1、1一、二叉树模型中的参数估计1.1 二叉树参数估计算法原理想要预测股价二叉树，在知道初始值的前提下，还需要知道模型中的的 u和 d，但对于一支只知道对应于日期的股票价格，我们应该进行怎样的数据处理呢？下面通过实证数据对二叉树模型中的参数进行估计。原理：Hull-White 算法令 ，并用如下公式计算 u 和 d:21p tdui2)(1我们假设：，kkSX101这里 是独立的伯努利随机变量，kX 21/Pr/Pr 11 dSuSkk则我们可以得出 和 的合理估计值为：tut2nkknk SXU111 )/()(其中： )/(1212nkkUnSsU和 是来自实际市场数据 的样本均值和样本方差，
2、我们可2s nS，、 202以得出 和 的估计值为： utsUu则： ttdu11.2 举例应用我选用中国农业银行 2013 年的股票价格，具体数据见附件 1.由表可知， , ，这个二叉树中所用的01986.01986.U058.s和与数据的 相同，公式 u 和 d 可以简化成：tt561420SsU做 4 期二叉树图为：这里的 是一天，我们通过选择更大的时间间隔，令 ，即以一周为t 7t一个时间段，则有：56.0.923)7(1150SsUdu4 期二叉树图变为：3再 令即以半个月为一个时间段，则有：15t1.072)5()1sUu98d6.50S4 期二叉树图又变为：由于该题的 可以改变，
3、时间间隔越长，股价“分叉” 得更快。t二、 几何布朗运动估计与模拟2.1 几何布朗运动参数估计原理令 代表某股票在 时刻的价格，由以下公式给出 S 的模型。)(tStSdBtd其中， 是常量，B 服从布朗运动，而该方程的解就是几何布朗运动。、即：)2/(exp0tStt 其中， 是均值为 0，方差为 t 的正态随机变量，由此得到的就是股价的t几何布朗运动模型。我们将采用修正的股价模型对欧式看涨期权进行定价，在此之前，要对股价模型进行参数估计，即波动率 和漂移率 。假设我们得到了在一段较长时间0, T内的股价数据记录，这段时间由 n 个长度相等的子区间 组成，再假设我们知道每个子区间末的股价，将
4、股价表示t为：Si：第 i 个子区间末的股价样本观测值为 n+1 个；令 表示均值，则：U4niiU1样本方差用 S2 表示，则：212)()(niiS而 U 的观测值的均值为 ，方差为 。t/(2t2即：tU)/(2S2最后算的参数 和 为：及t/2tS/而对于 ，则需要随机产生一系列标准正态分布，通过累加处理获得计算所需tB要的值。也可运用对数正态分布模型,即：2(/)0TWTSe其中， 是一个均值为 0，方差为 T 的随机正态分布变量， 的获取与 相TWTtB仿。2.2 举例应用我选用中国农业银行 2013 年的股票价格，具体数据见附件 2.计算股价，先随机生成均值为 0，方差为 n 的
5、正态分布随机数，而后进t行处理生成预测值，结果如下：而后将预测值与实际值进行比较，得到：5根据图可直观地看出，预测值的波动率比较大，整个曲线趋势很不平稳，因此需要进行修正；于是，再随机生成均值为 0，方差为 1 的标准正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下：而后将预测值与实际值进行比较，得到：6由此可以看出，拟合程度还是很好的，可以用来预测未来几期的股票价格。预测未来两个月的股价，结果如下：三、B-S 模型及多期二叉树的期权定价3.1.B-S 期权定价公式：假设有一股票现价为 ，V 是看涨期权的价格，0S无 风 险 利 率股 价 漂 移 率股 价 波 动 率到 期 时 间执 行 价r
6、XT看涨期权 V 值可表示为： )()(210dNXedSVrT其中：72/011()ln/)()xNxPZedSXrTd21T对于欧式看跌期权的价格 P，可表示为：；012()()rSNdXed3.2 举例应用我选用了 2013 年 11 月 16 日的执行价，而后通过运用 BS 公式及多期二叉树计算期权价格的方式，将实际值与两方法的预测值进行比较，而后进行分析，详细数据见附件 3。计算结果数据：再将预测所得数据与实际值进行拟合比较，得到如下图：从该图主观地看出，三种期权的价格的趋势基本上一致，拟合程度也比较8高，但对来说，BS 的拟合程度更好一点。这样相对来说主观了一点，接着对数据进行再一
7、次的处理分析：最后算的，多期二叉树的预测误差的方差为：0.162756979，而几何布朗运动的预测误差的方差为：0.15752995 ，由此也可以得出，几何布朗运动拟合程度更好一些。四、对冲4.1 做题思路计算对冲，即计算 值， ，而 ，对一1()Nd201ln(/)(/)SXr只股票，在一年的时间里，假设我们每周进行一次对冲，那每周相应的对冲值又该如何计算呢？在解这个题目时，最重要的计算出 的值，在第一周时， 为初始价，但0S0S到了第二周， 有所变动，它的值为： ，而对于0S 2exp(/)TTW，其值等于到期时间周数与总周期数的比值。对于 ,先产生随机数，而后再将它转换为正态分布随机数。
8、4.2 举例应用对于附件 2 里的数据，T=0.51506849,S0=55.56,X=50,sigma=0.20203053, miu=0.724348005，r=0.04, 假设卖出 1000 股股票，在这样的情况下，实现对冲为：9课程小结：对于金融数学这门课程，一个多星期的计算机操作，让我惊叹。突然间才发现，这是一门综合性特别强的学科，才明白自己在某些知识点的掌握上拿捏得不是很好，所以做起来还是有一定的挑战性的，可能在学习理论知识的时候，这样的缺陷不是暴露的特别明显。一开始决定编写 C 语言，是因为自己电脑上安装了这一软件，如果赶不上进度自己可以补一下，最后才发现自己这一举动是那么的正确
9、，因为自己在 C 这方面学的不扎实，下课后，我还不得不窝在电脑前一次次修改程序，不过看到自己的程序可以完美实现的时候，真的真的特别开心， “废寝忘食 ”的程序员生活，稍稍体验了一把，才可以懂得他们为什么会有很大的情绪波动。在做这个课程设计的时候，最麻烦的是计算积分与产生正态分布随机变量，这个涉及到了数值计算方法和概率统计的知识，自然，C 语言是基础，在计算积分的时候，我运用了复合梯形公式，但在 n 的取值上遇到了一点问题，不能很好地把握它的取值。在后面进行分析比较时，我运用了统计预测与决策的相关知识。总的来说，这一个星期真的过的特别充实，懂得了时间的概念。但是时间比较紧张，我们要做的内容又比较
10、多，做的还是不够精细。10附 录源程序如下：欧式看涨期权：#include “stdio.h“#include “stdlib.h“#include “math.h“#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v;float aNN+1;printf(“请输入初始价 s0:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入每期利率 i:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入增长因子 u:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入下降因子 d:n“);scanf(“%f“,printf(“请输入
11、执行价 X:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入期数 n:n“);11scanf(“%d“,r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q;printf(“股价二叉树为:n“);for(k=0;k=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v;if(anjX)anj=anj-X;else anj=0;printf(“%f “,anj);printf(“n“);for(k=n-1;k=0;k-)for(j=k+1;j=1;j-)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1);printf(“%.6lf “,akj);
12、printf(“n“);printf(“欧式看涨期权定价为: “);printf(“%f n“,a01);12欧式看跌期权:#include “stdio.h“#include “stdlib.h“#include “math.h“#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t, w,v;float aNN+1;printf(“请输入初始价 s0:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入每期利率 i:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入增长因子 u:n“); scanf(“%f“,printf(“请输
13、入下降因子 d:n“);scanf(“%f“,printf(“请输入执行价 X:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入期数 n:n“);scanf(“%d“,r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q;printf(“股价二叉树为:n“);for(k=0;k=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v;if(anj=0;k-)for(j=k+1;j=1;j-)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1);printf(“%f “,akj);printf(“n“);printf(“欧式看跌期权定价为: “);p
14、rintf(“%f n“,a01);欧式向上敲出障碍看跌期权：#include “stdio.h“#include “stdlib.h“#include “math.h“#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;float aNN+1;printf(“请输入初始价 s0:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入每期利率 i:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入增长因子 u:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入下降因子 d:n“);scanf(“%f“,printf(
15、“请输入执行价 X:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入期数 n:n“);scanf(“%d“,printf(“请输入向上敲出障碍期权 Q:n“); scanf(“%f“,14r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q;printf(“股价二叉树为:n“);for(k=0;k=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v;if(anj=0;k-)for(j=k+1;j=1;j-)if(akj=1;j-)16w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v;if(anjXk-)for(j=
16、k+1;j=1;j-)if(akj=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v;if(anjQ)anj=X-anj;else anj=0;printf(“%f “,anj);printf(“n“);for(k=n-1;k=0;k-)for(j=k+1;j=1;j-)if(akjQ)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1);elseakj=0;printf(“%f “,akj);18printf(“n“);printf(“欧式向下敲出障碍看跌期权定价为: “);printf(“%f n“,a01);欧式向下敲出障碍看涨期权：#include
17、“stdio.h“#include “stdlib.h“#include “math.h“#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;float aNN+1;printf(“请输入初始价 s0:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入每期利率 i:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入增长因子 u:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入下降因子 d:n“);scanf(“%f“,printf(“请输入执行价 X:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入期数
18、n:n“);scanf(“%d“,printf(“请输入向下敲出障碍期权 Q:n“); scanf(“%f“,r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q;printf(“股价二叉树为:n“);for(k=0;k=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v;if(anjXelse anj=0;printf(“%f “,anj);printf(“n“);for(k=n-1;k=0;k-)for(j=k+1;j=1;j-)if(akjQ)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1);elseakj=0;printf(“%f “,a
19、kj);printf(“n“);printf(“欧式向下敲出障碍看涨期权定价为: “);printf(“%f n“,a01);美式看跌期权：#include “stdio.h“#include “stdlib.h“#include “math.h“#define N 100main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,T;float aNN+1;printf(“请输入初始价 s0:n“); scanf(“%f“,20printf(“请输入每期利率 i:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入增长因子 u:n“); scanf(“%f“
20、,printf(“请输入下降因子 d:n“);scanf(“%f“,printf(“请输入执行价 X:n“); scanf(“%f“,printf(“请输入期数 n:n“);scanf(“%d“,r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q;printf(“股价二叉树为:n“);for(k=0;k=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v;if(anj=0;k-)for(j=k+1;j=1;j-)T=X-akj;21akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1);if(T#include#define d -1000#defi
21、ne pi 3.1415926double f(double x)return exp(-x*x/2);double N(double b,double a,int n)double h,s1,s,s2=0;int k;for(k=1;k#include#define d -1000#define pi 3.1415926double f(double x)return exp(-x*x/2);double N(double b,double a,int n)double h,s1,s,s2=0;int k;for(k=1;kn-1;k+)h=(b-a)/n;s1=a+k*h;s2=f(s1)
22、+s2;s=1/sqrt(2*pi)*h/2*(f(a)+2*s2+f(b);return (s); main()double s0,X,t,p,r,d1,d2,v;int n;printf(“请输入股票初始价格 s0:n“);23scanf(“%lf“,printf(“请输入执行价 X:n“);scanf(“%lf“,printf(“请输入以年为单位的到期时间 t:n“);scanf(“%lf“,printf(“请输入波动率 p:n“);scanf(“%lf“,printf(“请输入无风险利率 r:n“);scanf(“%lf“,d1=(log(s0/X)+(r+p*p/2)*t)/(pow(t,0.5)*p);d2=d1-p*pow(t,0.5);printf(“d1 的值为:%lfn“,d1);printf(“d2 的值为:%lfn“,d2);printf(“请输入合适划分的等份数 n:n“);scanf(“%d“,v=-s0*N(-d1,d,n)+X*exp(-r*t)*N(-d2,d,n);printf(“欧式看跌期权 BS 价格为：%lfn“,v);return 0;
