1、数学必修 4 平面向量一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。 与非零向量 共线的单位向量a0a3. 平行向量：若非零向量 方向相同或相反，则 ；规定零向量与任一向量平行,ab/b4、向量相等： 模相等，方向相同；相反向量： 模相等，方向相反a5、两个非零向量 、 的夹角：做 = ； = ； 叫做 与 的夹角。OAaBAOb6、坐标表示： 、 分别是与 轴、 轴同向的单位向量，若 ，则 叫ijxyjyixx,做 的坐标。 7.向量 在 方向上的投影 ：设 为 、 的夹角，则 为 在 方向aabbcosa上的投影二、基本运算：运算 向量形式坐标形
2、式： ；1,yxa2,yxb加法 平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。三角形加法法则：首尾相连 记：ABC+ =b221减法 起点相同的两个向量的差， （箭头指向被减向量） 记： OBAAB- =ab2121,yx数乘 是一个向量，aa|方向： 时，与 同向； 时，00与 反向； 时，aa1,yxa数量积 =bcos| =ab21yx三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若 与 不共线，则对平面内的任意一个向量 ，有且只有一对1e2 a实数 、 ；使得 。12a21e2、向量的模： ；非零向量 与 的夹角：yxabcos221| yxba3、向量平行： ；向量垂直： ba121yxa
3、b0021yx四、基础训练（1）已知 ，且 ，则向量 在向量 上的投影为 3,ba4baba（2）已知 A（3，y ） ，B（ ，2） ，C（6， ）三点共线，则 y=_.59（3）非零向量 和 满足： ，则 与 的夹角等于 .|五、典例讲解.例 1. 已知 ， ， （1）证明： 三点共(1,)a(3,2)b(6,4)D,ABD线.（2） 为何值时， 向量 与 平行 向量 与 垂直kkakab3例 2、平面内有向量 ，点 Q 为直线 OP 上一OABOP（ 1， 7） ， （ 5， 1） ， （ 2， ）动点，1）求 取最小值时，点 Q 的坐标 2）当点 Q 满足 1）的条件和结论时，求Q的值
4、。cosB例 3. 已知向量 ， ，(sin,1)a(,cos)b(,)2（1）若 求 的值。 （2）求 的最小值.（3）求函数 = 的单调ba)(fyab增区间六、巩固练习1已知平面内三点 A（-1，0） ，B（x，6） ，P（3，4） ，且 = ，x 和 的值分别为 AP B( )A-7，2 B5，2 C-7， D5，5222、向量 ， b满足 ， ，则 的取值范围是 a610bba3、已知 ， ， ，则 8a4、已知 + ， ，则向量 +2 与 2 （ ）1e21e2abA、一定共线 B、一定不共线C、仅当 与 共线时共线 D、仅当 = 时共线1e5、已知 ABC顶点A（1， ），B （
5、2，3）及重心坐标G（1， ），则顶点C的坐标12为_6已知 O（0，0）和 A（6，3）两点，若点 P 在直线 OA 上，且 ，又 P 是线段AOOB 的中点，则点 B 的坐标是 7、已知| |=| |， ，且（ + ） （k - ） ，则 k 的值是( )abababA1 B-1 C0 D-28、已知 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围(,2)(1,为_9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）, 为一动点，及 ，PABtOP（1）t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。QP ACB10、已知 ， ，且 与 的夹角 为1a2bab06（1）求 ， ， ()3（2）证明： 与 垂直11、已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）abca（1）若| |=2 ，且 ，求 的坐标c5ac（2）若| |= ，且 +2 与 2 - 垂直，求 与 的夹角 .b2bab12、已知等边三角形 的边长为 2， 的半径为 1， 为 的任意一条直径，ABCAPQA（）判断 的值是否会随点 的变化而变化，请说明理由；PQ（）求 的最大值
