1、“和差倍问题“例题详解2三个小组共有 180 人，一、二两个小组人数之和比第三小组多 20 人，第一小组比第二小组少 2 人，求第一小组的人数。分析：要点：先把一，二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的人数。这也是一个和差问题。解：（18020）2100 （人）第一，二小组的人数（1002）249（人） 第一小组的人数综合：（18020 ）222 49（人）第一小组的人数答：第一小组的人数是 49 人。4在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于 120，而减数是差的 3 倍，那么差等于多少
2、？分析：这是一个和倍问题。减数是差的 3 倍，那么被减数就是差的 4 倍，所以被减数、减数与差的和就是差的 8 倍，应该等于 120，所以差120815 。解：120（1312） 15 答：差等于 15。6有 50 名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差 2 个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生同 7 个男生握过手。问这些学生中有多少名男生？分析：这是和差问题。我们可以这样想：如果这个班再多 6 个女生的话，最后一个女生就应该只与 1 个男生握手，这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（7 1）6个人！男
3、生人数就是：解：（506）228（人） 。 答：男生人数是 2 8 人。注：还有一种解法，7654 321 28（人）我的分析方法还不能说得很清楚。请大家指正。8甲、乙、丙共有 100 本课外书。甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是 5，余数也都是 1。那么乙有多少本书？分析：这是和倍问题。看懂题后可以这样理解， “甲、乙、丙 3 个数是 100，甲是乙的 5 倍多 1，丙是甲的 5 倍多 1，求甲、乙、丙各是几？” 。即：乙是 1 倍；甲是乙的 5 倍多 1；丙是乙的（55）倍多（1 51）6。那么 100 减去（16）的差对应（1 555 ）倍，这样可求出乙是多少。解：100
4、1（151） （1 15 155 ）9131 3 （本） 答：乙有 3本书。10有货物 108 件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的 2 倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少 2，比第四堆的件数多 2问每堆各存放多少件？分析：如果我们把第一堆看成 1 倍，那么可以算出第二堆就是（ 22）4 倍，第三堆是 2倍多 2 件，第四堆是 2 倍少 2 件，那么一共就刚好是 142 29 倍（第三堆和第四堆刚好一个多 2 件一个少 2 件正好抵消） ，那么 1 倍就是 108912 件，第二堆就是12448 件，第三堆就是 1222 26 件，第四堆就是 122222 件。解：（10822）（12
5、2 22 ）108 912（件）第一堆122248（件）第二堆； 122226（件）第三堆； 1222 22 （件）第四堆；答：每堆各有 12 件、48 件、26 件、22 件。12用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。如果：车马2，炮车4，炮马56，那么“车马炮”等于多少？分析：这是一个差倍问题。依题有，马是 1 倍，车是马的 2 倍，炮是车的 4 倍，所以炮与马的倍数差是（241 ）7 倍，而炮与马的两数差是 56，根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。解：56 （81）8马；8216车16464炮8 166488车马炮 答：车、马、炮的和是 8814甲、乙两位学生原计划每天
6、自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学 6 天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问：甲、乙原计划每天自学多少分钟？分析：差倍问题。原来时间相同，现甲多半小时，乙少半小时，现在的两数差是（30 30）60 分钟，现在的差数差是（6 1）5 倍，这样可求出现乙每天自学的时间，加上 30 分钟，可得原计划每天自学时间。解：（3030 ） （61）30123042（分钟） 答：原计划每天自学 42 分钟。涉及 4 个或 4 个以上的对象，已知数量关系，不便直接运用，与其它知识相关联的复杂和差倍问题。【典型问题】1. 四年级有 4 个班，不算甲班其余三个班的总人数是
7、 131 人；不算丁班其余三个班的总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人，问这四个班共有多少人？解答：用 131+134=265，这是 1 个甲、丁和 2 个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人，所以用 265-1=264 就刚好是 3 个乙、丙的和，2643=88，就是说乙丙的和是 88，那么甲丁和是 88+1=89，所以四个班的和是 88+89=177 人.2. 有四个数，其中每三个数的和分别是 45，46，49 ，52 ，那么这四个数中最小的一个数是多少？解答：大家想想，我如果把 4 个数全加起来是什么？实际上是每个数都加了
8、3 遍！大家一定要记住这种思想！（45+46+49+52）3=64 就是这四个数的和，题目要求最小的数，我就用 64 减去 52（某三个数和最大的）就是最小的数，等于 12.3. 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在 72 中间插入数字 6，就变成了 762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的 9 倍，求出所有这样的两位数。解答：对于这个题来说，首先要判断个位是多少，这个数的个位乘以 9 以后的个位还等于原来的个位，说明个位只能是 0 或 5！先看 0，很快发现不行，因为209=180，309=270，40 9=360 等等，不管是几十乘以 9，结果百位总
9、比十位小，所以各位只能是 5。略作计算，不难发现： 15，25，35，45 是满足要求的数4. 某班买来单价为 0.5 元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得 15 本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得 10 本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?解答：对于这种问题，如果给一个学过工程问题的学生来做的话，简直太简单了，但工程问题是六年级的内容，四年级的学生怎么办呢？我们可以这样考虑：我就假设班上有 2 个女生（动动脑筋，为什么不假设成有 1 个女生？） ，那么就一共有 30 个练习本，进而推出有 3 个男生，用 30（2+3 ） =6，说明每人应该有 6
10、 个练习本，所以每人要付 3 元钱.5. 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？解答：和上个题目一样我想找到 1 个数，它既是 12 的倍数，又是 15 的倍数，还要是 20 的倍数。你能找到吗？可以找到最小的是 60，那么我就假设共有 60 粒花生，那么可以算出来第一群猴子有 5 个，第二群猴子有 4 个，第三群猴子有 3 个，那就一共有 5+4+3=12 只猴子，60 12=5，所以每个猴子是 5 粒.6. 一个整数，减去它被 5 除
11、后余数的 4 倍是 154，那么原来整数是多少？解答：首先，被除数除以除数，余数肯定小于除数。所以在这个题里，余数肯定不大于4，这就确定了原来整数只能是：154+40 ，154+41，154+42，154+43 ，154+44中的一个，检验一下，很快得到结果是 154+42=162.7. 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有 22 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 2 人，至少有1 名男老师，那么在这 22 人中，爸爸有多少人？解答：家长比老师多，所以老师少于 222=11 人，也就是不超过 10 人，家长就不少于 12
12、人。在至少 12 个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于 122=6 人，也就是不少于 7 人。因为女老师比妈妈多 2 人，所以女老师不少于 9 人，但老师最多就 10 个，并且还至少有 1个男老师，所以老师必须是 10 个（9 个女老师，1 个男老师） ，家长 12 个人中，有 7 个妈妈，那么爸爸就有 12-7=5 人.8. 一次数学考试共有 20 道题，规定：答对一题得 2 分，答错一题扣 1 分，未答的题不计分。考试结束后，小明共得 23 分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数。请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题？解答：20 个题，如果全部做对的话，可以得 2
13、02=40 分。如果不答 1 道题的话就要少 2分，如果做错一道的话就要少 3 分。小明得了 23 分，比总分少 40-23=17 分。因为没有做的题是偶数，所以我们可以先想想如果有 0 道题没答的话， 17 分都是做错了少的，可是173=52，不可能！再考虑如果有 2 道题没做的情况，2 道题没做就少 4 分，还有 17-4=13 分是因为做错了少的，133=41 ，也不可能！考虑 4 道题没做的话，就少了 8 分，还有 17-8=9 分是因为做错了少的，9 3=3，所以有 3 道题是做错的.9. 某种商品的价格是：每一个 1 分钱，每五个 4 分钱，每九个 7 分钱，小赵的钱至多能买50
14、个，小李的钱至多能买 500 个。小李的钱比小赵的钱多多少分钱？解答：先在脑袋里算一下，是不是九个 7 分钱最合算啊？先看小赵： 509=55，所以他有 57+4=39 分钱；再看小李：500 9=555，所以他有 557+4=389 分钱，那么小李就比小赵多 389-39=350 分钱。千万不要认为用（500-50）97=350 就可以了，比如我把500 换成 400，方法就不对了！10. 某幼儿园的小班人数最少，中班有 27 人，大班比小班多 6 人。春节分桔子 25 箱，每箱不超过 60 个，不少于 50 个，桔子总数的个位数字是 7。若每人分 19 个，则桔子数不够，现在大班每人比中班
15、每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个，刚好分完。问这时大班每人分多少桔子？小班有多少人？（本题是本讲中最难的问题！）解答：首先桔子的个数在 1250（=2550）和 1500（=2560）之间。下面大家帮我看以下两种分桔子的办法的区别是多少？（1）大班每人 a+1 个，中班每人 a 个，小班每人 a-1个；（2）无论大中小班，每人 a 个。在第一种分法中，我让大班的孩子每人都拿出来 1 个去补给小班的孩子，每人补 1 个，因为大班人比小班多 6 人，所以最后就还多 6 个桔子。如果我从所有桔子中拿出 6 个来，就可以使得原题中的第一种分法变为我的第二种分法。因为桔子的总数个位是 7，减去
16、6 后的个位是 1，这么多桔子可以分给所有的孩子，并且让每人一样多，所以总的人数和每人所分到的桔子数都是奇数！但很明显每人 19 个是不够的，所以只能是每人 17 个，15 个，13 个等等，15 个当然不可能了（因为任何数乘以 15 后，各位不是 5 就是 0） ，下面我们来看看可不可能是 13 个或更少：至少有 1250 个桔子，125013=962 ，那么至少有 96 人，那么大班与小班和起来就至少 96-27=69 人。可是小班人最少不会超过中班的 27 人，所以大班小班和起来不应该超过 27+（27+6）=60 人，这与我刚才的结果是矛盾的！所以每人不可能是 13 个或者更少，这就说
17、明了每人应该是 17 个苹果。现在总的苹果数个位是 7-6=1，每人 17 个苹果，所以总的人数个位应该是 3！再看：125017=739，150017=88 4，这时就可以找到总人数一定是 83。因为如果是 73 的话，桔子还没有分完。所以大班小班共有 83-27=56 人，用和差问题的公式可以很快得到小班人数是：（56-6）2=25 人.11. 一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于 13，小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数和为 18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为 24，那么贴着桌子的这一面的数是多少？解答：大家先想想，我如果用 18
18、加上 24 的话，得到是哪几个面的和？是 4 个侧面和 2 个顶面的和！四个侧面的和应该是：13+13=26，这时就可以计算出顶面的数是：（18+24-26） 2=8，于是底面的数是：13-8=5.12. 左图是一个道路图。A 处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从 A 开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有 60 个孩子到过路口 B，问：先后共有多少个孩子到过路口 C？解答：自己先尝试一下假设 A 处有 1 个孩子，2 个孩子时有什么问题，发现后来就会出现半个孩子的情况，这是不行的，所以再假设有 4 个，8 个， 16 个孩子，发现后来还是会出现半个孩子，于是我们就
19、假设 A 处有 32 个孩子吧！（自己动动脑筋：为什么是1， 2，4，8，16，32 这些数？这些数有什么规律吗？）最后经过计算能发现 C 处有 8 个孩子经过，B 处有 10 个孩子经过。但事实上 B 处有 60 个孩子经过，所以原来 A 处就应该是6 个 32 个孩子！所以就有 86=48 个孩子经过 C 点.13. 比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的5 条边分别与 5 块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的 6 条边中，有 3 条边与黑色皮子的边缝在一起，另 3 条边则与
20、其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有 12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？解答：先算黑皮子共有多少条边：125=60 条。这 60 条边都是与白皮子缝合在一起的，对于白皮子来说：每块白色皮子的 6 条边中，有 3 条边与黑色皮子的边缝在一起，另 3 条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有 602=120 条边，120 6=20，所以共有 20 块白皮子.14. 5 个空瓶可以换 1 瓶汽水，某班同学喝了 161 瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？解答：大
21、致上可以这样想：先买 161 瓶汽水，喝完以后用这 161 个空瓶还可以换回 32 瓶（1615=321）汽水，然后再把这 32 瓶汽水退掉，这样一算，就发现实际上只需要买161-32=129 瓶汽水。可以检验一下：先买 129 瓶，喝完后用其中 125 个空瓶（还剩 4 个空瓶）去换 25 瓶汽水，喝完后用 25 个空瓶可以换 5 瓶汽水，再喝完后用 5 个空瓶去换 1 瓶汽水，最后用这个空瓶和最开始剩下的 4 个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161 瓶汽水.15. 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个
22、，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 34 个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的 2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？解答：这种题和第十题一样，好做但是不好讲，关键在于如何能让四年级的学生听明白！从第一个条件开始：从每堆苹果中各取出一个，在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍，这时假设第二堆是 1 份苹果，那么第一堆就是 3 份苹果，差 2 份苹果。再看第二个条件：从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 34 个，第二堆所剩下的苹果数是第三堆的 2 倍，因为是从每堆苹果中各取出同样多个，所以第二堆还是比第一堆少 2 份苹果，所以这个 2 份应该比 34 个要少（大家自己考虑一下为什么不能相等？）所以一份最多就16 个，于是在第二个条件时，第二堆还有 34-162=2 个，第三堆还有 22=1 个，所以回到第一个条件时，第二堆应该是 1 份 16 个苹果，第三堆少一个是 15 个，第一堆是 3 份共163=48 个苹果，所以在最开始分别有 49，17，16 个，总共有 49+17+16=82 个.
