1、摘 要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要，本文归纳了行列式的几种计算方法，并通过一些典型的例题介绍计算行列式的一些技巧。关键词：行列式 计算方法 范德蒙行列式 解析 应用济南大学泉城学院毕业论文IIIABSTRACTThe determinant is higher algebra course in one of the important and basic content, in mathematics in a wide range of applications, know how to calculate the de
2、terminant appears especially important, this paper summarizes the determinant of several calculation method, and through some typical examples of some of the techniques introduced calculation determinant.Key words：determinant;calculation method;vandermonde determinant;analytical;application目 录摘要IIIA
3、BSTRACTIV1.前言12.行列式的概念及性质12.1 行列式概念12.2 行列式性质13.方法解析33.1 化三角形法33.2 利用递推关系法33.3 提取公因式法53.4 利用拉普拉斯（Laplace）定理法53.5 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法63.6 利用乘法定理法73.7 裂项法83.8 升阶法83.9 公式法103.10 规律缺损补足法113.11 特征根法 123.12 数学归纳法133.13 利用行列式乘法规则144.应用15结论.15参考文献.15致谢.15济南大学泉城学院毕业论文- 1 -一、前言行列式的计算，高等代数中重要内容之一，最常用的是利用行列式
4、的性质和展开定理，需要熟练的掌握，根据其具体特点采用不同的计算方法，本文对行列式的解题方法进行了总结归纳。将一个行列式化为三角形行列式，是行列式计算的一个基本思想，也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：提取公因式法、利用拉普拉斯（Laplace）定理法、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法、利用乘法定理法、裂项法、升阶法、公式法、规律缺损补足法、特征根法、数学归纳法、利用行列式乘法规则等可以看成是它们衍生出的具体方
5、法。2、行列式的概念及性质2.1 行列式的概念级行列式n nnnaa 212112等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积 的代数和，这里的njja21是 1，2， 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当nj21是偶排列时，带有正号；当 是奇排列时，带有负号。这一定义可 nj21写成，这里 表示对所有 级排列的求和。nj21 n2.2 行列式的性质性质 1 行列互换，行列式值不变，即nnn jjjrjjnnn aaa 212121)(2112济南大学泉城学院毕业论文- 2 -nnnaa 212112 nnna 212121性质 2 行列式中某一行（列）元素有公因子 ，则 可以提到行列式记号之
6、外，k即 nniii naakkaa 21112 nniii na 21112这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。事实上，= + +nniiinaakkaa 211121iA2ikainAk= + +21(ik2i )ina，nniii aaak 211令 =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。k性质 3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即，则这个行列式等于另两个行列式之和。),21(nicbajijij 即 nnjnjnnjnjnnjjnjj n acabacba 12221111221112211 这就是说，如
7、果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。性质 4 如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同济南大学泉城学院毕业论文- 3 -就是说两行的对应元素都相等。性质 5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。性质 6 如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数 后加到另一行（列）的k对应元素上去，则行列式不变。性质 7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。3、方法解析3.1 化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的
8、所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的 N 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。例 1 计算 N 阶行列式 abaDn 解 abnan 1babn 011n3.2 利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型 n 阶与 n-1 阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。例 2 计算 n 阶行列式 ，其中nabcaD 0,bc解 将 的第一列视为（a-c）+c,0+c,0+c,据行列式的性质，得n济南大学泉城学院毕业论文- 4 -00nacbacbcbaD (1)11n
9、nnacab由 b 与 c 的对称性，不难得到 (2)11nnnbacD联立（1） ，(2）解之，得 1c例 3 计算 n 阶行列式 00010nababab 解 将 按第一行展开，得nD1001nnabababD 于是得到一个递推关系式 ，变形得2nnnabD，112nnnbab易知 34nnnDD221n nbab 所以 ，据此关系式再递推，有1na122nnnnbba111nnbaabD 如果我们将 的第一列元素看作 a+b,1+0,0+0,按第一列拆成两个行列式的和，nD济南大学泉城学院毕业论文- 5 -那么可直接得到递推关系式 ，同样可 的值。1nbDanD3.3 提取公因式法若行列
10、式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“ 型” ；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型” ；a,（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型” 。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式 a 变为“1，1 ，1 型” ，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。例 4 计算 N 阶行列式 1212nn nxxDaa 解 该行列式各行元素之和都等于 x+ ，属于“全和型” ，所以nii1212nnnii nxxxDa 2100nniixa niinx13.
11、4 利用拉普拉斯（Laplace）定理法首先，让我们先来看看拉普拉斯定理的内容：设在行列式 D 中任意取定了k(12 时， ；nD当 n=2 时， ；2121ab济南大学泉城学院毕业论文- 8 -当 n=1 时， 11abD3.7 裂项法 此法多用于将行列式某一行或某一列拆分后，行列式具有某种特殊算法 例 8 计算 =nxn.21解： = + nD.21 xn. 0.21= +1()nnx0.02= + （1 ）1()nnD)(iix同理 = （2）n1()()njix若 ，由（1） ， （2）组成的方程组解得 11()()nnni ii iDx若 ，利用（1）递推得到：21()()nni j
12、i ijix3.8 升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种济南大学泉城学院毕业论文- 9 -计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点作出选择。例 9 计算 n 阶行列式 ，其中21212212nnnnccaD 0c分析：观察行列式可知，除主对角线外，行列式
13、的其它元素形式都相同，于是想到用升阶法，对原行列式添加一行一列，运用行列式的性质再来求解。解 12112212200nn nnnnccDaaaa 1220nncca 将最后一个行列式的第 j 列的 倍加到第一列（j=2,3,n+1） ，就可以变为上j1三角形行列式，其主对角线上的元素为 cini ,12故 21nniDca例 10 计算 n 阶行列式2222221121nnnnnxxxx 解 原行列式看似范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，可以令济南大学泉城学院毕业论文- 10 -2222221111211nnnnnnnyyxxxD 按第 n+1 列展开，则得到一个关于 y 的
14、多项式， 的系数为yn1，另外， 1nD11nijijnixx显然， 中 的系数为 ，1nyxnnijj 211所以 1niijijinx3.9 公式法根据分块矩阵的知识，不难证明如下结论：（1） 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 n 维列向量，则有 , 1A（2） 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 为 n 维列向量，则有 , 1（3） 设 A，B，C ，D 都是 n 阶方阵，且 A 可逆，则有 1ABDCB有些行列式可应用上述结论计算，用上述结论计算行列式的方法，我们称为公式法例 11 计算 n 阶行列式 123100201nnnD 济南大学泉城学院毕业论文- 11 -解 令 A= 100221
15、330,0201nn 则由结论（2） ，得 1nAD 011312021,321!1 nnn!12n3.10 规律缺损补足法 此法多用于除去某些行列或对角线的元素后行列式的各元素具有规律性，此时就须补足规律，而后再减去某些元素。例 12 计算 121212nnnabD解：（1）若 时itiba10)(D=12122 12. nnnnabab 济南大学泉城学院毕业论文- 12 -= = (*)A)1(1A这里 , , 12.nabab na.21nb.21所以(*)式= 112211 .)()()( iiini i iiIiiii baba （ ）（2）若存在 ，则 iibanijjjibaD1
16、这时（ ）同样适用，因而（ ）为计算公式.3.11 特征根法 此法用于行列式所对应矩阵的特征根已知或易求的情况下，利用 ，nA.21其中 为 的特征根 .iA例 13 已知 的特征根之模长均小于 1，求证 .I0Adetn2证明:首先 没有零特征根，否则存在可逆阵 ，使得PnAP.21所以， = = IP)(1nI.02 n1.12所以，1 为 的特征根矛盾.AI设 ，nP.211济南大学泉城学院毕业论文- 13 -所以， nPAI 1.1)(21所以， -1 即 2,所以， 即 0 .i1iin.21Adetn23.12 数学归纳法例 14 用数学归纳法证明： 1122()00ninnnab
17、abD 解：当 时有： 命题成立。1n12ab1)(ba假设 时，命题成立，要证 时，等式成立。kkn121212 100100knk kaabDb b 按最后一行展开得：12121 12 1222 0000(1) ()1 kkk kkk kaaaa bDb 将 按最后一列展开 = =010112 kaa 1)(ka12)(k济南大学泉城学院毕业论文- 14 -将 前 列 加到最后一列kkbaa1010212 )(ib= 按最后一列展开得：=121()001kiaa =110()()ikkab 31()kiab所以 ikikkkkD13321632 )()()( iibaba)()2( iki
18、kk 1)2(1)( )2( iiikiba1)(因为 ，所以： 故本题得证！kn12nkDiniba1)(注：本题可按行列式定义展开，也可按行或者列展开，还可将第行 乘以 都加到第 1 行，再按第 1 行展开。同1i ),(i )(i样可证得此式 3.13 利用行列式乘法规则例 13 设 之 值 。求但 25234423D.1,1D济南大学泉城学院毕业论文- 15 -解： 有，由 15.01234所以 .125414022334 D4、应用行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 在线性方程组，初等代数的行列式分解因式、行列式证明不等式和恒等式，解析几何中在平面几何中的一些应用等，应用非常广
19、泛。总结以上总共给出了计算行列式的 13 种方法，其中有一些是常见的基本的方法，还有一些是特殊的方法。在课外书中还有一些其他方法，如极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，因为用途不广，所以不加以介绍。我认为只要理解和掌握以上 13 种方法，不管哪 种行列式的计算，都可以迎刃而解。而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，这就需看大家的灵活应用程度，找出一个最简便的方法解出其值。参考文献1 姚慕生.吃等代数.复旦大学出版社，2002；2 王萼芳 石生明.高等代数. 高等教育出版社，2003；3 孙丽君. 行列式计算的几种常见的方法 河北能源职业技术学院学报 J 200
20、5 年 01 期；4 陈会平. 浅谈 N 阶行列式计算方法的研究 J. 黑龙江科技信息，2010 年 03 期；5 张学茂. 行列式计算的几种新方法J 中国校外教育 20086 张福阁 磨晓丽 一个行列式的计算与应用J 齐齐哈尔大学学报 20067 Bo Peng .The Determinant: a Means to Calculate VolumeJ August 16,20078 Wang Quanlong The Exact Value of detV(x1,x2,x3,.,xn) and Its ApplicationsJ November 1998致谢四年的读书生活在这个季节即将
21、划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更济南大学泉城学院毕业论文- 16 -急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师张长温老师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的感觉。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意！ 同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。 最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。
