1、专题讲座高中数学“函数的概念与性质”教学研究李梁 北京市西城区教育研修学院 函数是中学数学中的重点内容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.本专题内容由四部分构成：关于函数内容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析.研究函数问题通常有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等.一、关于函数内容的深层理解（一）函数概念的发展史简述数学史角度：早期函数概念（Descartes，15961650
2、 引入坐标系创立解析几何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）几何角度；Newton，16421727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz，16461716 引入常量、变量、参变量等概念；Euler 引入函数符号 ，并称变量的函数是一个解析表达式代数角度；Dirichlet，18051859 提出 是 与之间的一种对应的观点对应关系角度 ；Hausdorff 在集合论纲要中用“序偶”来定义函数集合论角度.Dirichlet：认为怎样去建立 与 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的 值， 都有一个确定的值
3、，那么 叫做 的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）.Veblen，18801960 用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象.（二）初高中函数概念的区别与联系1初中函数概念：设在某个变化过程中有两个变量 ，如果对于 在某个范围内的每一个值， 都有唯一的值与它对应，我们就说 是 的函数， 叫自变量， 叫 的函数.2高中函数概念：（1）设 A， B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对 A 中的任意一个元素x
4、，在 B 中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射.记作，其中 叫原象， 叫象.（2）设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这种映射叫做集合 A 上的一个函数.记作 .其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 A）叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.（3） 函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象.构成函数的三要素：定义城，值域和对应法则，其中定义域和对应法则是核心. （三）函
5、数在整个数学知识体系中的地位及作用函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射；函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.（四）函数的概念与性质结构框图（五）函数的概念与性质教学重点和难点教学重点：1函数的概念2函数的基本性质3基本初等函数
6、的图象和性质教学难点：1函数概念的理解2对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握3运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题二、函数概念与性质的教学建议：（一）如何深入把握函数的概念？1映射与函数的教学建议：教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析：例 1：设集合 和 都是自然数集合 . 映射 把集合 中的元素 映射到集合 中的元素 , 则在映射 作用下, 2 的象是_；20 的原象是_.分析：由已知，在映射 作用下 的象为 .所以，2 的象是 ；设象 20 的原象为 ，则 的象为 20，即
7、.由于 ， 随着 的增大而增大，又 ，所以 20 的原象是 4.这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象. 能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于函数 性质的探究，具有一定的综合程度.2函数的定义域问题：确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确自变量的取值集合.教学中，教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题：例 2：求下列函数的定义域：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；解：（1）由 ，得 ，所以 或 ，所以 或.所以，所求函数的定义域为 .（2）由 得， 或 .所以
8、，所求函数的定义域为 .（3）由 得 ，且 ， ，所以，所求函数的定义域为（4）由 得 即 所以 .所以，所求函数定义域为 .例 3：如图，用长为 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为 ，求此框架围成的面积 与 的函数关系式，并指出定义域. 解:根据题意, . 弧长为 ，所以 . 所以， . 根据问题的实际意义. . 解 得 .所以，所求函数定义域为 .上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.（1）给出函数解析式求定义域（如例 2），这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.中学数学中常见的对变量有限
9、制的运算法则有： 分式中分母不为零； 偶次方根下被开方数非负； 零次幂的底数要求不为零； 对数中的真数大于零，底数大于零且不等于 1； ，则 .（2）在实际问题中求函数的定义域（如例 3）. 在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制 , 还应考虑实际问题对自变量的限制.另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域.3函数的对应法则问题：确定函数的对应法则（即求函数的解析式）是有关函数概念中的重要问题，教学中教师可以设置如下相关题组，和学生共同解决.例 4：（1）已知 ，求 的解析式；（2）已知 ，求
10、 的值；（3）如果 为二次函数， ，并且当 时， 取得最小值 ，求的解析式；（4）已知函数 与函数 的图象关于直线 对称，求 的解析式.分析：（1）求函数 的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决（1）这样的问题.方法一： . 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则 是“原象对应于原象除以原象的平方减 1”.所以， .方法二：设 ,则 .则 ，所以 .这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.（2）用“凑型”的方法， .所以 ，.（3）因为 为二次函数，并且当 时， 取得最小值 ，所以，可设 ，又 ，所以 ，所以 .（4）这个问题相当于已知 的图象
11、满足一定的条件，进而求函数 的解析式. 所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求 的解析式.设 的图象上任意一点坐标为 ，则 关于 对称点的坐标为，由已知，点 在函数 的图象上，所以，点 的坐标 满足 的解析式，即 ，所以， .由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有像（1）（2）所用到的“凑形”及“换元”的方法；有像（3）所用到的待定系数法；也有像（4）所用到的解析法.值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.（二）教学中如何突出函数性质的本质？函数的性质主要包括函数的单
12、调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用. 这部分内容常用到数形结合的思想方法.1关于基本概念的理解：（1）设函数 的定义域为 ，如果对于 内的任意一个 ，都有 ，且 ，则这个函数叫做奇函数.设函数 的定义域为 ，如果对于 内任意一个 ，都有 ，且，则这个函数叫做偶函数.由奇函数定义可知，对于奇函数 ，点 与点 都在其图象上.又点 与点 关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以 轴为对称轴的轴对称图形.（2）一般地，设函数 的定义域为 ，区间 .如
13、果取区间 中的任意两个值 ， ，改变量 ，则当 时，就称函数 在区间 上是增函数；当 时，就称函数 在区间 上是减函数.如果一个函数在某个区间 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 上具有单调性，区间 称为单调区间.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.（3）一般地，对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域中的每一个值时， 都成立，那么就把函数 叫做周期函数，不为零的常数 叫做这个函数的周期.（4）一般地，对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域中的每一个值时， 都成立，则函数 的图象关于直线 对称.这四个概念都比较抽象，建议讲述相关
14、概念时采用数形结合的手段，不断揭示概念的几何背景，进而完善学生对概念的认识.2关于函数的奇偶性问题：对于函数的奇偶性，要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组：例 1：判断下列函数的奇偶性.（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） .解：（1）解 ，得到函数的定义域为 或 ，关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数.（2）函数的定义域为 ，但是，由于 ， ，即 ，且 ，所以此函数为非奇非偶函数.（3）函数的定义域为 ，又 ，所以此函数为偶函数.（4）解 ，得 ，又 ，所以此函数为奇函数.（5）函数的定义域为 ，又 ，所以此函数为奇函数.通过本例及函数奇偶性的定义，进一步可以得
15、到下面几个结论： 一个函数是奇（或偶）函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； 是奇函数，并且 在 时有定义，则必有 ； 既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为 ，等.判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： 判断函数的定义域是否关于原点对称； 考察 与 的关系.由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类.例 2：已知 为奇函数，当 时， ，（1）求 的值；（2）当 时，求 的解析式. 解：（1）因为 为奇函数，所以 .（2）方法一: 当 时, .所以， .方法二:设 是 在 时图象上一点,则 一定在 在 时的图象上.所以， ， .上述三个例子分
16、别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解.3关于函数的单调性问题：例 3：用函数单调性定义证明，函数 在区间 上为增函数. 证明：设 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ， ，所以 ，函数 在区间 上为增函数.例 4：设 是定义域为 的奇函数，且它在区间 上是减函数.（1）试比较 与 的大小；（2）若 ，且 ，求证： .解：（1）因为 是奇函数，所以 ，又 在区间 上是减函数，所以 ，即 .（2）因为 ，所以 异号，不妨设 ，因为 ，所以 ，因为 ， ， 在区间 上是减函数，所以 ，因为 是奇函数，所以 ，所以 ，即 .总之，函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质，其与其它
17、问题的联系、自身的应用都很广泛，在教学中要予以充分注意.（三）怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握？基本初等函数包括: 二次函数、指数函数、对数函数和幂函数.函数的图象上直观地反映着函数的性质, 学习函数的“捷径”是熟知函数的图象. 熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图.掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑.函数的定义（通常情况下是解析式）决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画
18、出函数的图象，进而直观的发现函数的性质.1关于二次函数的处理：对于二次函数，初中已有研究，但高中阶段处理二次函数的视角又和初中有所不同.例如：设 是实数，证明关于 的方程 有两个不相等的实数解.（初中、高中的不同处理方法）教学中可以参考如下的题目：例 1：（1）如果二次函数 在区间 上是增函数，则的取值范围是_.（2）二次函数 的最大值恒为负，则 的取值范围是_.（3）函数 对于任意 均有 ，则 ，的大小关系是_.解：（1）由于此抛物线开口向上，且在 上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴 或与直线 重合，或位于直线 的左侧，于是有 ，解之得 .（2）分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的
19、充要条件是“二次项系数，且判别式 ”，即 解得 .（3）因为对于任意 均有 ，所以抛物线对称轴为 .又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得 .例 2、已知二次函数 的对称轴为 ，且图象在 轴上的截距为 ，被 轴截得的线段长为 ，求 的解析式.解：解法一：设 ，由 的对称轴为 ，可得 ；由图象在 轴上的截距为 ，可得 ；由图象被 轴截得的线段长为 ，可得 均为方程 的根.所以 ，即 ，所以 .解法二：因为图象被 轴截得的线段长为 ，可得 均为方程 的根.所以，设 ，又 图象在 轴上的截距为 ，即函数图象过 点.即 . 所以 .二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重.二次函数的解析
20、式有三种形式：一般式 ；顶点式 ，其中 为顶点坐标；双根式 ，其中 为函数图象与 轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根.例 1、2 两个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用.2关于指数函数、对数函数和幂函数的处理：这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型，教学中建议采用如下问题突出相关函数性质的应用. 例 3、比较下列各小题中各数的大小：（1） 与 ； （2） ； （3） 与 ；（4） 与 ； （5） 与 ； （6） .分析：（1） 是减函数, .（2）函数 在区间(0, + )上是增函数，所以 ，函数 在区间(
21、0, + )上是减函数，所以 ，所以 .（3）由于 ,所以 .（4）利用幂函数和指数函数单调性. .（5）因为 , .根据不等式的性质有 .（6）因为 ，所以 ，即 ；比较 与 ，只需比较 与 ，因为 是增函数，所以只需比较 与 的大小，因为 ，所以 ，所以 ，综上， .例 4：已知 ，比较 的大小.分析：方法一（作商比较法），又 ，所以 ，所以 ，所以 .方法二（作差比较法），因为 ，所以 ， 所以 ，即 .方法三（构造函数）令 ，将 看作是关于 的一次函数，因为 ，所以此函数为减函数，又 ，所以 ，即 .两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法（包括“作差比较”与“作商比较
22、”，如例 4 的方法一与方法二），或者利用函数的单调性来比较（如例 3（1）（2）（3），例 4 的方法三）. 如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较（如例 3（4）（5）（6）.三、学生学习中常见的错误分析与解决策略例 1：下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）（A） , （B） ,（C） , （D） ,易错点： 定义域； 对应法则； 函数的概念.错因分析： 忽视函数的定义域； 不清楚函数概念的实质，如（B）中表示自变量的字母不同，就误认为不会是同一个函数.解题策略：判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与对应
23、法则是否完全相同.一般有两个步骤：（1）在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致.（2）对解析式进行合理变形的情况下，看对应法则是否一致.分析：（A）（C）（D）中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数.（B）中两个函数的定义域相同，化简后为 及 ，对应法则也相同，所以选（B）.这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握，同时突出映射与函数概念的联系.例 2：已知函数 的定义域为 ，求函数 及 的定义域.易错点： 对应法则定义域； 定义域的概念.错因分析： 对对应法则的符号不理解； 不清楚定义域的含义.解题策略：此题的题设条件中未给出函数 的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间
24、的相互制约关系明确两件事情：定义域是指 的取值范围；受对应法则 制约的量的取值范围在“已知”和 “求”当中是一致的 .那么由 的定义域是 可知法则 制约的量的取值范围是 ，而在函数 中，受 直接制约的是 ，而定义域是指 的范围，因此通过解不等式 得 ，即 的定义域是 . 同理可得 的定义域为 .例 3：设函数 在 上有定义， 的值不恒为零，对于任意的 ，恒有成立，则函数 的奇偶性为_.易错点： 抽象函数； 对“恒成立”的理解.错因分析： 抽象函数的有关性质； 对“恒成立”的理解不清晰，不能将其转化为所需求的结构.解题策略：关于对抽象函数“ ”的使用一般有以下两个思路：令 为某些特殊的值，如本题
25、解法中，令 得到了 .当然，如果令则可以得到 ，等等.令 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令 .得到 ，在某些情况下也可令 ，等等.总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候，要有试一试看的勇气.解：令 ，则 ，所以 ，再令 ，则 ，所以 ，又 的值不恒为零，故 是奇函数而非偶函数.例 4：已知函数 是定义域为 的单调增函数.（1）比较 与 的大小；（2）若 ，求实数 的取值范围.易错点： 函数概念； 增函数.错因分析： 对函数概念中的对应法则的理解不清楚； 没有理解增函数概念的实质，不会将其应用于解决问题.解题策略：回顾单调增函数的定义，在 ， 为区间任意两
26、个值的前提下，有三个重要的问题： 的符号； 的符号；函数 在区间上是增还是减.由定义可知：对于任取的 ，若 ，且 ，则函数 在区间上是增函数；不仅如此，若 ，且函数 在区间上是增函数，则 ；若 ，且函数 在区间上是增函数，则 ；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着自然的联系，请结合例 4 加以体会.解：（1）因为 ，所以 ，由已知， 是单调增函数，所以 .（2）因为 是单调增函数，且 ，所以 ，解得 或 .四、学生学习目标检测分析（一）课程标准中的相关要求1函数 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对
27、应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。 学会运用函数图像理解和研究函数的性质。2指数函数 通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 理解指数函数
28、的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。3对数函数 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 互为反函数。（ a 0, a1） 4幂函数通过实
29、例，了解幂函数的概念；结合函数 y=x, y=x2, y=x3, y= , y= 的图像，了解它们的变化情况。（二）高考考试内容与要求1函数 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数. 了解简单的分段函数，并能简单应用. 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 会运用函数图像理解和研究函数的性质.2指数函数 了解指数函数模型的实际背景. 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函
30、数图像通过的特殊点. 知道指数函数是一类重要的函数模型.3对数函数 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点. 知道对数函数是一类重要的函数模型； 了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）.（三）两个典型高考题目剖析：例 1（2010 年全国卷 理 8）已知函数 .若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）分析：本题的知识涉及对数函数的图象和性质，函数图象的变换，利用导数研究单调性，不等式中的均值定理等内容；涉及到数形结合与等价转化的数
31、学思想，有一定的综合性.思路一：因为 ，即 ，所以 .因为函数 在 上单调递增，由 ，得 ，不合题意；由，得 .又因为 ，所以 ，且 .从而 ，其中 .令 ，则 ，当 时， ，所以函数在区间 上单调递增.由此可知， ，故 的取值范围是，正确选项是（C）.思路二：函数 的图象如右图所示.因为，且 ，从而有 ，且 .以下同解法一.本题颇有些“绵里藏针”，如果未注意到 的隐含条件，而直接利用均值定理， ，从而得出的选 A 或 B 的错误结论.本题对于函数与导数考查的深刻性与灵活性可见一斑.例 2（2010 年北京卷文 14） 如图放置的边长为 1 的正方形沿 轴滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系
32、是 ，则 的最小正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图象与 轴所围成区域的面积为_.说明：“正方形 沿 轴滚动”包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动. 沿 轴正方向滚动指的是先以顶点 为中心顺时针旋转，当顶点 落在 轴上时，再以顶点 为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形 可以沿 轴负方向滚动.分析：不难想象，从某一个顶点（比如 ）落在 轴上的时候开始计算，倒下一次点落在 轴上，在倒下一次 点落在 轴上， .这个过程中四个顶点依次落在了 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长 1，因此该函数的周期为 .下面考察 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动， 点从原点开始运动的时候，首先是以 点为圆心
33、， 为半径作圆周运动（ 圆弧）；当 点落在轴上后，再以 点为圆心，为半径作圆周运动（ 圆弧）；当 点落在 轴上后，再以 点为圆心， 为半径作圆周运动（ 圆弧）；最终当 点落在 轴上后，以点 为圆心作圆， 点在 轴上保持不动，因此 在其两个相邻零点间的图象如下：所以， 在其两个相邻零点间的图象与 轴所围成区域的面积为 .数与形的运动变化是近几年数学高考的热点问题，如何认识和刻画图形的运动，并揭示相应的数量关系，是分析和解决这类问题的两个关键点.互动对话【参与人员】黄 炜：北京八中陈龙清：北京师大二附中李 梁：北京市西城区教育研修学院【互动话题】1初中已经有函数概念了，在高中阶段为什么重新加以定义
34、？主要内容：教师将结合具体教学案例，对高中函数概念的建立以及初、高中函数概念的区别与联系，对教师的教学提供合理化建议。2反函数的要求变化后怎样处理这部分教学？主要内容：课程标准削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数 与对数函数 ( ， )互为反函数，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。教师介绍教学实践中的经验，以及一些灵活处理。3幂函数的教学实践主要内容：课程标准要求结合函数 的图象，了解幂函数的变化情况。由于幂函数图象的复杂性，这一具体要求如何在课堂教学中加以落实？话题 3 将围绕教学中的灵活处理给教师一些参考意见。（二附中陈龙清案例）话题 4：函数的单调性是教学
35、难点，新课程背景下如何实现突破？主要内容：函数的单调性及其应用是教学难点，教学过程中如何把握其本质特征，掌握好这一核心性质，本话题将通过一个教学案例加以分析，为教师提供教学建议。案例评析【案例信息】案例名称：幂函数授课教师：陈龙清（北京师大二附中）评课教师：李梁（北京市西城区教育研修学院）【课堂实录】【案例评析】一、总体构思：本节课内容选自人教 B 版必修 1 第三章第 3.3 节课程标准中对本部分内容的要求是：了解幂函数的概念，结合函数 的图象，了解它们的变化情况本节课注重在函数的图象与性质的学习中，培养学生的探究能力，渗透科学的研究问题的方法（研究函数性质与图象的一般方法），努力使学生由“
36、学会”向“会学”转变同时借助信息技术（图形计算器）辅助学生探究，帮助学生揭示规律这与新课标倡导“积极主动、勇于探索”的学习方式，注重提高数学思维能力，注重信息技术与数学课程的整合等精神相吻合此外，课堂上注重体现以人为本的原则，结合学生的能力基础（建构理论）、结合教材的特点（难易度），在教师引导的基础上设计了“必选”和“自选”环节，这样既突出重点，又照顾到不同层次的学生，对提高学生思维能力大有好处二、本节课的教学框架：1、类比指数函数的概念引导学生观察归纳得出幂函数的概念；2、通过设问启发学生思考如何研究一类未知的函数；3、让学生从熟悉的 5 个具体幂函数出发，结合图象来观察、归纳幂函数的性质；
37、4、让学生继续取 的其它数值进行研究，抓住学生展示的结果进一步归纳幂函数的性质；5、演示幂函数的图象随着幂指数 的变化而变化的情况，使学生对幂函数有一个整体的认识；6、通过例题巩固对知识的理解与掌握，同时体验成功的喜悦；7、师生共同小结，归纳思想方法。新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高数学思维能力，注重信息技术与数学课程的整合等理念在本节课中得到了比较充分的体现三、本节课的主要特色：1、敢于放手让学生自主探究，舍得花时间课堂上留给学生充分的时间加以探究，让学生动手操作、相互讨论，共同研究当学生充分参与到教学过程中时，对知识的理解才会达到一定的深度2、恰到好处地应用现代信息技术：（
38、1）通过实物投影展示学生作品能及时反馈学生的情况；课堂上教师及时展示学生的探究结果，及时反馈教学情况，并通过对典型错误的纠正使学生对于知识的理解达到一定深度（2）教师演示课件虽然简单，但正好与学生的归纳形成很好的对照，对突破难点起到了很好的作用，同时对学生课后继续研究提供引导3、除运用技术辅助，从图象角度观察归纳以外，也关注从函数解析式或函数性质本身进行研究，分别从形、数两个角度加以印证，更好地揭示数学本质4、课堂上教师灵活应变，变现了较好的基本素质。在归纳的过程中，不仅不怕学生提出问题，反而灵活地抓住这些问题展开教学，如学生提出的奇偶性问题，教师迅速“捕捉”这一信息，注意到其普遍性，因势利导
39、，引发学生集体关注，产生良好的教学效果5、教学体现对不同学生的不同要求：（1）熟悉图象的学生自己描点画图，不熟悉的借助图形计算器画出图象，不强求一致，能使学生较快地观察图象归纳性质，体现对不同学生有不同的要求（2）根据学生层次差异较大，设置必选环节和自选环节，调动学生的积极性，满足不同层次学生的需求思考与活动1请尝试构建函数的概念与性质的知识结构框图，可参考教科书中的分章结构图，明确函数的概念与性质的结构体系.2思考下述问题：已知实数 满足等式 ，下列五个关系式： ； ； ； ； .其中不可能成立的关系式的序号为_ . 参考答案：、思考：本题考查的知识点有哪些？解答本题的过程中用到哪些数学思想
40、？用到哪些具体方法？对于本题给出一般性的结论.3针对“函数的概念”这节课写一份教学设计，并完成教学实录.学员分组进行教学设计的交流与反思，并对教学实录中的各重要教学环节展开评述，重点放在对教学目标的达成以及教学方法的选择上.最后分别完成本节课的教学反思.参考资料【相关资源】1.从单调性概念教学片段看数学语言转换的教学(PDF)2.函数概念的发展与比较3.数学概念学习的一般理论【参考文献】1参考书目：新专题教程：集合与函数（高中数学 1）陈德燕，华东师范大学出版社，2009412网上文章：为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？作者：王尚志，张怡慈文章来源：整体把握与实践高中数学新课程3网上
41、文章：函数与方程的思想在解题中的应用中学数学研究2008 年第 2 期文章作者：罗建宇函数概念的发展与比较摘要：函数概念是中学数学重要概念之一，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。本文从自 17 世纪下半叶到现在 300 年来函数概念的纵向历史研究，以及中西方几种不同课程观下函数概念的横向比较入手，对函数概念的教学方面提出一些观点与看法。关键词：函数 函数概念 数学教学函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观 300 年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次
42、性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。1、函数概念的纵向发展11 早期函数概念几何观念下的函数十七世纪伽俐略(GGalileo，意，15641642)在两门新科学一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到 17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候
43、，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。12 十八世纪函数概念代数观念下的函数1718 年约翰贝努利(BernoulliJohann，瑞，16671748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，表示其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18 世纪中叶欧拉(LEuler，瑞，17071783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰贝努利给出
44、的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。13 十九世纪函数概念对应关系下的函数1822 年傅里叶(Fourier，法，17681830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823 年柯西(Cauchy，法，17891857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽
45、然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。1837 年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859)认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的 x 值，y 都有一个或多个确定的值，那么 y 叫做 x 的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说
46、的经典函数定义。等到康托尔(Cantor，德，18451918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，18801960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、面）14 现代函数概念集合论下的函数1914 年豪斯道夫(FHausdorff)在集合论纲要中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于 1921 年用集合概念来定义“序偶”
47、，即序偶(a，b)为集合a，b，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为，若对集合 M 的任意元素 x，总有集合确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f(x)。元素 x 称为自变元，元素 y 称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20 世纪 40 年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac 函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于 1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac 函数等概念
48、统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。2、函数概念的横向比较函数概念，作为世界各国学生必修的内容，各国对其分配设置、处理方式不尽相同。下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较：函数概念引入学习深化的过程比较中国：初三时引入函数概念，强调学生对于函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。高一时用“映射”来刻画函数概念。法国：四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。七年级，用图表表示情景，通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。八年级，能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不给出严格定义。九、十年级，用表格、图表处理一些其他领域的问题，定
49、义处理十分谨慎。高中时，大量增加函数内容。日本：小学四年级开始接触函数关系的初步概念，对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表来表示，用式子简洁的表示数量关系。中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段，渗透函数思想。美国：九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系。德国：初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。英国：由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图象，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。21 函数概念引入方式上的差异我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入
