1、选修 2-1 综合测试题一、选择题1、已知 a、 b为实数,则 ba2是 22loglab的 ( )A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2、给出命题:若函数 ()yfx是幂函数,则函数 ()yfx的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.33、已知函数 ,则 ( )()sin2()3fxxf)fA. B. 0 C. D.121324、如果命题“p 且 q”是假命题 ,“非 p” 是真命题,那么 ( )A.命题 p 一定是真命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 可以是真命题也
2、可以是假命题 D.命题 q 一定是假命题5、已知命题 2:“1,0“xa,命题 2:,0“xRax,若命题“ pq” 是真命题,则实数 的取值范围是 ( )aA. B. C. D.(,2(,1,),16如图 ABCDA 1B1C1D1是正方体，B 1E1D 1F1 ，则 BE1与 DF1所成角的A1B14余弦值是( )A B C D1517 12 817 327如图所示，在四面体 PABC 中，PC平面 ABC，ABBCCAPC，那么二面角 BAPC 的余弦值为( )A B C D22 33 77 578、我们把由半椭圆 与半椭圆21(0)xyxab合成的曲线称作“果圆”(其中21(0)yxb
3、c22,abc).如图,设点 是相应椭圆的焦点,A 1、A 2和 B1、B 2是“果圆”与 x,y 轴的0abc210,F交点,若F 0F1F2是边长为 1 的等边三角,则 a,b 的值分别为 ( )A. B. ,71,3C.5,3 D.5,49、设 1和 2为双曲线21xyab( 0,b)的两个焦点, 若 12F， , (0)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. 32 B. C. 52 D.310、设斜率为 2 的直线 l过抛物线 的焦点 F,且和 y轴交于点 A,若 OAF(O 为坐(0)yax标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( )A. 24yx B. 28yx C.
4、 24 D. 28yx11已知长方体 ABCDA 1B1C1D1中，ABBC1，AA 12，E 是侧棱 BB1的中点，则直线 AE 与平面 A1ED1所成角的大小为( )A60 B90C45 D以上都不正确12、平面 的一个法向量 n(1，1,0)，则 y 轴与平面 所成的角的大小为( )A B C D 6 4 3 34二、填空题13 已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 a，b，若向量 kab 与ka2b 互相垂直，则 k 的值为 _14 已知向量 a(cos ，sin ，1) ，b( ，1,2)，则|2ab|的最大值为_315、已知椭圆 与双曲线 有相同的
5、焦点 和21(0)xyb21xymn(0,)n(,0)c,若 是 、 的等比中项, 是 与 的等差中项,则椭圆的离心率是 .(0)cam2n2c16、现有下列命题:命题“ ”的否定是“ ”;2,10xR2,10xR若 , ,则 = ;|A|Bx()AB函数 是偶函数的充要条件是 ;()sin)(fx()2kZ1,3,5O1O2xyOF1F2M若非零向量 满足 = = ( ),则 =1.,ab,baR其中正确命题的序号有_.(把所有真命题的序号都填上)三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12 分) 设命题 p:不等式 的解集是 ;
6、命题 q:不等式21xa13x的解集是 ,若“p 或 q”为真命题,试求实数 a 的值取值范围.241xa18、(12 分) 已知向量 b 与向量 a=(2,-1,2)共线，且满足 ab=18,(ka+b)(ka-b),求向量 b 及 k的值.19、(12 分) 如图所示 ,已知圆 O1 与圆 O2 外切,它们的半径分别为 3、1,圆 C 与圆 O1、圆 O2 外切。(1)建立适当的坐标系,求圆 C 的圆心的轨迹方程；(2)在 (1)的坐标系中 ,若圆 C 的半径为 1,求圆 C 的方程。20、(12 分) 某工厂有一段旧墙长 14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为 126
7、m2 的厂房,工程条件是 :建 1m 新墙的费用为 a 元;修 1m 旧墙的费用为 元; 拆去 1m 的旧墙,用可得的建材建4a1m 的新墙的费用为 元,经讨论有两种方案:2(1)利用旧墙一段 x m(0 x14) 为矩形一边;(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长 x14;问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较(1)(2)两种方案哪个更好.21、(12 分) 已知 、 分别为椭圆 : 的上、1F21C2(0)yxab下焦点,其中 也是抛物线 的焦点,点 是 与 在第二2:4xM1C2象限的交点,且 .15|3M(1)求椭圆 的方程 ;1C(2)已知点 和圆 : ,过点 的动直线 与圆 相交于不同的两点
8、 ,在线段(,)PO22xybPlOAB上取一点 ,满足: , ,( 且 ).求证: 点 总在某定直线上.ABQABQ01Q22、(14 分) （ 2011辽宁高考理科18） （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QA=AB= PD12（I）证明：平面 PQC平面 DCQ（II）求二面角 Q-BP-C 的余弦值参考答案：1.A ,当 或 时,不能得到 ,反之成立.2ab0ab22loglab2.B 原命题为真,其逆命题为假,否命题为假,逆否命题为真.3.C 得 , .()cos()3fxf112()()3fff4.C “非 p” 是真命题,命题
9、 p 是假命题命题 q 可以是真命题也可以是假命题.5.A “ pq” 为真,得 、 为真, ; . 得 或 .q2min()ax24()0a2a16.A 7.C 8.A , , ,21OFbc023OFc1b ,得 ,即 , .223714abca71b9.B 由 tn6有 224()cbca,则 2ce,故选 B.10.B 抛物线 2(0)yax的焦点 F 坐标为 ,04,则直线 l的方程为 ,2()ayx它与 轴的交点为 A ,所以OAF 的面积为 1|42a,解得 8a.所以抛物线方程为 28yx.10.D , , ,根据导数的几何意义,112PTQSyQT1(0)y, . 11B 1
10、2.B 13. 或 2 14. 401()Pkxy2y5215. 本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得2, , ,将代入 得2cabmn2cam22nc, ,代入 得 ,再代入得 ,得 .23n34am12cea16. 将 = 代入 = 得( ) =0, ,有 ,错.ab212117.解:由 得 ,由题意得 . 命题 p: .21x3xa23aa2a由 的解集是 ,得 无解,24a2410O1O2 xyOC即对 , 恒成立, ,得 . 命题 q: .xR2410ax20(4)10aa1a由“p 或 q”为真命题,得 p、 q 中至少有一个真命题.当 p、q 均为假命题
11、,则 ,而 .21aR实数 a 的值取值范围是 .(1,)18.解: a,b 共线，存在实数 ,使 b=a, ab=a 2=a 2,解得 =2.b=2a=(4,-2,4). (ka+b)(ka-b), (ka+b)(ka-b)=(ka+2a)(ka-2a)=0,即(k 2-4)a 2=0， 解得 k=2.19.解:(1)如图 ,以 所在的直线为 轴,以 的中垂线1Ox12O所在的直线为 轴,建立平面直角坐标系.设圆 C 的圆心y为 ,半径为 ,由 ,()Cxr12C(3)r得圆 C 的圆心的轨迹是以 ， 为焦点,0定长为 2 的双曲线,设它的方程为 .由 ,得 ,21xyab2a1又 , .又
12、点 不合题意,且 ,知 .c23bca(10)120COx圆 C 的圆心的轨迹方程是 ( ).2yxx(2)令 ,由圆 与圆 、 相切得 , ,)(yx1O24|12|故 ,解得 ,圆 C 的方程为 .4)2(6)5,3(C2315()()xy20.解:(1)方案 :修旧墙费用为 x 元,拆旧墙造新墙费用为(4x) ,aa其余新墙费用: 总费用 (0x14)126()x367(1)4xya 35a,当 x12 时,y min35a.27)35yaa(2)方案,利用旧墙费用为 14 (元),建新墙费用为 (元)7225(16xa总费用为: (x14)162()yaxa设 ,则 ,126()(4)
13、fxx216()xfx当 时, , 为增函数, .40ffmax()(4)35ffa由 知,采用(1) 方案更好些. 答:采用(1)方案更好些.35.a21.解:(1)由 知 ,设 ,因 在抛物线 上,2:Cxy1()F0(,)My2C故 又 ,则 , 由解得 , .而点 椭204xy15|3053063x0yM圆上,故有 即 , 又 ,则 226()3ab24819ab1c21ba由可解得 , ,椭圆 的方程为 .231C243yx(2)设 , ,12(,)()AxyB(Qxy由 可得: ,即P12,3)(1,3)y123()xy由 可得: ,即 AQB12(,)(,)xyx12()x 得:
14、 得: 22122213yy两式相加得 2()()()xyxyx又点 在圆 上,且 ,所以 ,AB23121y2y即 ,点 总在定直线 上. 3xyQ3xy22.解: 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 . xzD()依题意有 ， ， ，)0,1(),(C)0,2(P则 ， ， ，所以 ， ，,Q1Q0QP0DCP即 ， .且 故 平面 .又 平面 ，所以平PDDQ面 平面 . 6 分C（II）依题意有 ， = ， = .)1,0(BC)0,(BP)1,2(设 是平面 的法向量，则 即),(zyxnP,0nC.02,zyx因此可取 ).2,10设 是平面 的法向量，则mBQ.0,PQmB可取 所以 且由图形可知二面角 为钝角),1(.51,cosnQBPC故二面角 的余弦值为 CBPQ.
