高中数学椭圆综合题总结.doc-道客多多

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1、椭圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求” ）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：“以弦 AB 为直径的圆过点 0”（提醒：需讨论 K 是否存在）OAB120OAB120xy“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”0；120xy“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；12K

2、12K“共线问题”（如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；AQB（如：A、O、B 三点共线直线 OA 与 OB 斜率相等）；“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.二、基本解题思想：1、 “常规求值”问题：需要找等式， “求范围”问题需要找不等式；2、 “是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

3、关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是

4、多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。（1）直线恒过定点问题1、已知点 0(,)Pxy是椭圆2:1xEy上任意一点，直线 l的方程为 012xy，直线 0l过 P 点与直线 l垂直，点 M（-1，0）关于直线 0l的对称点为 N，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。2、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一象限弧上一点，且12P，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。（1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；3、已知动直线与椭圆相交

5、于、两点,已知点，求证：为定(1)ykx2:153xyCAB7(,0)3MAMB值.4、在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2:13xCy.如图所示，斜率为 (0)k 且不过原点的直线 l交椭圆 C于A， B两点，线段的中点为 E，射线 O交椭圆于点 G，交直线 3x于点 (,)Dm.（）求2mk的最小值；（）若 2OGD E，求证：直线 l过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.（1）从直线和二次曲线的位置关系

6、出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。 5、已知直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点 A、 B，且，求的取值范围ly(0,)Pm2:1Cxy3Pm（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. 6、已知点 (4, 0)M， (1, )N，若动点 P满足 6|MNP（）求动点 P的轨迹 C的方程；（）设过点的直线 l交轨迹于 A， B两点，若 181275ANB ，求直线 l的斜率的取值范围.来源:学科网(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点为椭圆：上的一动点，点的坐标为，求的取值范围QE218xyA(3,1)A

7、PQ8.已知椭圆的一个顶点为 (0,1)A，焦点在 x轴上.若右焦点到直线 20xy的距离为 3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线 ykxm与椭圆相交于不同的两点 ,MN.当 |A时，求 m的取值范围.9. 如图所示，已知圆 MAyxC),01(,8)1(:2定点为圆上一动点，点 P在 AM上，点 N在 C上，且满足NAMPA点,0,2的轨迹为曲线 E.（I）求曲线 E的方程；（ II）若过定点 F（0，2）的直线交曲线于不同的两点,GH（点在点 ,F之间），且满足 FHG，求的取值范围.10、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 )0,1(A、 ,(B，一个顶点为

8、)0,2(H.（1）求椭圆的标准方程；（2）对于 x轴上的点 tP，椭圆 E上存在点 M，使得 P，求 t的取值范围. 11.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2:1xyCab(0)2相切0xy（）求椭圆的方程；（）若过点 (2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足MC,ABP（ O 为坐标原点），当时，求实数取值范围PtBAPBA253t椭圆中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点 1F、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一象限弧上一点，且12P，过 P 作关于直

9、线 F1P 对称的两条直线 PA、 PB 分别交椭圆于 A、B 两点，求 PAB 面积的最大值。（2）利用函数求最值，13.如图， Dx轴，点 M 在 DP 的延长线上，且 |2|DMP当点 P 在圆 21xy上运动时。（I）求点 M 的轨迹 C 的方程；（）过点 (0,)1Tty作圆 x的切线 l交曲线 C于 A，B 两点，求AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。14、已知椭圆 .过点作圆的切线交椭圆 G 于 A,B 两点.2:14xGy(,0)m21xyl将| AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值.选做1、已知 A、B、C 是椭圆 )0(1:2bayx

10、m上的三点，其中点 A 的坐标为 )0,32(，BC 过椭圆 m 的中心，且|,0A（1）求椭圆的方程；（2）过点 ),(tM的直线 l（斜率存在时）与椭圆 m 交于两点 P，Q，设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点，且 |DQP.求实数 t 的取值范围2.已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，M22()()xmynr(1,0)NPMQNPGMP且满足 NP2 Q， G P 0（1）若，求点的轨迹的方程；,4rC（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段,AB,mnrN，若存在，求出这组正实数；若

11、不存在，说明理由AB3、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为 CxC31（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，:lykxmAB， ABC求证：直线过定点，并求出该定点的坐标l4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（2，1），平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m（m0），l 交椭圆于 A、B 两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求 m 的取值范围；（3）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一

12、个等腰三角形.参考答案1、解：直线 0l的方程为 00()2()xyx，即 002yxy 设 ),(M关于直线 l的对称点 N的坐标为 ,mn则00012xnmy，解得320042048()xxny直线 PN的斜率为43200(4)nyxxkm从而直线的方程为： 43200008()()xyx即320042()18yxx从而直线 PN恒过定点 (1,)G 2、解：（1）设椭圆方程为2ab，由题意可得 2,2abc，所以椭圆的方程为214yx则 12(0,)(,)F，设 00(,),)Pxy,则 100200(,),(,),PFxyPF212001Px,点 0(,在曲线上，则2.420yx,

13、从而2004()y，得 0y，则点 P的坐标为 (1,)。（2）由（1）知 1/PFx轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为 (0)k，则 PB 的直线方程为：()yk由 214x得 2 2()()()40kxkxk,设 (,)Bxy则22()Bkxk,同理可得2Ak，则 24ABk28(1)()AAByx。所以直线 AB 的斜率 BAByx为定值。3、解: 将代入中得 (1)ykx2153y22(3)6350kxk，，42226()480kk21231xk231kx所以，12121277,(,)()33MABxyy 2227()()1x22211249()()kkx

14、k22225649()()31kkk。422365494、解：（）由题意:设直线 :(0)lykxn,由 213ykxn消 y 得: 22(3)630kxn,，设 A 1(,)x、B 2(,)y,AB 的中点 E 0(,)xy,则由韦2236(13)(1)knk2(1)达定理得: 2x= 2,即 023knx, 023knyx3nk,所以中点 E 的坐标为(,13k),因为 O、E、D 三点在同一直线上，所以 OEDK，即 m，解得 1k，所以 2m= 2k,当且仅当 1k时取等号, 即 2mk的最小值为 2.（）证明:由题意知:n0,因为直线 OD 的方程为 3yx,所以由 231yx得

15、交点 G 的纵坐标为23Gmy,又因为 21Enk, Dy,且 2OGD E，所以2231mnk,又由（）知: 1mk,所以解得k,所以直线 l的方程为 :lkx,即有 :(1)lykx, 令得,y=0,与实数 k 无关,5、解：（1）当直线斜率不存在时：（2）当直线斜率存在时：设与椭圆 C 交点为 ml12(,)(,)AxyB得 21ykx2()10kxk（*）， 222()4()14()0kmkm2121,kmxx ，， . 消去，得，3APB123x213x2x12123()40，整理得，时，上式不成立；时，22()40k2240kk214，，或，把代入（*

16、）得1m201m12m2mk或，或，综上 m 的取值范围为或。2216、解：（）设动点 (, )Pxy，则 (4, )Mxy， (3, 0)N， (, )Pxy，由已知得221)4(3x，化简得 231，得214xy.所以点的轨迹 C是椭圆，的方程为2y. （）由题意知，直线 l的斜率必存在，不妨设过 N的直线 l的方程为 (1)ykx，设 A， B两点的坐标分别为1(, )Axy， 2(, )B.由 2(1),43ykx消去 y得 22(43)840kx. 因为 N在椭圆内，所以0.所以21228,34.kx因为 2121212()()()NABxykx)()1(212x

17、xk 2222 43)(9438)( kkk，所以 2897345 . 解得 21 .7、解：，设 Q（ x， y），，，(1,)AP(3,1)Axy(3)(1)36APQxyxy 218xy即，而，186 xy18 则的取值范围2(3)8xy2(3)| 221是0，36 的取值范围是6，6 的取值范围是12，0 36xy8、解：（1）依题意可设椭圆方程为21xya，则右焦点 21,0Fa，由题设2|1|3a，解得 2a，故所求椭圆的方程为21.3xy（2）设 (,)Pxy、 (,)Mxy、 (,)Nxy， P为弦 MN的中点，由 213ykxm得 22(31)6()0kx

18、mk，直线与椭圆相交， 2222(6)4(31)()0,mkmk 231MNP，从而 231Pykxm， PAykx，又|,A则：23mk，即 231k，把代入得 2m，解 02，由得 2103mk，解得1. 综上求得的取值范围是 m. 9、解：（） .0,2AMNPANP 为 AM的垂直平分线，|NA|=|NM| 又 .2| CCN动点 N 的轨迹是以点 C（1，0）， A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 ,2a焦距 2c=2. .1,bca曲线 E 的方程为 .2yx （）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为 ,1,2kxy代入椭圆方程得 .30.34)2

19、1( 22 kx得由设 2212121 3,4),(), kxkxyHG则),()2,(, 21yxyFHG又 21212122121 )(., xxxx ，2222 )(1(36,)(4kk整理得， .31.624.3624,3 解得kk.,10又，又当直线 GH 斜率不存在，方程为 .3,1,0FHGx),33的取值范围是即所求10、解：（1）由题意可得， 1c， 2a， b所求的椭圆的标准方程为：2143xy （2）设 ),(0yxM)2（，则 20143xy，且 ),(0yxtMP， ),2(0yxH，由 HP可得，即 )(200yxt ，由、消去 0整理得

20、241)2(00xxt 2 3)( 0x， 12t t的取值范围为 )1,2(. 11、解：（）由题意知，所以即又因为，2cea22cabe2ab所以，故椭圆的方程为 2a21bC1yx（）由题意知直线的斜率存在.设：，，，，ABAB(2)k1(,)Axy2(,)B(,)Pxy由得 . ， . 2(),1.ykx22()80kx4680k21k， .K ，，2128xk21kAOPtBA12(,)(,xytxy， .点在椭圆上，212()t121224()()ykxt tP， . 22(8)4()kktt226()ktk ，， PBA532153x22

21、1120()49xxA，4222680(1)9kkA ， . ，，，22(1321421k226(1)ktk22168ktk 或，实数取值范围为 . 6ttt ),3(),(12、解、设椭圆方程为21yxab，由题意可得 2,2abc ，故椭圆方程为214yx，设 AB 的直线方程： mxy2.由 142yxm，得 0422mxx，由 0)4(16)2(2m，得 22mP 到 AB 的距离为 3|d，则 3|)1(|12dABSPB 2)28(8)(812m。来源:Zxxk.Com当且仅当 ,取等号，三角形 PAB 面积的最大值为 2。来源: 13、解:设点 M的坐标为 yx，点

23、|3|2tt且当 3t时，|AB|=2 ，所以|AB|的最大值为 2来源:学.科.网 Z.X.X.K依题意，圆心 O到直线 AB 的距离为圆 12yx的半径，所以 AOB面积 1S，当且仅当 3t时， AB面积 S 的最大值为 1，相应的 T的坐标为 3,0或者 ,14、解：由题意知， .当时，切线的方程为，点 A,B 的坐标分别为，|1ml1x3(1,),)2此时；当时，同理可得；当时，设切线的方程为 .|3AB|3ABmlykxm由得 .设 A,B 两点的坐标分别为 .又由与圆2()14ykx222(4)840kxk12(,),l相切，得，即 .所2xy2|1m

24、k21222111|()()()4ABxyx.由于当时，，422264()kk23|m1|3AB，当且当时， .所以|AB|的最大值为 2.23|3| |mAB 3|2选做1、解（1）椭圆 m： 142yx（2）由条件 D（0，2） M（0，t）来 1当 k=0 时，显然20 可得 2214t 设 ),(),(),( 021 yHPQP中点，则 22103ktx 203ktkxy 3ktH 由 kODDH| 即 2211031ktkt化简得 t1 将代入得 1t4t 的范围是（1，4），综上 t（2，4） 2、解：（1） ,NPQ点为 PN的中点，又 GQNP， PN或

25、 G点与 Q点重合.|G又 |4.MGM点的轨迹是以 ,M为焦点的椭圆，且 ,ac， 23,bac的轨迹方程是21.3xy(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明：由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，设之为 k，故直线 N的方程为： (1)ykx，设 12(,)(,)AxyB， A中点 0(,)Dxy，则21243xy，两式相减得： 12121212()()043xxyy注意到 12yxk，且120xy，则 0314xyk ，又点 D在直线 MN上， 0(1)ykx，代入式得： 04因为弦 AB的中点 D在所给椭圆 C内，故 02x，这与 04x矛盾，所以所求这组正实数不

26、存在当直线 MN的斜率不存在时，直线 MN的方程为 1x，则此时 121,y，代入式得 120x，这与 ,AB是不同两点矛盾综上，所求的这组正实数不存在 3、解：（）椭圆的标准方程为（）设，，联立，得2143xy1()Axy， 2()Bxy， 21.43kxmy，22(34)84(3)0kxm22 212264(34)3008().34mkkkxkA，即，则，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点221212112(4)()()kykxkxmxAB，，即，，0)D， ADB12yA12120yx，来源解得：223(4(3)640mkk2964k，，且均满足，当时

27、，的方程为，直线过定点，1272m1l(2)ykx(20)，与已知矛盾，当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为 kl()7ykx(0)7， l7，4、解：（1）设椭圆方程为 012bax则 28142baa解得椭圆方程为 128yx（2）直线 l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距 m, 又 KOM= 21，ml的方程为：由 0421282mxyx，直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，分且解得 8.0,)(4)(2m（3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k 2，只需证明 k1+k2=0 即可设4,),(),(2121 mxxyxBA且，则 21,21xykxy由可得042 2,121 而 )()()(2121121 xyyxyk)2(1442)()()(1211xmmxx0 13.0)(44212kxm分故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

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