1、1近几年高考理科立体几何大题汇编1.（2018 年 III 卷）如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 ACD所在平面垂直， M是上异于 ， 的点（1 ）证明：平面 M 平面 B；（2 ）当三棱锥 AC体积最大时，求面 AB与面 CD所成二面角的正弦值2、2014新课标全国卷 四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，E 为 PD 的中点(1)证明：PB平面 AEC；(2)设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD ，求三棱锥 EACD 的体积323.（2017新课标 卷）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP=CDP=90 (1)证明：平面
2、 PAB平面 PAD； (2)若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值 4.（菱形建系） 2014新课标全国卷 如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，ABB 1C.(1)证明：AC AB 1；(2)若 ACAB 1，CBB 160，ABBC，求二面角 A A1B1 C1 的余弦值35.（菱形建系）【2015 高考新课标 1】如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC=120，E， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD， DF平面ABCD， BE=2DF， AE EC. （）证明：平面 AEC平面 AFC；（）求直线 A
3、E 与直线 CF 所成角的余弦值.6.（翻折）(2018 年 I 卷)如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以ABCD,EF,ADBC为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .DFC P（1 ）证明：平面 平面 ；PEF（2 ）求 与平面 所成角的正弦值.47.（翻折） （2016 年全国 II 高考）如图，菱形 ABCD的对角线 A与 BD交于点 O，5,6ABC，点 ,EF分别在 ,上， 54EF， 交 于点 H将DEF沿 折到 D位置， 10O（）证明： H平面 AB；（）求二面角 C的正弦值8.（动点问题）（2018 年 II 卷）如图，在三棱锥 中， ，PABC2， 为 的中点
4、4PABCOAC（1 ）证明： 平面 ；B（2 ）若点 在棱 上，且二面角 为 ，MMP30求 与平面 所成角的正弦值PCAPA O CB M5近几年高考理科立体几何大题汇编1.（2018 年 III 卷）如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 ACD所在平面垂直， M是上异于 ， 的点（1 ）证明：平面 M 平面 B；（2 ）当三棱锥 AC体积最大时，求面 AB与面 CD所成二面角的正弦值1.解：（1）由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC CD,BC 平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BC DM.因为 M 为 ACD上异于 C， D 的点,
5、且 DC 为直径，所以 DM CM.又 BC CM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM 平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.（2 ）以 D 为坐标原点, A的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥 MABC 体积最大时， M 为 ACD的中点.由题设得 (0,)(2,0)(,)(0,2)(,1)DAB，1A设 (,)xyzn是平面 MAB 的法向量,则60,.AMBn即 20,.xyz可取 (1,).DA是平面 MCD 的法向量,因此 5cos,|An，2i,5，所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 25.2、2014新课标全国卷 如图 13
6、，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点(1)证明：PB平面 AEC；(2)设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD ，求三棱锥 EACD 的体积3图 132，解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB .因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.(2)因为 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点， ，AD，AP 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|
7、 |AB AP 为单位长，建立空间直角坐标系 Axyz，则 D ，E ， .(0，3，0) (0，32，12) AE (0，32，12)7设 B(m，0， 0)(m0)，则 C(m， ，0)， (m， ，0)3 AC 3设 n1(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则 即n1AC 0，n1AE 0，) mx 3y 0，32y 12z 0，)可取 n1 .(3m， 1，3)又 n2(1，0，0)为平面 DAE 的法向量，由题设易知|cosn 1，n 2| ，即12 ，解得 m .33 4m2 12 32因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 EACD 的高为 .三棱锥 EACD 的体积 V 1
8、2 13 .12 3 32 12 383.（2017新课标 卷）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP=CDP=90(1)证明：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角APB C 的余弦值 3.【答案】 （1）证明：BAP=CDP=90，PAAB，PDCD， ABCD，ABPD，又PAPD=P，且 PA平面 PAD，PD平面 PAD，AB平面 PAD，又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 为平行四边形， 由（1）知 AB平面8PAD，ABAD，则四边形 ABCD 为矩形，在APD
9、 中，由 PA=PD，APD=90，可得PAD 为等腰直角三角形，设 PA=AB=2a，则 AD= 取 AD 中点 O，BC 中点 E，连接 PO、OE，以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则：D（ ） ，B（ ） ，P（0，0， ） ，C（ ） ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取 y=1，得 AB平面 PAD，AD平面 PAD，ABAD，又 PDPA，PAAB=A，PD平面 PAB，则 为平面 PAB 的一个法向量， cos = = 由图可知，二面角 APBC 为钝角，二面角 APBC 的余弦值为 4.（菱形建系）
10、 2014新课标全国卷 如图三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，ABB 1C.(1)证明：AC AB 1；(2)若 ACAB 1，CBB 160，ABBC，求二面角 A A1B1 C1 的余弦值4 解：(1)证明：连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1CBC 1，且 O 为 B1C 及 BC1 的中点又 ABB 1C，所以 B1C平面 ABO.9由于 AO平面 ABO，故 B1CAO .又 B1OCO，故 ACAB 1.(2)因为 AC AB1，且 O 为 B1C 的中点，所以 AOCO.又因为 ABBC，所以BOA
11、 BOC.故 OAOB，从而 OA，OB，OB 1 两两垂直以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz.因为CBB 160，所以CBB 1 为等边三角形，又 ABBC ，则A ，B(1 ，0，0)，B 1 ，C .(0，0，33) (0，33，0) (0， 33，0) ， AB ，AB1 (0，33， 33) A1B1 (1，0， 33)1BC .B1C ( 1， 33，0)设 n(x，y，z)是平面 AA1B1 的法向量，则即 所以可取 n(1， ， )nAB1 0，nA1B1 0，) 33y 33z 0，x 33z 0. )
12、 3 3设 m 是平面 A1B1C1 的法向量，10则 同理可取 m(1， ， )mA1B1 0，mB1C1 0，) 3 3则 cos n，m .nm|n|m| 17所以结合图形知二面角 A A1B1 C1 的余弦值为 .175.（菱形建系）【2015 高考新课标 1】如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC=120，E， F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE平面 ABCD， DF平面ABCD， BE=2DF， AE EC.（）证明：平面 AEC 平面 AFC；（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.5.，【答案】（）见解析（ ） 3又 AE EC， EG= ， EG AC，3在
13、 Rt EBG 中，可得 BE= ，故 DF= .22在 Rt FDG 中，可得 FG= .611在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2， BE= ， DF= 可得 EF= ，232 ， EG FG，22EGF ACFG=G， EG平面 AFC， EG 面 AEC，平面 AFC平面 AEC. 6 分（）如图，以 G 为坐标原点，分别以 的方向为 轴，y 轴正方向， 为,GBCx|GB单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可得 A（0， ，0）， E(1,0, 3)， F（ 1,0， ）， C（0， ，0 ）， =（1， ， ）， =（-223E2CF1，- ， ）.10 分3故 .3
14、cos,|AEFC所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 . 12 分6.（翻折）(2018 年 I 卷)如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以ABCD,EF,ADBC为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .DFC P（1 ）证明：平面 平面 ；PEF12（2 ）求 与平面 所成角的正弦值.DPABF6.解：（1）由已知可得， BF PF， BF EF，所以 BF 平面 PEF.又 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.BF（2 ）作 PH EF，垂足为 H.由（1）得， PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间
15、直F|BF角坐标系 Hxyz.由（1 ）可得， DE PE.又 DP=2， DE=1，所以 PE= .又 PF=1， EF=2，故 PE PF.3可得 .3,2PHE则 为平面 ABFD 的33(0,)(,),(1,0)(1,),22DP3(0,)2HP法向量.设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 .34sin|DP所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .347.（翻折） （2016 年全国 II 高考）如图，菱形 ABC的对角线 A与 BD交于点 O，5,6ABC，点 ,EF分别在 ,D上，4E， 交 B于点 H将 EF沿13EF折到 D位置， 10O（）证明： H平面 AB
16、CD；（）求二面角 的正弦值7.【解析】证明： ， ，54EFEFA 四边形 为菱形， ，EFAC BCDCBD ， ， BDH ， ；又 ， ， ，63O5O4 ， ， ， 1HA 3222HDHO又 ， 面 EFIABCD建立如图坐标系 xyz， ， ， ，50B，130C3D，130A， ， ，4AurAur 6Cur设面 法向量 ，D1nxyz， ，由 得 ，取 ， 10nAB430xyz345xyz1345nur，同理可得面 的法向量 ，DC23nur， ， 12957cos10nur 95si2148.（动点问题）（2018 年 II 卷）如图，在三棱锥 中， ，PABC2， 为
17、的中点4PABCOAC（1 ）证明： 平面 ；B（2 ）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值MMP30PCAM解：（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 .4APCOAOP23连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，OB2BC且 ， .A1由 知 .22PPO由 知 平面 .,OBCABC（2 ）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .urxOxyz由已知得 取平面(0,)(2,0)(,)(0,2)(,3),(0,23),OBACPAur的法向量 .PACur15设 ，则 .(,20)(2)Maa(,40)AMaur设平面 的法向量为 .PA(,)xyzn由 得 ，可取 ，0,urrn3(4)0a(34),)an所以 .由已知得 .22cos,3()OBr |cos,|2OBur所以 .解得 （舍去）， .22|4|=3()a4a43a所以 .又 ，所以 .8,)3n(0,23)PCurcos,4PCurn所以 与平面 所成角的正弦值为 .PCAM4
