1、复数及其运算1 复数域形如 或 的数，称为复数，其中 和 均是实数，称为复数 的实部和虚部，记zxiyzi xyz为 ， ，称为虚单位RexIm1两个复数 ，与 相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即 且1zxiy22zxiy 12x虚部为零的复数可看作实数，即 ，特别地， ，因此，全体实数是全体复数的一12y0xA0iA部分实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数 和 称为互为共轭复数，记为iyi或 ()xiyixiyi设复数 ， ，则复数四则运算规定：11z22z2()()xiy112121zxA2 22(0)xyyiz容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律全体
2、复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数 实际上是由一对有序实数 唯一确定因此，如zxiy(,)xy果我们把平面上的点 与复数 对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系(,)xyzi由于 轴上的点和 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称 轴为实轴，称 轴为虚轴，这样表示复数 的平面称为复平面或 平面z引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集” 3复数的模与幅角由图 1.1 中可以知道，复数 与从原点到点
3、所引的向量 也构成一zxiyzoz一对应关系（复数 对应零向量） 从而，我们能够借助于点 的极坐标 和 来Or确定点 ，向量 的长度称为复数 的模，记为 图 1.1zxiyoz20rzxy显然，对于任意复数 均有 ， ， izyzxy(1.)另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式1212zz(1.2)（三角形两边之和 第三边， 图 1.2）1212(.3)（三角形两边之差 第三边， 图 1.3）与 两式中等号成立的几何意义是：复数 ， 分别与 及 所表示的三个向量共线(1.2).31z212z12z且同向向量 与实轴正向间的夹角 满足 称为复数 的幅角 ，记为 由于任一o
4、zyxtan()ArgumentArgz非零复数 均有无穷多个幅角，若以 表示其中的一个特定值，并称满足条件 ArgzArgz(1.4)的一个值为 的主角或 的主幅角，则有 arg2Azk(0,12,) (1.5)注意：当 时，其模为零，幅角无意义0z从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数 ，即有z(cosin)r(1.6)同时我们引进著名的欧拉 公式：Eulercsiie(.7)则 可化为 (1.6)izre18与 式分别称为非零复数 的三角形式和指数形式，由 式几指数性质即可推得复数的乘除8z(1.8)有1212122()12()iiiizrere(1.9)因此
5、 ， 122z12z(0)(.1212()ArgArgzz(1.)公式 与 说明：两个复数 ， 的乘积（或商） ，其模等于这两个复数模的乘积（或商） ，其.0(.)1z2幅角等于这两个复数幅角的和（或差） 特别当 时可得 21z12()12izre此即说明单位复数 乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度另外，也可把公式 中的 换成 （某个特定值） ，若 为主值时，则公式两端允许相差(.)Argzaargz的整数倍，即有21212()Argzarzkg(1.2)公式 可推广到有限个复数的情况，特别地，当 时，有(.9) 12nzz(cosin)nininzrer当 时，就得到熟知的
6、德摩弗 公式： 1DeMVr(cosi)cosinn(1.3)4.复数的 n 次方根给定复数 Z，方程 的根称为 Z 的你、次方根，记为 ，可以推得：nnZ1,20)2si2(cos1 knkrnk 其 中几何意义： 的 n 个值是以原点为中心， 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点。Zr1练习一选择题1复数 在复平面上对应的点位于（ ）3iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.设 i 是虚数单位，复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， ，则 （ ）12z， 1iz12z（A）2 （B）1i （C）i （D）i3.复数 （ 是虚数单位）的模等于（ ）5A B C D10054
7、.对任意复数 ， ，定义 ，其中 是 的共轭复数对任意复数 ， ， ，有如下四1212121z23个命题： ； ；1231323zzz1231213zz ； 则真命题的个数是（ ）A B C D12345若 为非零复数，则 与 的关系是 z|zz（A） （B ） （C） （D）不能比较大小2|2|2|zz6. 设 为复数，则方程 的解是 z|zi（A） （B） （C ） （D ）34i3434i34i二填空题1. 设 ， ，则 =_12zi25zi21z2. 已知 ，则()(3)i|3. 已知 ，则(2)zargz4. 已知 , , 则 |53arg4zi5. 化简 =_。 2(cosn)3i三解答题1求下列复数 的实部与虚部，共轭复数，模与辐角。z2解方程3求方程 的所有根，并求由这些根所对应的点所组成的多边形的面积。380z
