1、 驻波与克拉尼图形 驻波是由两列传播方向相反而振幅与频率都相同的波叠加而成的。驻波有一维驻波、二维驻波等。按某些频率激发弦乐器的弦线振动，弦线就会形成一维驻波。对于话筒的膜片、锣鼓鼓面，它们形成的驻波分布在平面或曲面上，是二维驻波。把细沙撒在薄板上，当薄板振动时，薄板上的细沙就会显示各种各样的图形，图形随振动频率而变，这种图形是由德国物理学家克拉尼(Chladni) 发现的，因而命名为克拉尼图形。用来显示克拉尼图形的薄板就称为克拉尼板。早期是用弓弦摩擦克拉尼板的边缘方法使板振动。现在使板振动的方法很多，用压电陶瓷片使克拉尼板振动的方法就是其中的一种。通过本实验，要求对一维驻波、二维驻波有所了解
2、。 实验原理 当弦线上的前进波遇到障碍物后反射，反射波与前进波叠加就形成了驻波，如图 1 所示。图中实线代表前进波，虚线代表反射波，粗线代表叠加波驻波。驻波的特点是从波形上看不出波在前进，在弦线上的某些点始终不动，这些不动点称为波节；在相邻两个波节中间的点只作上下振动，振动最大处称为波腹。弦线上产生的驻波是一维驻波。 图 1 驻波的形成 前进波沿 x 方向传播，其位移 y 与时间 t 的关系为 y 前进 = Acos2( t kx) (1) 其中，A 为振幅， 为波的振动频率，k 为波数，它等于波长入倒数。波的传播速度为 u = （2 ） 反射波的相应表示式为 y 反射 =A cos2( t
3、+ kx) (3) 前进波与反射波相遇，并在空间叠加后，其合振动为 1y =2Asin2kxsin2 t (4) 上式为驻波的函数，它是时间 t 的函数 f(t )=sin2 t 和位置 x 的函数 (x)=2Asin2 kx 的乘积。 在 x=(n+1/2) /2（ n=0,1,2，3 ，）处，满足 2kx =(n+1/2) 的条件时，各点的振幅最大，就是波腹的位置。 在 x=n /2（ n=0， 1， 2， 3，）处，满足 2kx =n 的条件时，各点的振幅为零，就是波节的位置。 上式为一维驻波的波函数。而话筒的膜片等振动可以看成二维驻波，这些驻波分布在平面或曲面上。一块四周固定的矩形板的
4、振动是最简单二维驻波，如图 2 所示，它的波函数也可以表示为一位置函数 (x， y)与时间函数 f（ t） 这两部分的乘积。从 x 方向看，膜片的振动可以看成是许多平行于 x 轴的线条上的驻波联结在一起；从 y 方向看，可以看成是许多平行于 y 轴的线条上的驻波联结在一起；边缘各点的振幅则均为零。总的振动位移可写为 Z（ x， y） = (x， y)sin2 t = Csin2k1xsin2k2ysin2 t (5) 式中，C 为常数，k1=l/1 = n1/2L1，k2= l/2=n1/2L2，n1和 n2为整数。膜也有一系列本征频率，但与弦线的情况不同，它们不等于一个基频的整数倍。膜的本征
5、频率与边界条件等许多因素有关，情况很复杂，本实验不再展开论述。图 3 是克拉尼板显示的一个克拉尼（二维驻波）图形。 图 2 矩形膜 图 3 一种克拉尼图形 实验仪器 图 4 为一台 XD7 型正弦波信号发生器的示意图。该信号发生器能输出频率范围从 20Hz 到200kHz 的正弦波信号。信号的电压幅度可调，并可通过伏特表显示。在使用时还要注意输出阻抗和外接阻抗匹配。具体的旋钮指示见图示。 图 4 XD7 型正弦信号发生器 2图 5 为显示弦线上驻波的实验装置。左边是一台 XD7 型正弦波信号发生器，正弦波信号通过两根信号线送到喇叭上。一根弦线两端固定，其中一头和喇叭相连，另一头连着砝码钩。喇叭
6、的振动带动弦线振动，由于弦线两端固定满足了驻波形成条件，故弦线振动时会出现驻波。 图 5 弦上驻波实验装置图 图 6 克拉尼板装置 图 6 为克拉尼板装置。把压电陶瓷片贴在板下，压电陶瓷片与低频正弦波信号发生器连接，在板上放上细砂。通电后，压电陶瓷片使板振动，在波腹上细砂上下振动，所以在这个地方不可能有细砂存在，而都聚集在没有振动的波节上，形成克拉尼图形。 实验内容 一维振动 1观察弦线上的一维驻波：把弦线放长至 80cm，在和弦线一端相连的砝码钩上套上 3 个砝码。打开信号发生器，频段旋钮至 1 档，输出衰减旋钮至 8 档，使振源振动。从低到高调节信号发生器输出频率，当出现驻波时，观察弦线上
7、的驻波的波节数，并观察驻波的波节数增减。 2使弦线上出现 2 个完整波腹（弦线两端均为波节），测出驻波半波长 /2 （相邻波节之间距离）、振幅、频率 1，写出该驻波的表达式以及叠加这一驻波的两列行波的表达式，并计算出波的传播速度。 3改变信号发生器输出频率，当出现 5 个完整波腹时，测出此时的半波长 /2，根据以上实验得出的波速计算出电压信号的频率 2，并与信号发生器发出的信号频率 20相比较完成表格内容。 4把弦线放长、拉长或缩短，根据驻波半波长、电压信号频率计算出传播速度，并讨论波的弦线上的传播速度与弦线长度及其松紧程度的关系。 5. 完成表格内容。 二维振动 1、观察克拉尼图形：用压电陶
8、瓷片贴在板下，并固定。在板上均匀地撒上细砂，将信号发生器的输出衰减旋钮打至 5K 档，并打开信号发生器，由低到高调节信号发生器输出频率。3当出现稳定克拉尼图形时，记下此时的频率。 2、用刷子刷去板上细砂的图形。继续增加信号发生器的输出频率，测出出现各种克拉尼图形时所对应的频率，在纸上画出几个典型的克拉尼图形，完成表格内容。 3写出出现克拉尼图形的频率范围。 观察思考 1弦线的松紧程度对驻波的波节数及传播速度有何影响？ 2在弹奏弦线乐器时，发出声音的音调与弦线的长度、粗细、松紧程度有什么关系？为什么？ 3克拉尼图形与所使用的压电陶瓷片数量以及贴在板上位置是否有关？ 4是否可以用食盐代替细砂进行克
9、拉尼图形实验？ 5克拉尼板的厚度及均匀性对克拉尼图形是否有影响？ 数据表格: 1根据实验步骤 1、2 ，写出该驻波的表达式以及叠加这一驻波的两列行波的表达式，并计算出波的传播速度。 弦线长度 cm ； 受力砝码 3 个 半波数 /2 振幅 A 频率 (Hz) u 波 (m/s)2 5 y 驻 = y1= y2= 改变频率后，根据测出的半波长及算出的波速计算电压信号频率，并与信号发生器发出的信号频率相比较。 =100202022弦线上的传播速度与弦线松紧程度的关系： 改变受力砝码个数，调节信号频率，使弦线上出现 2 个完整波腹，将相应的频率记录下来，并求波速，最后再就不同的弦线松紧程度对波速的影响作一讨论。 砝码数( 个) 弦线状态 频率 (Hz) u 波 (m/s) 观察讨论 波 2 较松 4 较紧 6 很紧 43弦线上的传播速度与弦线长度的关系： 改变弦线长度，调节信号频率，使弦线上出现 2 个完整波腹，将相应的频率记录下来，并求波速，最后再就不同的弦线长度对波速的影响作一讨论。 弦线长度 频率 (HZ) u 波 (m/s) 观察讨论 波 50cm 70cm 90cm 4克拉尼图形观察 出现克拉尼图形的频率范围 频率 (Hz) 克拉尼图形 5
