1、 59 第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 1 二阶方程的分类 1 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212 aaa 的符号不变。 证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为 fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2 经可逆变换 ),( ),( yx yx 0),( ),( yxDD 化为 fucubuauaua 2221211 2 其中 22212211222212111222212211112)(2yyxxyyxyyxxxyyxxaaaaaaaaaaaa所以 yxyxyxyxxyyx aaaaaaa 221
2、11122221222211122 22)( 22221112222222211 ),( ),()()( yxDDaaaaa xyyxyxyx 因 0),( ),(2 yxDD ，故 与 同号，即类型不变。 2 判定下述方程的类型 （ 1） 022 yyxx uyux （ 2） 0)( 2 yyxx uyxu （ 3） 0 yyxx xyuu （ 4） )010001( s g n0s g n2s g n xxxxxuuyu yyxyxx (5) 0424 zzyyxzxyxx uuuuu 解： (1) 022 yyxx uyux 因 022 yx 当 0,0 yx 时 0,0 x 或 0y
3、时 0 。即在坐标轴上方程为抛物型，其余处为双曲型。 （ 2） 0)( 2 yyxx uyxu 因 0)( 2 yx ，在直线 0yx 上， 0 为抛物 型，其余处 0 ，为椭圆型。 （ 3） 0 yyxx xyuu 因 xy 在坐标轴上， 0 为抛物型；在一，三象限中， 0 ，为椭圆型；在二，四象限中，0 ，为双曲型。 （ 4） 0s g n2s g n yyxyxx xuuyu 因 ,sgnsgn1 yx 在坐标 轴上 0 ，为双曲型；在一，三象限内 0 ，为抛物型；在二，四象限内 0 ， 为双曲型。 （ 5） 0424 zzyyxzxyxx uuuuu 因对应二次型为 232231212
4、1 424 xxxxxxx 相应对称矩阵为 101042121 其特征方程为 60 0)446(10104212123 记 )446()( 23 f 经计算得： 28)6( 1)5(,4)2(,3)1(,4)0(,7)1( f fffff说明 A 的三个特征值分别在区间 6,5,2,1,0,1 中，故方程为双曲型的。 3 化下列方程为标准形式 （ 1） 0254 yxyyxyxx uuuuu （ 2） 02 22 yyxyxx uyxyuux （ 3） 0 yyxx yuu （ 4） 0)s i n3(c o s2 2 yyyxyxx yuuxxuu （ 5） 0)1()1( 22 yxyyx
5、x yuxuuyux 解：（ 1） 0254 yxyyxyxx uuuuu 因 0154 ，方程为椭圆型。 特征方程为 0542 dxdydxdy解之得 21 2,)2(,2 cixxycxiyidxdy 因此引变换 x yx 2有 uuxu 22222222222222 442)2(2 uuuuuuux u)1( uyu222222 )1()1( uuy u uuuuyx u2222222 2)1()1(2 代入化简即得： 02222 uuu02)2( 22 yyyyxx uyxyuux 因 02222 yxyx ,方程为抛物型 . 特征方程为 02)( 222 ydxdyxydxdyx 解
6、之得 cxyxydxdy , 因此引变换 xxy 有 uxyuxu )( 2222232242222 )(2)()( 2 uxyux yuxyuxyux uxuyu 1uxxuxyuyxuxuyu2232222222211)(1代入化简即得 )0(002xuux (3) 0 yyxx uu 61 因 000000yyyy 当 y0 为椭圆形 .特征方程为 0)( 2 ydxdy , 解之得 12,2, cyxicxiyiydxdy 因此引变换 yx2 有 uxu2222 uxu21 yuyu )21( 2312222 yuyuy u 代入化简得 01 uuu (4) 0)s i n3(c o
7、s2 2 yyyxyxx yuuxxuu 因 04)s in3(c o s 22 xx 为双曲型 .特征方程为 0)s in3(c o s2)( 22 xdxdyxdxdy 解之得 2cos xdxdy 2121 2s i n 2s i n2s i n 2s i n cxxy cxxycxxy cxxy 因此引变换 yxx yxx sin2 sin2有 )c o s2()c o s2( xuxuxu uxuxuxuxuxx u s i ns i n)c o s2()c o s4(2)c o s2( 2222222222 uuyu2222222 2 uuuy u222222 )c o s2()c
8、 o s2()c o s2( uxuxuxyx u代入化简得 0)(322 uuu (5) 0)1()1( 22 yxyyxx yuxuuyux 因 0)1)(1( 22 yx 为椭圆形。特征方程为 62 011)( 222 xydxdy 即 2211 xyidxdy 解之得 122 )1l n ()1l n ( cxxiyy 因此引变换 )1ln ()1ln (22yyxx 有 212 )1( xuxu uxxuxxu )1(11 23222222 212 )1( yuyu uyyuyyu )1(11 23222222 代入化简得 02222 uu4.证明两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭
9、圆型方程一定可以经过自变量的变换及函数变换veu u 将它化成 fcvvv 的形式 . 证 :已知可通过某个可逆变换将双曲型或椭圆型化为标准型 01 fbububuauuu 其中 a,b,c 当原方程为常系数时为常数 . 再令 ,(veu u ) 有 )( vveveveu uuu )( uvveu u )2()2(22vuuvveuvvveuuu 代入方程得 0)()2()2( 122 fvdbuauvubvavve u 因 ue 不等于零 ,且取 2,2 bua ,消去 ue 得 0)2244( )(12222 uefvdbabavv 记 cbad 44 22 , fef u )(1 即得
10、所求 . 2 二 阶 方 程 的 特 征 理 论 1、 求下列方程的特征方程和特征方向 242232222212)1(x ux ux ux u 232222212212)2(x ux ux ut u 2222)3(yuxutu 解： 242232222212)1(x ux ux ux u 特征方程 24232221 又 124232221 所以 2124232221 引实参数 , 得特征方向为 s i n21,c o s21,s i n21,c o s21232222212212)2(x ux ux ut u 特征方程 0)( 23222120 又 123222120 63 所以 212322
11、2120 2120 即任一点特征方向与 t 轴交角为 4 。 2222)3(yuxutu 特征方程 02221 又 1222120 所以 12 2120 引实参数 , 得特征方向为 s in21,s in21,c o s2、证明经过可逆的坐标变换 ),1)(,( 1 niyyfx nii ，原方程的特征曲面变为经变换后的新方程的特征曲面，即特殊性征曲面关于可逆坐标变换具有不变性。 证： 讨论的是二阶线性方程 FCuxuBxx uA ni iinji jiij 11, 2 它的特征曲面 0),( 1 nxxG 的法矢量满足 nji jiij xGxGA1, 0对任一可逆的坐标变换： 存在且ijn
12、nnii xyyyD xxDyyfx 0),( ),(),(111 将求导式 tlnl li xyyuxu 1jtlnl ljktlnkj lkji xxyyuxyxyyy uxx u 211,22 代入原方程，得 u 关于 nyy ,1 的方程： nji jtlnl ljktlnlk lkij xxyyuxyxyyy uA1,211,2 FcuxyyuBni tlnj li 1 1交换求和次序，简写二次求导以下的项，得 nl llnlk lknji jkilijij FcuyuByy uxyxyAA 11, 21, 设它的特征曲面为 0),( 1* nyyG 则其法向 nyGyG *1* ,
13、 满足： )1(0*1, 1, lknlknji jkilij yGyGxyxyA 另一方面对原方程的特征曲面经同样变换得特征曲面为： ),(),(,),( 11111 nnnn yyGyyfyyfG 从 jknl hitlnl li xyyGxGxyyGxG 1111 代入所满足的方程得 )2(0111, 1,1, 1, 1111 klnlk jkilijnjinjinjink jkknl lllijjiijyGyGxyxyAxyyGxyyGAxGxGA由（ 1），（ 2）知 *1 GG 即经可逆坐标变换后 特征曲面不变。 3 证二阶偏微分方程解的 m 阶弱间断（即直至 1m 阶导数为连续，
14、 m 阶导数间断）也只可能沿着特征发生。 64 证： 二阶线性偏微分方程 m 阶弱间断解沿 0),( 1 mxx 发生这个问题与下面的提法相当 :如果在 0),( 1 nxx 上给定了函数 u 及其 所有直到 1m 阶导数的值 (应不相矛盾 ),能不能利用这些值以及方程 : ni iinji jiij fcuxubxx ua11,2 来唯一确定 u 的 m 阶偏导数在 0),( 1 mxx 上的数值。易见 ,如果能够唯一地确定 u 的 m 阶导数之值，则 0),( 1 nxx 就不能为阶弱间断面。 现用反正法。设 m 阶偏导数间断在 0),( 1 nxx 上发生， 0),( 1 nxx 为非特
15、征曲面 ,即 nji jiij xxua1,2 引入新变量 n ,1 代替 nxx ,1 ,即 nii xx ,1 且使 n ,而当 0n 时得 ),1(,1 nigx nii 恰为曲面 0 的参数表示 .。 这时有 tknk ki xuxu 1 jltklnlk lkiklnk kjji xxuxuxxx u 1,212 )( 代入原方程得 u 关于 n ,1 的方程 ni ikknkinji jltklnlk lkij fcuxubxxua1 11, 1,2 或 fuxxa nnji jninji 221, , fuxxa nnji jninji 221, , 其中省略的项仅含有 uu,
16、的一阶偏导数 ,二阶内导数以及 u 的只含有一次外导数的项。 在 0),( 1 nxx 上 ,因 0n ,由假定 nji jninji xxa1, , 0 由此得 nji jninjin xxafu 1, ,22 )( 在此式两边对 n 求 2m 阶导数得 mnmu其中右边省略号仅含有 uu, 的直到 1m 阶的偏导数 ,以及 u 的直到 m 阶但上导数最多到 1m 阶的偏导数 .因此右边的项在 0),( 1 nxx 上为已知 ,从而由此等式知 u 的 m 阶偏导数也唯一确定 ,与假定矛盾 ,即得所证。 4、 试定义 n 阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征 曲面。 解： k 个自变量的
17、 n 阶线性偏微分方程一般形式为 )1(01 11 1 nll lklllk kn xxuA 以上仅写出最高阶偏导数的项。设有空间曲面 0),( 1 nxxG 成为（ 1）的某个弱间断解的某个间断面，我们就定义此曲面为（ 1）的特征曲面，其法线方向为特征方向，该曲面所满足的方程（条件）为特征方程。 下面来推导特征曲面 0),( 1 nxxG 满足的条件。与二阶类似，弱间断解与以下问题65 相当：在 0),( 1 nxxG 上给定 u 及其 1n 阶偏导数的值。能不能利用这些值以及方程（ 1）来唯一决定 u 的 n 阶偏导数的值。 为此引入新变量使 n ,1 ，使 ),( 1 nk xxG ，而
18、当 0k 时 ),1(,1 kigx nii 为曲面 0G 的参数式。设此变换为 ),1(,1 kixx nii 则有 imkm mi xuxu 1一般地 kklkklknknlklxnxxuxx u )()( 111 1其中省略号中仅含有低于对 k 的 n 阶偏导数的项。代入（ 1）式得 u 关于 k , 的 方程 0)()(111 1 nnnlllkklkll uxxAkkk 由此知当在 G 0),( 1 kxx 上 nll k1kk lkklkll xxA )()( 11 1 = nlllklllkkk xGxGA 111 0)()(1时， u 对 的 n 阶外导数唯一确定，因此不可能产
19、生间断。因此弱间断面必须满足 0)()(111 1 kkklnll klll xGxGA 此既 G 应满足的条件。满足此条件的曲面 G 0)( 1 kxx 叫做特征曲面，其法线方向叫做 特征方向，记 ),1( kixGii 代入上式，得特征应满足的条件： nll k1011 1 kk lklllA 叫做特征方程。 3 三类方程的比较 1 试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的诸方法，并指出迭加原理在哪里被用到。 解： 1. 将非齐次方程定解问题化为一个齐次方程定解问题和一个非齐次方程但有零初始条件的问题。它利用了线性方程可迭加原理 2齐次化原理。它实质上也利用了线性方程可迭加的原理 3分离变
20、量法。它很大一部分利用迭加的原理 4行波法解一维波动方程 5平均值法三维波动方程柯西问题 6降维法解二维波动方程柯西问题 7富里埃变换法 8格林函数法解拉普拉斯方程的边值问题。 2 证明热传导方程 222 xuatu 混合问题 )()0,( 0),(),0( xxu tlutu 的解关于自变量 x（ 00） 可进行任意次微分。 证：由分离变量法知，这个混合问题的解 为 x d xlnxlcxlnectxulnntlann01)(s i n)(2s i n),(2当 )(x 有界可积时， nc 有界，此时级数在 0xl, t 00t 时绝对且一致收敛。 要证解关于自变量 x 和 t 可进行任意次
21、微分，只需证明级数在 号下逐项微分任意次，既只需证明 级数在逐项微分任意次后仍是绝对一致收敛既可。设对 t 微分 次，对 x 微分 次，需要证 66 级数 tlanxlnn n exlnlnlcnc 2)()(12 )( s i n)()( 绝对且一致收敛。当 00tt ，级数以 1)(2 02)()(ntlanelnlanM 为优级数。用比值法，易证此优级数收敛。因此原级数绝对收敛且一致收敛。得证。 3 举例说明弦振动方程不成立极值原理。 解： 函数 sinatsinxt)u(x, 满足 xauuuuxuatutttnxxs in,0000022222它在边界 t=0,x=0,x= 上为零，
22、内部不为零。因此与热传导混合问题类似的极值原理不存在。 对柯西问题：xtt etuuxuatu0022222|0|解为 22 12 1,( atatatxatxxatxatx eeaeeeadeatxu ）0 shataex 但在边界 t=0， u 为零。因而不成立极值原理。 4. 若曲线 s 将区域 分成 1 与 2 两部分，函数 u(x,y)在 21, 内分别二次连续可微，且满足拉普拉斯方程 u=0，又 u 在 s 上一阶导数连续，试证明函数 u(x,y)在 s 上也具有二阶连续导数，且满足方程 u=0。 证：由题设在 21, 内分别二次连续可微，知 u 在 s 上沿 s 的切线方向有二阶
23、连续偏导数以及不与 s 切线方向相同的任一方向有二阶“单侧”偏导数存在。因而要证在 s 上有二次连续偏导数，只需证在不与 s 切线方向相同的两个相反方向上， u 的两个二阶“单侧”偏导数相等即可。 为此，设曲线 s 的方程， 0),( yx 适当光滑 ， 在 s 上任取一点，在此点邻近作可逆变换 ),( ),( yy xx使 ，且 0 时使。 )0,( )0,(yy xx 恰好为曲线 s： （ x， y） =0 的参数方程。在这个变换下所求的二阶“单侧”偏导数，就变成在 0 的两侧， u 对 的二阶“单侧”偏导数 。 设对变量 ， 而言，方程 u =0 变为 u = （ *） 其中右端未写出的
24、项，包含 u 的二阶和低二阶且关于 不高于一阶的导数项，因 u =0 是椭圆型的，故方程（ *）仍为椭圆型方程，它没有实特特征线。因此，在 =0（即 （ x， y） =0，相当于 s）上给定 u、 u 的一阶偏导数，以及 u 关于 的二阶偏导数（相当于沿 s 切线方向的二阶偏导数），和关于 ， 的混合偏导数，就由方程（ *）唯一地确定出 u 在 =0 上的值。 另外，在 =0 两侧， u 沿 方向以及沿 相反方向的两个二阶“单侧”偏导数也分别满足方程（ *）。由假设知方程（ *）右端各项在 =0 连续。因此当点 在 =0 两侧沿不同方向趋于 0 时，它们都分别趋于各自在 =0 上的值。因此，方程（ *）左端的“单侧”导数分别趋于 u 在 =0 上的值，即 u 在 =0 上任一点处处有二阶连续偏导数 u 。 回到原来的变量 x， y 知 u 在 s 上具有二阶连续偏导数。又因每个“单侧”偏导数都满足 u =0，故 u 在 s 上的二阶偏导数也满足 u =0。
