1、第2章 金属塑性变形的力学基础,2. 1 金属塑性成形过程的受力分析 2. 2 变形体内一点的应力状态分析 2. 3 变形体内质点的应变状态分析 2. 4 屈服准则 2. 5 塑性变形的应力应变关系 2. 6 金属材料的实际应力应变曲线,塑性理论的几点假设,变形体是连续的 变形体是均质的和各向同性的 在变形的任意瞬间，力的作用是平衡的 在一般情况下，忽略体积力的影响且初应力为0 在变形的任意瞬间体积不变,2. 1 金属塑性成形过程的受力分析,作用于金属的外力可以分为两类： 作用在金属表面上的力，为面力作用在金属每个质点上的力，为体积力。,面力,面力可分为作用力、反作用力和摩擦力。作用力：是由塑
2、性加工设备提供的，用于使金属坯料产生塑性变形。反作用力：是工具反作用于金属坯料的力。摩擦力：金属在外力作用下产生塑性变形时，在金属与工具的接触面上产生阻止金属流动的摩擦力,体积力,体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重力、磁力和惯性力等。对一般的塑性成形过程，由于体积力与面力相比要小得多，可以忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。,内力,定义：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。当外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生于内部各部分之间相互平衡的
3、力。,2. 2 变形体内一点的应力状态分析,1.应力分析的截面法 2.三维坐标系的应力分量和应力张量 3.任意斜面上的应力 4.主应力和应力不变量,5. 主切应力和最大切应力 6. 应力球张量和应力偏张量 7. 八面体应力和等效应力 8. 应力平衡微分方程 9. 平面应力状态和轴对称应力状态 10. 应力莫尔圆,1. 应力分析的截面法,应力：是单位面积上的内力，其定义式为：,=,S=,2.三维坐标系的应力分量和应力张量,3. 任意斜面上点的应力状态,现考察变形体内任一点M某一斜面上的应力情况。设过M点三个坐标面上的应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为dx、dy、dz，以四面体近似表示点，从而
4、斜面近似通过M点（见图1-3）。斜面外法线n的方向余弦分别为：,图1-3 四面体受力示意图,若斜面ABC的面积为dA，则dA在三个坐标面上的投影面积分别为：dAx=ldA；dAy=mdA；dAz=ndA现设斜面ABC上的全应力为S，它在三个坐标轴方向的分量为Sx、Sy、Sz，由于四面体QABC出于平衡状态，由静力平衡条件,则有：,于是可求得全应力为:,全应力S在法线N上的投影就是斜面上的正应力，它等于Sx、Sy、Sz在N上的投影之和。,若令：,则有：,其中：,称为应力张量。,若质点处于边界，设外力为F，则有：,4. 主应力与应力张量不变量,主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称
5、作主平面，法线方向为主轴或主方向。,设主应力为 ，当为主方向时，有 ， 代入（式2.6），整理，有：,解 的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得,其中,称作应力张量的第一、二、三不变量。,上式称为应力状态特征方程。可以证明该方程必然有一组唯一的三个实根，它的三个实根就是三个主应力。将所得的主应力值带入（2-11）中的任意两式，并与式（2-12）联解，便可求出三个互相垂直的主方向。,以上分析表明，,一定，主应力与I1，I2，I3的大小就完全确定。因此，一点的应力状态也可用主应力来表示。特别是，当坐标轴与主轴相重合时，,的表现形式最为简洁。同样I1，I2，I3的形式也可简化。不论坐标系怎样变化，
6、一点的主应力与应力张量不变量保持恒定。,应力椭球面,应力椭球面是在主轴坐标系中点的应力状态的几何表达。有式（2-6a）可得 于是得,上式就是椭球面方程，其主半轴的长度分别等于 。这个椭球面称为应力球椭球面，如图2-8所示。对一个确定的应力状态，任意斜面上全应力矢量S的端点必然在椭球面上。 在三个主应力中，如果有两个主应力为零，叫单向应力状态。属圆柱应力状态。如果一个主应力为零，则是两向应力状态，为某个平面上的椭圆轨迹。如三个主应力都相等，则为球应力。,主应力图,受力物体内一点的应力状态可用作用在应力单元上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图（见书本图2-1
7、0）主应力图共有九种，各主应力符号相同的称为同号主应力，符号不同的，称为异号主应力图。,5. 主切应力和最大切应力,切应力也随着斜面上的方位而改变，当斜面上的切应力为极大值时，该切应力称为主切应力。主切应力作用的平面称为主切应力平面。主切应力平面共有12个，它们分别与一个主平面垂直，与另外两个主平面交成45角。,6. 应力球张量和应力偏张量,1. 应力张量的分解 塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把分解成与体积变化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设为平均应力，则有：,按照应力叠加原理， 具有可分解性。因此有：式中当 时 ， ；当 时，,上式中右边的后
8、一项表示球应力的状态，故称应力球张量。其任何方向都是主方向，而且主应力相同，均为平均应力。由于球应力状态在任何斜面上都没有切应力，所以它不能使物体产生形状变化（塑性变形），只能产生体积变形。如胀性成形。,上式右边的前一项称为应力偏张量，它是由原来的应力张量分解出球张量后得到的。由于被分解出的应力球张量没有切应力，任意方向都是主方向且主应力相等。因此，应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力以及应力主轴等都与原应力张量相同。因而应力偏张量使物体产生形状的变化，而不产生体积变化，材料的塑性变形就是由应力偏张量引起的。,应力偏张量不变量,应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为
9、 。,表明应力偏张量已不含平均应力成份。 与屈服准则有关 ，反映了物体形状变化的程度。 反映了变形的类型： 表示广义拉伸变 形； 表示广义剪切变形， 表示广义 压缩变形。,7.八面体应力和等效应力,1八面体应力在主应力空间中，每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个掛限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。,八面体的余弦：代入式（2-8a）和（2-9a）中，可求得八面 体正应力 和八面体切应力 ：,由上面两式可以看出， 就是平均应力，即球应力，是不变量。 则是与应力球张量无关的不变量，反映了三个主切应力的综合效应，与应力偏量第二不变量 有关。,用任意坐
10、标系应力分量表示八面体应力,意义,：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。 ：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。 ：四组八面体面，构成正八面体。 总共有26个，这些平面上的应力值，对研究一点的应力状态有重要的作用。,图1-4 应力球与特殊面,2等效应力,为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力 （应变能相同的条件下），也称相当应力或应力强度。,等效应力特点,等效应力是一个不变量 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸（压缩）时的拉伸（压缩）应力。 等效应力并不代表某一实际表面上的应力，因而不能在某一特定平面上表示出来。 等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。,八、应力平衡
11、微分方程,应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。,直角坐标下的平衡微分方程,假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为， （见图1-8）。假设的连续可导则有：,图1-8 直角坐标系微体受力,直角坐标下的应力平衡微分方程* 即 （不计体力）物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。,推导原理： 静力平衡条件：静力矩平衡条件：泰勒级数展开：,圆柱坐标下的应力平衡微分方程,九、平面应力状态和轴对称应力状态,在变形体为板料或薄壁件时，则认为某个平面上没有应力的作
12、用，这就是平面应力状态。,平面应力状态的特点, 变形体内各质点在与某一方向垂直的平面上没有应力作用,即 沿z轴方向均匀分布，即应力分量与z轴无关，对z轴的偏导数为零。,平面应力状态的应力张量,或,平面应力状态下的主切应力为：,主应力为：,一般，z方向有应变，只有纯剪切时 ， z向既无应力也无应变。,平面应变状态的应力,变形物体在某一方向不产生变形，称为平面变形，其应力状态称为平面应变状态下的应力状态，发生变形的平面称为塑性流平面。,平面应变的应力状态特点, 不产生变形的方向为主方向，与该方向垂直的平面没有切应力； 在z方向有阻止变形的正应力； 所有应力分量沿z轴均匀分布，即与z轴无关，对z的偏
13、导数为零。,平面应变状态下的应力张量为：,在主轴坐标系中应力张量,平面应变的应力状态=纯剪切+应力球状态,轴对称应力状态,特征：,应力张量,应力微分方程,十、应力莫尔圆,应力莫尔圆是表示点的应力状态的一种几何方法。已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力莫尔圆通过图解法来确定过该点任意斜面上的正应力和切应力。注意：作应力莫尔圆时，顺时针作用于所研究的单元体上的切应力为正，反之为负；正应力拉为正，压为负。,1、平面应力状态的莫尔圆,由于： ,代入方程组设斜面法线N与X轴夹角是 ，如图有：,可得：,消去,圆心：,半径：,图2-19 平面应力状态莫尔圆 莫尔圆上每一点表示一个垂直xoy坐标面（
14、平行于z轴）的斜面上的正应力和切应力。 莫尔圆上两点的圆心角是实际物理平面夹角的两倍（逆时针旋转）。练习：1 画出纯剪切状态下（ ）应力莫尔圆。,2 三向应力莫尔圆,设可得：,三圆一定相交于一点（为什么），交点坐标即为斜面上的正应力和切应力。,若l 、m、n分别为0，则可得：,第一式表示的圆上的点为法向量n=0的平面 上的正应力和切应力。 此三式即为三向应力莫尔圆。,若,以上三式说明： 过某质点任意斜面上的应力一定在三个莫尔圆相交的阴影区域。 应力球张量在莫尔圆上仅为一点，坐标 为 应力偏张量与应力球张量莫尔圆大小形状相同，仅将 轴右移 。,3.平面应变状态的应力莫尔圆,平面应变状态,练习：某
15、点应力状态,。 画出应力单元体 求主应力和主方向 画出应力莫尔圆，标出x、y、z面在圆上的位置,2. 3 变形体内一点的应变状态分析,应变是表示变形大小的物理量 应变是由位移引起的。（有应变一定有位移，反之不一定，应排除刚性位移。） 以下结论适用于小变形（ 的弹塑性变形）,质点的应变状态,位移及其分量,或,位移增量：,线应变和切应变,线应变表示线元长度的相对变化率，切应变表示相交两线元夹角的变化。,线应变：,线元伸长时 为正，缩短时为负。,工程切应变（相对切应变）：,切应变：,CPA减小时 为正，反之为负；角标1表示线元方向，角标2表示线元偏转方向。,？为什么用 表示切应变,应变分量和应变张量
16、(strain tensor),其中：,点的应变状态和应力状态的类比1. 由 可求得任意方向的线应变和切应变位移分量应排除由刚性转动应起的相对位移分量,2. 存在三个相互垂直的主方向该方向上只有线应变，没有切应变。 3. 存在三个应变张量不变量 4. 主应变和主切应变 5. 应变张量=应变偏张量 6. 八面体应变和等效应变见书P41-P42,应变与位移关系方程,1 几何方程 2 变形连续方程,1 几何方程,讨论：1.物理意义：表示位移 (displacement)与应变(strain) 之间的关系；2.位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和变形体的刚性位移（平动和转动）；3.工程剪应变理
17、论剪应变,4.应变符号规定： 正应变或线应变 ( )：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（ ）：夹角减小为正，增大为负； 5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。,2 变形连续方程,讨论：,1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以确定；3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。,应变增量,全量应变前面所讨论
18、的应变是反映单元体在某一变形过程或某一变形阶段终了时的总变形大小，称作全量应变。 增量应变将变形物体在变形过程中任意瞬间的形状和尺寸作为初始状态，在此基础上产生的无限小应变，称作增量应变或应变增量。,应变增量,也是二阶对称张量。,应变速率张量,速度场和速度分量,或,速度场：,速度分量：,位移增量：,应变速率（变形速度）,和,一样，是描述某瞬时的变形状态。,当不考虑 对材质影响时，用 和 计算结果一致。若对于 敏感的材料（如超塑性材料），应用 计算。,应变速率张量,应变速率几何方程：,例题：,塑性变形程度的表达式,相对应变 (平均应变）对数应变（真实应变）,是一种全量应变。,两种应变的关系,或,
19、对数应变的特点,对数应变具有可加性,当 很小时，,对数应变为可比应变,对数应变是全量应变，只有当变形过程中主应变方向始终不变时，对数应变才等于实际应变。,塑性变形的体积不变条件,证明过程见P51，自习,主应变图与变形程度表示,主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主变形图只可能有三种形式,主应力、主应变图示：主应力9种； 主应变3种 但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？,变形程度表示,绝对变形量指工件变形前后主轴方向上尺寸 的变化量 相对变形指绝对变形量与原始尺寸的比值，常称为形变率 真实变形量即变形前后尺寸比值的自然对数,应力应变分析的相似性与差异性,相似性：张量表
20、示、张量分析、张量关系相似,差异性： 概念：应力 研究面元ds 上力的集度应变 研究线元dl 的变化情况 内部关系：应力应力平衡微分方程应变应变连续（协调）方程弹性变形：相容方程塑性变形：体积不变条件,等效关系： 等效应力弹性变形和塑性变形表达式相同 等效应变弹性变形和塑性变形表达式不相同对于弹性变形：（ 泊松比）对于塑性变形：,真实应力和真实应变含义：,塑性变形程度的表达式,塑性指标的测量方法 塑性指标,塑性指标,概 念： 金属在破坏前产生的最大变形程度，即极限变形量。 表示方法： 断面收缩率延伸率冲击韧性最大压缩率扭转角（或扭转数）弯曲次数,塑性指标的测量方法,拉伸试验法 压缩试验法 扭转
21、试验法 轧制模拟试验法,拉伸试验法,式中：L0拉伸试样原始标距长度；Lh拉伸试样破断后标距间的长度；F0拉伸试样原始断面积；Fh拉伸试样破断处的断面积,压缩试验法,简单加载条件下，压缩试验法测定的塑性指标用下式确定：,式中： 压下率；H0试样原始高度；Hh试样压缩后，在侧表面出现第一条裂纹时的 高度,扭转试验法,对于一定试样，所得总转数越高，塑性越好，可将扭转数换作为剪切变形（ ） 。,式中：R试样工作段的半径；L0试样工作段的长度；n试样破坏前的总转数。,轧制模拟试验法,在平辊间轧制楔形试件，用偏心轧辊轧制矩形试样，找出试样上产生第一条可见裂纹时的临界压下量作为轧制过程的塑性指标。,2. 4
22、 屈服准则,又称塑性条件(plastic conditions)或屈服条件(yield conditions)，它是描述不同应力状态下变形体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须满足的力学条件。用屈服函数(yield function)表示：,Tresca 屈服准则（最大剪应力准则）Mises 屈服准则回忆： ,比较两屈服准则的区别：,（1）物理含义不同：Tresca：最大剪应力达到极限值 KMises：畸变能达到某极限 （2）表达式不同; （3）几何表达不同：Tresca准则：在主应力空间中为一垂直平面的正六棱柱。 Mises准则： 在主应力空间中为一垂直于平面的圆柱。(平面:在主应力坐
23、标系中，过原点并垂直于等倾线的平面),比较两屈服准则的区别,两准则的联系：,（1）空间几何表达：Mises圆柱外接于Tresca六棱柱；在平面上两准则有六点重合；（2）通过引入罗德参数和中间主应力影响系数，可以将两 准则写成相同的形式：其中 称为中间主应力影响系数称为Lode参数。,讨论： 当材料受单向应力时，=1，两准则重合； 在纯剪应力作用下，两准则差别最大；按Tresca准则：按Mises准则： 一般情况下，=11.155,2. 5 塑性变形的应力应变关系,塑性变形时应力应变之间的关系称为本构关系，这种关系的数学表达式称为本构方程，也叫物理方程。是求解塑性变形问题的补充方程。,回顾并思考
24、：,1单向拉伸试验：随着外载荷或强制应 变的增加，会发生什么现象？弹性变形屈服均匀塑性变形塑性失稳断裂 2应力增加到什么程度材料屈服？屈服条件，两种判别准则。 3材料发生屈服后如何？塑性本构关系，两种理论，几种简化模型。,4如何进行数值求解？塑性力学解析法：工程法（主应力法）：“塑性加工原理”重点讲授滑移线法能量法（上限法）有限单元法（FEMFinite Element Method）：,硕士阶段“现代材料加工力学”详述,硕士阶段另一门学位课程,一、弹性应力应变关系,对于一般应力状态下的各向同性材料的弹性应力应变关系，则由广义胡克定律表达，即,式中 E弹性模量v泊松比G切变模量,弹性变形时，应
25、力应变关系有以下特点： 1）应力与应变完全成线性关系，应力主轴与全量应变主轴重合； 2）弹性变形是可逆的，应力与应变之间是单值关系，加载与卸载的规律完全相同； 3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比 v 0.5.,二、塑性应力应变关系的特点,材料在塑性变形时，应力与应变之间的关系有以下特点; 1)塑性变形是不可恢复的，是不可逆的关系； 2）对于应变硬化材料，卸载后再重新加载，其屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高； 3)塑性变形时，可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比v=0.5； 4）应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全量应变主轴与应力主轴不一定重合。,增量
26、理论,瞬时应力状态瞬时应变增量 1. Levy-Mises方程前提假设：1）理想刚塑性材料2）服从Mises准则3）瞬时应力与瞬时应变增量主轴重合4）体积不变,d为一正的瞬时常数。,（1）,等效塑性应变增量,等效应力,（2）,主应力状态下：即应变增量与应力偏张量成正比。,(3),证明：,1 平面塑性变形：,因为 代入（3）式 即得。,2 轴对称时，若 ，则有,2 .应力-应变速率方程（Saint-Venant方程）,（1）,（2）,* L-M方程只适用塑性变形远大于弹性变形场合。,* 与 非单值对应。见P72,3. Prandtl-Reuss方程,（1）,（2）,* L-M方程适用于大应变；P
27、-R方程适用于小应变及求弹性回跳、残余应力场问题。 *增量理论能反映复杂的加载过程，卸载仍按 胡克定律进行。,全量理论,前提：比例加载，即 C-单调增函数，理想塑性材料c为常数。 汉基方程：,（1）,塑性切变模量,比例系数,伊留申全量理论前提：1）塑性变形是微小的，和弹性变形同一数量级。2）外载荷各分量按比例增加，中途不卸载。3）变形体不可压缩，即,4）加载过程中，应力主轴方向与应变主轴方向固定不变，且重合。 5）满足,若材料是刚塑性的,（1）,（2）,塑性模量,是与材料特性、塑性变形程度、加载历史有关，而与物体所处的应力状态无关的变量。,（3）,塑性成形中，由于比例加载难以保证，一般不能直接
28、使用全量理论。但在有些场合，如求变形力,这时一般只需研究变形过程中某一特定瞬间的变形，如果以变形体在该瞬时的形状、尺寸、性能为原始状态，那么小变形全量理论与增量理论可以认为是一致的。研究表明，一些塑性加工过程，虽与比例加载有偏差，运用全量理论也能得到较好的结果，所以仍然在使用。,习题： P83： 2-5、 2-6、 2-7、2-8 、 2-14 、 2-15 讨论： 2-9 、2-10,2.6 金属材料的实际应力-应变曲线,对理想塑性材料，屈服应力为常数 。但是对于一般工程材料，进入塑性状态后继续变形时，会产生强化，则屈服应力将不断变化，即为后继屈服应力。一般用流动应力来泛指屈服应力，用S表示
29、。数值上等于试样断面上的实际应力。它是金属塑性加工变形抗力的指标。,拉伸试验曲线,1. 标称应力应变曲线标称应力(名义应力或条件应力）及相对线应变分别为式中 P拉伸载荷试样原始横断面积试样标距伸长量试样标距原始长度,标称应力-应变曲线三特征点,第一特征点是屈服点c，它是弹性变形与塑性变形的分界点。 第二特征点是曲线最高点b，它是均匀塑性变形和局部塑性变形的分界点。 第三特征点是破坏点k，这时试样发生断裂，是单向拉伸塑性变形的终止点。,*标称应力是假设 不变得到的，实际上在拉伸中试样截面积是减小的，因此标称应力不能反映实际应力；同样标距长度也在变化，故相对线应变不能反映瞬时真实应变，所以标称应力
30、-应变曲线不能反映材料在塑性变形阶段的力学特征。,2.实际应力应变曲线（硬化曲线）,实际应力应变曲线，按不同应变表示方式，可有三种类型： 第一类 实际应力与相对线应变组成的曲线。 第二类 实际应力与相对断面收缩率组成的曲线。 第三类 实际应力与对数应变组成的曲线。,实际应力与对数应变曲线步骤：1 确定2 找出均匀塑性变形阶段的实际应力 和对数应变,在失稳点b，也有,3 失稳阶段， 段近似作出,单向应力-三向应力，形状硬化,段包含了形状硬化，应修正。,实际应力-应变曲线的简化形式,1 幂指数硬化曲线,强化系数,硬化指数,2 初始屈服应力的刚塑性硬化曲线,3 初始屈服应力的刚塑性硬化直线,4 无加工硬化的水平直线,见书P81例题2-11,包申格效应,自习,
