱形的
35、性质得ACBD，OB=OD= BD=3， OA=OC= AC=4，再在 RtOBC 中利用勾股定理计算出12 12BC=5，然后利用面积法计算 OE 的长解答：四边形 ABCD 为菱形，ACBD,OB=OD= BD =3,OA=OC= AC =4，12 12在 RtOBC 中，OB=3，OC=4 ，BC= =5，OE BC，32+42 OEBC= OBOC，OE= = 故答案为12 12 345 125 1251326如图，点 P 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上，且不与点 A，C 重合，过点 P 分别作边AB，AD 的平行线，交两组对边于点 E，F 和 G，H.（1）求证：PHCCFP.
36、（2）证明四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系.解答：证明：（1）四边形 ABCD 为矩形，ABCD，ADBC.PF AB，PFCD，CPF=PCH.PHAD ，PHBC， PCF= CPH.在PHC 和 CFP 中，PCH=CPFPC=CPCPH=PCF，PHCCFP.（2）四边形 ABCD 为矩形，D= B=90又EFABCD ，GHADBC ，四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形.EFAB，CPF=CAB.在 RtAGP 中，AGP=90，PG=AGtanCAB.在 RtCFP 中，CFP=90 ，CF=PFtanCPF.S 矩形 DEP
37、H=DEEP=CFEP=PFEPtanCPF；S 矩形 PGBF=PGPF=AGPFtanCAB=EPPFtanCAB.tanCPF=tan CAB，S 矩形 DEPH=S 矩形 PGBF.27如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O.过它的四个顶点分别作两条对角线的平行线相交于点 E. F. G、H.(1)当 AC、BD 具有什么关系时，四边形 EFGH 是矩形?说明理由；(2)当 AC、BD 具有什么关系时，四边形 EFGH 是菱形?说明理由。考点：矩形的判定, 菱形的判定分析：（1）当 ACBD 时，四边形 EFGH 是矩形先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明
38、EFC=90 即可（2）当 AC=BD 时，四边形 EFGH 是菱形只要证明 EH=HG 即可解答：(1)当 ACBD 时,四边形 EFGH 是矩形。证明：EFAC,HGAC，EFHG,同理 EHFG ， 四边形 EFGH 是平行四边形，ACBD ，AOD=EBD=90 ，BDFG，EFG=EBD=90，四边形 EFGH是矩形。(2)当 AC=BD 时，四边形 EFGH 是菱形。证明：由(1)可知四边形 EFGH 是平行四边形，14ACHG,AHCG，四边形 AHGC 是平行四边形，AC=GH ，同理四边形 EHDB 是平行四边形，BD=EH，AC=DB，EH=HG，四边形 EFGH 是菱形。
39、28、已知：如图，点 E、F、 G、H 分别在菱形 ABCD 的各边上，且AE=AH=CF=CG求证：四边形 EFGH 是矩形；EG=FH 。考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的性质分析：首先利用菱形的性质得到A=C，B=D ，AB=BC=CD=DA，然后根据 AE=AH=CF=CG，得到 BE=BF=DH=DG，从而证得AEH CGF ，BEFDGH，证得四边形 EFGH 是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形 EFGH 是矩形解题：证明：四边形 ABCD 是菱形，A=C，B=D，AB=BC=CD=DAAE=AH=CF=CG，BE=BF=DH=DG，AE
40、HCGF，BEFDGH，EH=FG，EF=GH，四边形 EFGH 是平行四边形，A+D=180，AHE+DHG=90 ，EHG=90，四边形 EFGH 是矩形EG=FH5.30 整理1、如图,四边形 ABCD 是正方形,ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意一点 ,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM 、CM.(1)求证：AMBENB ；(2)当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM +BM+CM 的值最小，并说明理由；(3)当 AM+BM+CM 的最小值为 3+1 时，求正方形的边长。考点：正方形的性质, 全等三角
41、形的判定, 勾股定理分析：（1）由题意得 MB=NB，ABN=15，所以EBN=45，容易证出AMB ENB；（2）根据“两点之间线段最短”，可得，当 M 点落在 BD 的中点时，AM+CM 的值最小；根据“两点之间线段最短”，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长（如图）；（3）作辅助线，过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，由题意求出EBF=30，设正方形的边长为 x，在 RtEFC 中，根据勾股定理求得正方形的边长为2解答： (1)证明：ABE 是等边三角形，BA=BE,ABE=60 .MBN=60 ，MBN ABN=ABE
42、 ABN.即MBA =NBE .又MB=NB，AMB ENB(SAS).15(2)当 M 点落在 BD 的中点时，A. M、C 三点共线，AM +CM 的值最小。如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小。理由如下：连接 MN,由(1)知 ,AMBENB，AM=EN，MBN=60 ， MB=NB，BMN 是等边三角形。BM=MN.AM+BM+CM=EN+ MN+CM.根据“两点之间线段最短”可知，若 E. N、M、C 在同一条直线上时， EN+MN+CM 取得最小值，最小值为 EC.在ABM 和CBM 中，AB=CBABM= CBMBM=BM，AB
43、M CBM，BAM =BCM ，BCM= BEN，EB=CB，若连接 EC，则BEC=BCE ，BCM= BCE，BEN=BEC ，M、N 可以同时在直线 EC 上。当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长。(3)过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F,EBF =ABFABE =9060=30.正方形的边长为2.2、(1)动手操作：如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点 c处,折痕为 EF,若ABE=20 ，那么EFC的度数为_.(2)观察发现：16小明将三角形纸片 ABC(ABAC)沿过点 A
44、的直线折叠,使得 AC 落在 AB 边上,折痕为AD,展开纸片( 如图); 再次折叠该三角形纸片 ,使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF,展平纸片后得到AEF(如图).小明认为 AEF 是等腰三角形，你同意吗?请说明理由。(3)实践与运用：将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 EF,折痕与 AD 边交于点 E,与 BC 边交于点 F;将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠,使点 A. 点 D 都与点 F 重合,展开纸片 ,此时恰好有 MP=MN=PQ(如图)，求MNF 的大小。考点：翻折变换（折叠问题）, 等边三角形的性质, 勾股定理分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得AEB=70，根据折叠重合的角相等，得BEF=DEF=55，根据平行线的性质得到EFC=125，再根据折叠的性质得到EFC=EFC=125；（2）根据第一次折叠，得BAD= CAD；根据第二次折叠，得 EF 垂直平分 AD，17根据等角的余角相等，得AEG=AFG，则 AEF 是等腰三角形；（3）由题意得出：NMF=AMN=MNF ，MF=NF ，由对称性可知，MF=PF ，进而得出MNFMPF，得出 3MNF=180求出即可
