1、高一学年上学期期末数学试题1、选择题 1.非空集合 X=x|a+1x3a-5,Y=x|1x16，使得X (XY)成立的所有 的集合是（ ）aA.a|3a7 B. a|0a7 C.a|30 且 a1,函数 f(x)=loga(x+1),g(x)=loga ,记 F(x)=2f(x)+g(x).x1(1)求函数 F(x)定义域及其零点； (2)若关于 x 方程 F(x)-2m2+3m+5=0 在区间0.1)内仅有一解 ,求实数 m 取值范围.22.已知函数 （ 为常数），函数12123,3xt xtff12,Rt定义为：对每一个给定的实数 , (1)求证：当fx 212(),fxf满足条件 时，对
2、于 , ；(2)设 a,b 是两个实数，12,t12log3tx=f满足 ab，且 t1,t2 (a,b)，若 f(a)=f(b)，求函数 f(x)在区间a,b 上的单调递增区间的长度之和.（闭区间m.n的长度定义为 n-m）答案一、选择题 1 A;2 C;3 A; 4 D;5 D;6 D;7 A;8 A;9 A; 10 C;11 B;12 D2、填空题13100 14. 28/3 15. 16. 三、解答题17.（I）(1,2)（4分）（）m3或m 10/36218 解(1)f()=-cos;(2) cos(3/2)=-sin=3/5，sin=-3/5，又由 是第三象限角， cos=-4/5
3、，故 f()=-cos=4/519. 解： 2()in(cos1)sin2cosin(2)6fxxxxx(1)最小正周期为 ;最大值为 2，最小值为-1（）解：由（1）可知00()f又因为 ，所以 由 ，得06()5fx03si65x0,42x7,3x,24cos21n00004cossinsi6610xxx Oyx(a,f(a)(b,f(b)图1Oyx(a,f(a) (b,f(b)(x0,y0)(t2,2)(t1,1)图220 解：（1）函数 f(x) 2cos(/3x/2)=2cos（x/2 /3），令 2k-x/2/32k kz，可得x4k4/3， 4k+2/3 ， kZ，故函数的增区间
4、为： 4k4/3， 4k+2/3 ， kZ（2）由 x-， ，可得 x/2 /3-5/6，/6 ，故当 x/2 /3=-5/6 时，函数 f（x）取得最小值为- ；当x/2/3=0 时，函数 f（x）取得最大值为 221.（1）解：（1） （ 且 ） )()(xgFaa1log)(l 01a，解得 ，所以函数 的定义域为 ,令 =0，则01F)(F（*）方程变为 ，0lo)(lg2xxaa )ll2xxaa，即 ,解得 ， 经检验 是（*）的增根，1321323所以方程（*）的解为 ，所以函数 的零点为 ，（2）函数 在定义)(01,y域 D 上是增函数当 时， 在定义域 D 上是增函数 当
5、时，a)(xgfxF0a函数 在定义域 D 上是减函数 问题等价于关于 的方程)(2)(gxfF x在区间 内仅有一解， 当 时，由（2）知，函数 F（x）在35m1,0 1a上是增函数 只需 解得： 或 m2.5 ,1,02350m,当 时，由（2）知，函数 F（x）在 上是减函数, 只需a)(),Fx解得：-1 m2.5 综上所述，当 时：-1 m2.5；当 时， 或2351a1a,m2.522.解：（1）由 f(x)的定义可知，f(x)=f 1(x)（对所有实数 ）等价于 f1(x)f2(x)（对所有实数 ）这又等价于xx，即 对所有实数 均成立. （*） 由于2xtxtA23log2x
6、tt的最大值为|p 1-p2|，故（*）等价于 ，即111()()R123t，所以当 时，23logt 23lt()fx（2）分两种情形讨论（i）当 时，由（1）知1og1()fx（对所有实数 ）则由 及 易知 ， ,xabffb1at2bt再由 的单调性可知，函数 在区间 上的单调增113(),txf()x,区间的长度为 （参见示意图 1）（ii ） 时，不妨2ab23tlog设 ，则 ，于是 当 时，有 ，1,t13logtxt12()txtff从而 ；当 时，()fx2t有 3121122log1 ()ttxtxtxtfA从而 ；当 时， ，及 ，1()tf 23tx由方程 解得 图象交点的横坐标为23xtt与显然 ，103log10212lttt这表明 在 与 之间。由易t2综上可知，在区间 上， （参102(),xfxt,ab012(),()axffxb见示意图 2）故由函数 及 的单调性可知， 在区间 上的单调增区间的长度之和为1()fx2f()fx,ab，由于 ，即 ，得012()xtbt()ab123tat故由、得 综合（i ）23loga013log2a（ii）可知， 在区间 上的单调增区间的长度和为 。(f,
