1、高二期末考试数学试题一选择题（每小题 5分，满分0 分）.设 均为直线,其中 在平面 的（ ）nml n, ”“”, nlmlla且是则内 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件.对于两个命题： ， ，,1sinxRx22,sinco1xRx下列判断正确的是（ ） 。A. 假 真 B. 真 假 C. 都假 D. 都真.与椭圆 42y共焦点且过点 (2,1)Q的双曲线方程是（ ）A. 12xB. 42yx C. 12yx D. 132yx.已知 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与 , 两点，则 是正三角12,F1FAB2F形，则椭圆的离心率是（
2、 ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D 2313.过抛物线 的焦点作倾斜角为 直线 ，直线 与抛物线相交与 ， 两点，则弦 的长是28yx045llABA（ ）A 8 B 16 C 32 D 64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .在同一坐标系中，方程 的曲线大致是（ ）)0(1222 bayxbxa与A B C D.已知椭圆 ( 0) 的两个焦点 F1，F 2，点 在椭圆上，则 的面积 最大值一定12byaxP12PF是（ ）A B C D 2a2ab2ba.已知向量 互相垂直 ,则实数 k的值是( )kba),201(),(与且A1 B C D51537.在正方
3、体 中， 是棱 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ 1DAE1AB1E）A B C D5105010.若椭圆 交于 A，B 两点,过原点与线段 AB中点的连线的斜率为xynmyx1),0(12与 直 线，则 的值是( )2n 2.23.2.9. DCBA11.过抛物线 的焦点 F作直线交抛物线于 两点，若 ，则 的yx4221,yxP621y21P值为 （ ）A5 B6 C8 D10 12以 =1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ）124yxA. B. C. 62162yx1462yx D.二填空题（每小题分）13已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC外一点 O，给出下列表达 式
4、：其中 x，y 是实数，若点 M与 A、B、C 四点共面，则 x+y=_ 14斜率为 1的直线经过抛物线 y24x 的焦点，且与抛物线相交于 A,B两点，则 等于_AB15若命题 P：“ x0， ”是真命题 ，则实数 a的取值范围是_02xa16已知 ， 为空间中一点，且 ，则直线 与平面 所成角的正9AOBC60AOCBOC弦值为_三解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 ）17 （本小题满分 14）设命题 ： ，命题 ： ；P2“,“xRxaQ2“,0“xRax如果“ 或 ”为真， “ 且 ”为假，求 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m QP18 （15 分
5、）如图在直角梯形 ABCP中，CyxM31AEyxDCBBCAP，ABBC，CDAP，AD=DC=PD=2，E，F，G 分别是线段 PC、PD，BC 的中点，现将 PDC 折起，使平面 PDC平面 ABCD（如图）（）求证 AP平面 EFG；（）求二面角 G-EF-D的大小；（）在线段 PB上确定一点 Q，使 PC平面 ADQ，试给出证明19(15 分) 如图，金砂公园有一块边长为 2的等边ABC 的边角地，现修成草坪，图中 DE把草坪分成面积相等的两部分，D 在 AB上，E 在 AC上.（）设 AD ，DE ，求 关于 的函数关系式；xyx（）如果 DE是灌溉水管，我们希望它最短，则 DE的
6、位置应在哪里？请予以证明.20.（15 分）设 分别为椭圆 的左、右两个焦点.21,F)0(1:2bayxC（）若椭圆 上的点 两点的距离之和等于 4，求椭圆 的方程和焦点坐标；C21,)3,(FA到 C（）设点 P是（）中所得椭圆上的动点， 。的 最 大 值求 |),10(PQ21.（15 分）如图，设抛物线 C： 的焦点为 F， 为抛物线上的任一点（其中 0） ，yx42),(0yxP0x过 P点的切线交 轴于 Q点y（）证明： ； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m F（） Q点关于原点 O的对称点为 M，过 M点作平行于 PQ的直线交抛物线 C于 A、B 两点，若，求 的值)1(M
7、BA高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准一选择题：ABCCB DCBDB DD二、填空题：. 4.8 5. )4,(32BAOFxyQPM6.详解：由对称性点 在平面 内的射影 必在 的平分线上作 于 ，连结 则CAOBDAOBDEOACE由三垂线定理 ，设 ，又E1,2E,所以 ，因此直线 与平面60,2CO CC所成角的正弦值 ，本题亦可用向量法。.ABsinyex三解答题：解：命题 ：P2“,“xRxa即 恒成立 3分2(1)1命题 ：Q2“,0“xx即方程 有实数根2a 或 .6分()4)2a1“ 或 ”为真， “ 且 ”为假， 与 一真一假 8 分PQPPQ当 真 假时，
8、；当 假 真时， 1021a 的取值范围是 1a(,),(14 分)解法一：（）在图中 平面 PDC平面 ABCD，APCD PDCD，PDDAPD平面 ABCD如图. 以 D为坐标原点，直线 DA、DC、DP 分别为 与 z轴建立空间直角坐标系： 1yx、分 则 0,2A0,B,2C,0P1,EF0,2G3分,P,1EF,G设平面 GEF的法向量 ，由法向量的定义得：)(zyxn zxyzFGn 020)1,2(,00不妨设 z=1， 则 4 分5分012AP，点 P 平面 EFGnAP平面 EFG 6分)1,0(n（）由（）知平面 GEF的法向量 ，因平面 EFD与坐标平面 PDC重合则它
9、的一个法向量为 =（1，0，0）8 分i设二面角 为 .则 9 分DEFG由图形观察二面角 为锐角，故二面角 G-EF-D的大小为 45。10 分（）假设在线段 PB上存在一点 Q，使 PC平面 ADQ，P、Q、D 三点共线，则设 ，又 ，DBtP)1(0,22,DP ，又 11分)2,(tt2,0A若 PC平面 ADQ，又 )(PC则 1分210)2(0)2,()0,2- tttttDQP ， 13 分）B(1故在线段 PB上存在一点 Q，使 PC平面 ADQ，且点 Q为线段 PB的中点。1分解法二：（1）EFCDAB，EGPB，根据面面平行的判定定理平面 EFG平面 PAB，又 PA 面
10、PAB，AP平面 EFG 4分（2）平面 PDC平面 ABCD，ADDCAD平面 PCD，而 BCAD，BC面 EFD过 C作 CREF 交 EF延长线于 R点连 GR，根据三垂线定理知GRC 即为二面角的平面角，GC=CR，GRC=45，故二面角 G-EF-D的大小为 45。 8 分（3）Q 点为 PB的中点，取 PC中点 M，则 QMBC，QMPC在等腰 RtPDC 中，DMPC，PC面 ADMQ 1分(14 分)解: （1）在ADE 中， 2 2AE22 AEcos60yxx2 2AE2 AE,yx又 SADE SABC 2 AEsin60 AE2. 4 分代入得 2 2 2（ 0）,
11、6 分yxyy又 2，若 ， ，矛盾，所以 x1x1 （1 2）. 7 分yx（2）如果 DE是水管 , 10分y2当且仅当 2 ，即 时“”成立， 1分x4x故 DE BC，且 DE . 1分2 分12()x24xAE2423a2cosni解：（）椭圆 C的焦点在 x轴上，由椭圆上的点 A到 F1、 F2两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2. .2分又点 .4分.1,31)3(,)23,( 222cb于 是得因 此在 椭 圆 上所以椭圆 C的方程为 .6分).0,(,(,34212Fyx焦 点（）设 .8分),(2P则 2234yx.10分222214117| 34Qxyy.12分5)3(1又 .1分y5|,2maxPQy时当解：（）证明：由抛物线定义知 ， 1|0yF，2|0xkPQ可得 PQ所在直线方程为 ，0()xy 204xy得 Q点坐标为(0, ) 0y | PF|=|QF| 1|0F（）设 A(x1, y1)， B(x2, y2)，又 M点坐标为(0, y0) AB方程为 .8分。0由 得 024yx402yx .10 分。,21 2021由 得： ， MBA ),(),( 021y .12 分。21x由知 ，得 ，由 x00 可得 x20，20)x224)(x ，又 ，解得： .1分。 4)(213
