1、五年级 奥数 不规则图形面积计算 莱茵学堂1巧求面积本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子如图，BC=CE，AD=CD，求三角形 ABC 的面积是三角形 CDE 面积的几倍？解：连结 BD，在ABD 与BCD 中，因为 AD=DC，且这两个三角形同一条高，所以 SABD=SBCD在BCD 与DCE 中，因为 BC=CE，且这两个三角形同一条高，所以有 SBCD=SCDE，SABC=SABD+SBCD=2SCDE从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边有什么关系因为三角形的面积= 底高，作 DN 垂直 CE 于 N，AM 垂直 CE 于 M，21SABC = B
2、CAM，SCDE = CEDN。 = = 21CDEABSN21CEBDA在ACM 与DCN 中，有 ACCD=AMDN因此， = .即，当两个三角形各有CDEAB一个角，它们的和是 180时，这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比类似可知，当两个三角形各有一个角,它们相等时，这个结论也成立解：在ABC 与CDE 中，因为 AD=DC，所以 AC=2CD.因为 BC=CE， SABC=21SCDE=2SCDE答：ABC 的面积是CDE 面积的 2 倍下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子例 1 如图，三角形 ABC 的面积为 1，并且 AE=3AB，BD=2BC，那
3、么BDE 的面积是多少？解：在BDE 与ABC 中，DBE+ABC=180因为 AE=3AB，所以BE=2AB又因为 BD=2BC，所以 SBDE=22SABC=41=4答：BDE 的面积是 4例 2 如图，在ABC 中，AB 是 AD 的 6 倍，AC 是 AE 的 3 倍如果ADE 的面积等于 1 平方厘米，那么ABC 的面积是多少？解：在ABC 与ADE 中，BAC=DAE因为 AB=6AD，AC=3AE，所以 SABC=63SADE=181=18（平方厘米）答：ABC 的面积为 18 平方厘米五年级 奥数 不规则图形面积计算 莱茵学堂2例 3 如图，将ABC 的各边都延长一倍至 A、B
4、、C连接这些点得到一个新的三角形ABC若ABC 的面积为 1，求ABC的面积解：在ABB 与ABC 中，ABB+ABC=180因为 AB=AA，所以AB=2AB，又因为 BB=BC，所以 SABB=12SABC=2SABC=2同理 SBCC=21SABC=2SACA=21SABC=2所以 SABC=SABB+SBCC+SACA+SABC=2+2+2+1=7答：ABC的面积为 7例 4 凸四边形 ABCD 各边都延长一倍至 AB CD，连接这些点得到一个新的四边形ABCD，若四边形 ABCD的面积为 30 平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少？分析 要求四边形 ABCD 的面积，必须求出
5、四边形 ABCD 与四边形 ABCD的关系，因而就要求出ABB、BCC、CDD、ADA 与四边形 ABCD 的关系解：连结 AC、BD在ABB 与ABC 中，ABB+ABC=180因为 AA=AB，所以AB=2AB，又因为 BB=BC，所以有 SABB=21SABC=2SABC同理 SBCC=21SBCD=2SBCD，SCDD=21SADC=2SADC，SADA=21SABD=2SABD所以 S 四边形 ABCD=SABB+SBCC+SCDD+SADA+S 四边形 ABCD=2SABC+2SBCD+2SADC+2SABD+S 四边形 ABCD=2（SABC+SADC）+2（SBCD+SABD）
6、+S 四边形 ABCD=2S 四边形 ABCD+2S 四边形 ABCD+S四边形 ABCD =5S 四边形 ABCD，则 S 四边形 ABCD=305=6（平方厘米）答：四边形 ABCD 的面积为 6 平方厘米 例 5 如下图，在ABC 中，BD=DC，AA1= AD，A1B1= A1B，B1C1= C1C，A1B1C1 的面积为 1 平方厘米，则ABC 的面积为3多少平方米？解：连接 A1C如上图，在BB1C 与A1B1C1 中，BB1C+A1B1C1=180，因为 A1B1= A1B，所以 BB1=2A1B1，又因为 B1C1=C1C，所以 B1C=2B1C1，3所以有 SBB1C=22S
7、A1B1C1=41=4（平方厘米）五年级 奥数 不规则图形面积计算 莱茵学堂3在A1C1C 与A1B1C1 中，A1C1C+A1C1B1=180，因为 CC1=C1B1，A1C1=A1C1，所以有 SA1C1C=11SA1B1C1=11=1（平方厘米）在ABD 与ADC 中，ADB+ADC=180因为 BD=DC，AD= ,所以有 SABD=SADC= SABC 2在ABA1 与ABD 中，BAA1=BAD因为 AB=AB，AA1= AD,3所以有 SABA1=1 SABD = SABD= SABC,同理 SAA1C= SABC，3616所以 SABC = SBB1C +SAA1C +SABA
8、1 +SA1B1C1=4+1+ SABC + SABC +1=6+ SABC31因此 SABC =6，SABC =932答：三角形 ABC 的面积为 9 平方厘米 习 题 五1.直角三角形 ABC 中，AD=DB=4.5 厘米，AE= AC = 3 厘米，求四边形 DBCE 的面积 12下图中的三角形被分成了甲（阴影部分） 、乙两部分，图中的数字是相应线段的长度，求两部分的面积之比第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题3.如图，在三角形 ABC 中，AD= AB,BE=EF=FC,CG= GA，求阴影部分面积占三角形 ABC 面积131的几分之几？4.如图，BD= BC,三角形 ABC
9、 的面积是 48 平方厘米，AC=16 厘米，AE=11 厘米，三角形 DAE31的面积是多少？5.已知：AE= AC，CD= BC,BF= AB，求三角形 DEF 的面积与三角形 ABC 的面积之比4616.如图所示，已知 ABCD 是长方形， = = ,求三角形 ABE 与三角形 DEF 的面积之比EDAFC21第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题7如下图所示，把ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D 点，AC 边延长 3 倍到 F 点，CB 边延长 2 倍到 E 点，连接 DE、EF、FD，得到DEF已知三角形 DEF 的面积为 54 平方厘米，求ABC 的面积8.如图所示，已知 SABC =1，AE=ED，BD= BC，求阴影的面积29在ABC 中，CD、AE、BF 分别为 BC、AC、AB 长的 求 SN1N2N3 与 SABC 之比1五年级 奥数 不规则图形面积计算 莱茵学堂410.把边长为 40 厘米的正方形 ABCD 沿对角线 AC 截成两个三角形，在两个三角形内按图示剪下两个内接正方形 M、N.这两个正方形中面积较大的是哪一个？它比较小的正方形面积大多少平方厘米？习题五解答五年级 奥数 不规则图形面积计算 莱茵学堂5五年级 奥数 不规则图形面积计算 莱茵学堂6
