1、第 1 页圆一. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆上 d=r;点在圆内 d dr.二. 圆的对称性: 1. 与圆相关的概念：同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距 .2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明
2、：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等
3、圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径；四. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆 .3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质: 三角形外心到三顶点的距离相等.五
4、. 直线与圆的位置关系1.设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；d 直线 L 和O 相交 .第 2 页d=r 直线 L 和O 相切 .dr 直线 L 和O 相离 .2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径 .推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和
5、三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.5. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六. 圆和圆的位置关系.1. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 dR+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-r d=R-r (Rr)(5)两圆内含 dr)2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切 ,那么切点一定在连心线上.3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七. 弧长及扇
6、形的面积1. 圆周长公式:圆周长 C=2 R (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)180l3. 圆的面积公式. 圆的面积 (R 表示圆的半径)2S4. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3602RS扇 形八. 圆锥的有关概念:1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为 r,侧面母线长 (扇形半径)是 l, 底面圆周长(扇形弧长) 为 c,那么它的侧面积是: rlclS21侧
7、 )(2l底 面侧表第 3 页九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径) 为辅助线 .4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补 ; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点
8、的连线平分两条切线的夹角。如图 6，PA，PB 分别切O 于 A、BPA=PB，PO 平分APB2弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图 7，CD 切O 于 C，则，ACD=B3和圆有关的比例线段： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图 8，APPB=CPPD如图 9，若 CDAB 于 P，AB 为O 直径，则 CP2=APPB4切割线定理切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比
9、例中项；推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图 10， PT 切O 于 T，PA 是割线，点 A、B 是它与O 的交点，则 PT2=PAPBPA、PC 是O 的两条割线，则 PDPC=PBPA5两圆连心线的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。如图 11，O 1 与O 2 交于 A、B 两点，则连心线 O1O2AB 且 AC=BC。6两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如图 12，AB 分别切O 1 与O 2 于 A、B ，连结 O1A，O 2B，过 O2 作 O2CO 1A 于C，公切线长为 l，两圆的圆心距为 d，半径分别为 R，r 则外公切线长：_图 6_P_O_B_A第 4 页22)(rRdL如图 13，AB 分别切O 1 与O 2 于 A、B ，O 2CAB，O 2CO 1C 于 C，O 1 半径为 R，O 2 半径为 r，则内公切线长： 2)(rRdL_O_B_D_P_A_C图 8 _图 9_P_A _B_C_D_O_图 10_B_D_C_O_A_T_P_图 11_B_C_A_O_2_O_1_O_2_d_C_R_r_A_B_O_1_图 13_O_C _D_A_B_图 7
