1、第 11 卷 第 4 期 邵阳 学 院学报 ( 自然科学版 ) Vol11 No42014 年 12 月 Journal of Shaoyang University( Natural Science Edition)Dec2014文章编 号 : 1672 7010( 2014) 04 0012 06采用 EMD 和奇异值分解子空间重构的信号降噪新方法崔凤新1， 徐丽兰2， 郑新桃3( 1 集美大 学 诚毅学院 ， 福建 厦门 361021;2 国网福建省电力有限公司漳州供电公司 福建 漳州 363000;3 国网福建省电力有限公司检修分公司 福建 福州 350013)摘 要 : 传统的奇异值
2、降噪法对适合奇异值分解的矩阵构造及信号重构时有效秩阶次的选取缺乏具有物理意义的依据 提出一种采用 EMD 和奇异值分解子空间重构的信号降噪新方法 ， 通过对 EMD 方法得到的各阶 IMF 分量构造时频矩阵进行奇异值分解 ， 将信号的特征信息分解到各个不同的时频子空间中 ， 根据时频子空间的特征变化 ， 选择相应的子空间进行奇异值分解逆变换 ， 从而实现信号降噪 对仿真合成电信号及实测机械振动信号的降噪应用 ， 表明该方法能有效地从原始信号中提取所需的信号特征成分 ， 具有直观的物理意义 关键词 : 奇异值分解 ; 时频矩阵 ; 子空间重构 ; 信号降噪中图分类号 : TP202 文献标志码
3、: AA New Method for Noise eduction Based on EMD and SVDSubspaces econstructionCUI Feng xin1， XU Li lan2， ZHENG Xin tao3( 1 College of Chengyi， Jimei University， Xiamen， Fujian 361021， China;2Zhangzhou Electric Power Company of Fujian Electric Power Company Limited， Zhangzhou， Fujian 363000， China;3
4、Mentaince Branch Company of Fujian Electric Power Company Limited， Fuzhou， Fujian 350013， China)Abstract: There was a lack of physical meaning basis for traditional noise reduction based on SVD when it came to constructwhat kind of matrix and how to choose the rank number to reconstruct signal effec
5、tively A novel noise reduction method based onEMD and SVD subspaces reconstruction was proposed here A series of IMF components through EMD were obtained to form thetime frequency matrix which could be decomposed by SVD so that the feature of original signal was decomposed into different time freque
6、ncy subpaces Then appropriate subspaces according to feature change of subspaces were selected to do SVD inverse trans-收稿日期 : 2014 07 03作者简介 : 崔凤新 ( 1978) ， 女 ， 山东菏泽人 ， 讲师 ， 硕士研究生 ， 研究方向 : 电力系统及其自动化 、控制理论与控制工程 第 4 期 崔凤 新 ， 徐 丽兰 ， 郑新桃 : 采用 EMD 和奇异值分解子空间重构的信号降噪新方法 13formation so as to achieve signals
7、main feature Simulation of electric signal and measured vibration signal results show that thisapproach is an effective method to extract useful component from original signal and is with intuitive physical meaningKey words: singular value decomposion; time frequency matrix; subspaces reconstruct; s
8、ignal de noising0 引言信号 降 噪作为信号处理前期及故障诊断的一个必要步骤 ， 对工程应用及研究具有重要意义 作为非线性滤波的奇异值分解 技 术 ( Singular Value Decomposition，SVD) ， 已被证明是一种有效的信号处理工具 ， 可提取信号主要特征成分 ， 被广泛应用于工程信号的消噪处理 1 4目前 对 奇异值分解降噪方法的研究主要集中在如何构造适合奇异值分解的矩阵及如何选取有效秩阶次进行信号重构这两方面 对于如何构造适合奇异值分解的矩阵 ， 多数文献均从数学矩阵角度出发 ， 如构造 Toeplitz 矩阵 、Cycle 矩阵 、Hankel 矩
9、阵等 5 7 另一 方 面 ， 有效奇异值阶数的选取直接影响了信号降噪的效果 ， 不同的奇异值阶数重构出的信号信噪比不同 目前选取重构奇异值阶数的方法主要有奇异值熵增量 2、奇异 值 加权能量贡献率 8、信噪 比经 验 9等 ， 均依靠经验选取而没有 明 确给出有效阶次 ， 缺乏具有物理意义的选取依据 基于此 ， 本文提出一种采用经验模态分解 ( Empirical Mode Decomposition， EMD)和奇异值分解子空间重构的信号降噪新方法 原始信号经 EMD 方法后 ， 根据信号自身特征自适应得到一系列具有实际物理意义的固有模态函数 ( Intrinsic Mode Func-t
10、ion， IMF) 分量 ， 利用这些 IMF 分量构造适合奇异值分解的时频矩阵进行奇异值分解 ， 将信号的特征信息分解到各个不同的时频子空间中 ， 这些时频子空间包含了信号的时域和频域信息 ， 根据时频子空间的特征变化 ， 选择相应的子空间进行奇异值分解逆变换 ， 从而实现信号降噪 对仿真合成电信号及实测机械振动信号的降噪应用 ， 表明该方法能有效地从原始信号中提取所需的信号特征成分 ， 具有直观的物理意义 ， 适合工程信号降噪处理 1 一维 信 号 EMD 方法EMD 10 11根据信号自身性质将 信 号自适应地分解成若干个具有单一频率成分的固有模态函数 ( Intrinsic Mode
11、Function，IMF) ， 这些 IMF 刻画了信号的局部振荡结构也即频率结构 ， 为计算信号具有实际物理意义的瞬时频率提供理论依据 IMF 是一类满足单分量信号物理解释的信号 ， 在每一时刻只存在单一频率成分 ， 这样便使得瞬时频率具有实际的物理意义 在严格定义上 ， IMF 是指满足以下两个条件的函数 12:1) 在整个数据序列中 ， 极值 点 的个数和过零点的个数必须相等或相差最多不能超过一个 ;2) 在任意时刻 ， 由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值点形成的下包络线的平均值为零 ， 即上 、下包络线相对于时间轴局部对称 从 IMF 定义可知 ， IMF 反映了信号内部固有的
12、波动性 ， 每个 IMF 仅包含一个波动模态 ， 而不会出现多个波动模态混叠的现象 ， 在任一时刻只有单一的频率成分 ， 据此可计算瞬时频率 EMD 方法实现的过程也称为筛选过程 ， 具体步骤如下 :( 1) 确定原始信号 x( t) 上所有极值点14 邵阳 学 院学报( 自然科学版 ) 第 11 卷包括 极 大值点和极小值点 ， 采用三次样条函数对所有极值点插值 ， 分别拟合出由所有极大值点构成的上包络线 xmax( t) 和由 所有 极小值点构成的下包络线 xmin( t) ， 确定原 始 信号在上 、下包络线之间 ( 2) 计算出上 、下包络线的均值 m1( t) ， 即 m1( t)
13、= xmax( t) + xmin( t) /2， 将原始 信 号 x( t) 减去 m1( t) 得h1( t) = x( t) m1( t) ( 1)( 3) 判断 h1( t) 是否 满 足 IMF 分量的两个条件 ， 若满足 ， 则 h1( t) 就是 x( t) 的 第 一个 IMF 分量 ; 若不满足 ， 则将 h1( t) 看作 新的 信号 ， 重复步骤 ( 1) 、( 2) ， 计算上 、下包络线的平均值 m11( t) ， 即m11( t) = h1max( t) + h1min( t) /2 ( 2)从而 得 到h11( t) = h1( t) m11( t) ( 3)判断
14、 h11( t) 是否 满 足 IMF 分量的条件 ， 若不满足 ， 则继续重复步骤 ( 1) 、( 2) ， 直到经过第 k 次筛选后的 h1k( t) 满足 条 件为止 ， 即h1( k 1)( t) m1k( t) = h1k( t) ( 4)此时 的 h1k( t) 即为 x( t) 的 第 一个 IMF 分量 ， 记imf1= h1k= c1( 5)当满足收敛条件SD =Tt =0h1( k1)( t) h1k( t)2Tt =0h1( k1)( t)2时 ， 将得到 的 第一个 IMF 分量 c1从 x( t) 中分 离出 来 ， 得到残余分量 r1( t) 为r1( t) = x
15、( t) c1( 6)将 r1( t) 看作 新的原始信号重复步骤( 1) ( 3) ， 则依次可得第 2、3、n 个 IMF分量 ， 即r2( t) = r1( t) c2rn( t) = rn 1( t) cn( 7)当残 余 分量 rn( t) 分量幅值足够小或者是一个单调函数 ( 极值 点 数 2) 时 ， 分解结束 ， 否则重复上述步骤 此时原始信号 x( t)可由 n 个 IMF 分量和 rn( t) 分 量 构 成 ， 即x( t) =ni =1ci+ rn( t) ( 8)EMD 方法的流程如图 1 所示 图 1 EMD 的流 程 图Fig1 Flow chart of EMD
16、2 奇异值分解理论矩阵 的 奇异值分解 ( Singular Value De-composition， SVD) 13 14实质是一种正交变换 ， 可将 矩 阵对角化 ， 其定义为 : 对于一个实矩阵 A = ( aij)m n， r( A) = r， ATA 的大 于零 的特征值为 1， 2， ， r， 则 槡1， 槡2， 槡r称为 A 的 奇 异值 ， 其中 r( A) 为 A 的秩 ， r( A) = min( m， n) 则必定存在 2 个酉第 4 期 崔凤 新 ， 徐 丽兰 ， 郑新桃 : 采用 EMD 和奇异值分解子空间重构的信号降噪新方法 15矩阵 Vm n、Un n和一个对角
17、矩阵 Dm n= di-ag 槡1， 槡2， ， 槡r， 0， ， 0 使得 A =VDUT成立 ， 其 中 V = ( v1， v2， ， vm) ， U =( u1， u2， ， un) 分别称 为矩阵 Am n的左奇异量和右奇异量 ， 矩 阵 A 可表示成A = VDUT=ri =1槡iviuTi=ri =1槡iAi( 9)由式 ( 9) 可 知 ， 奇异值分解相当于将一个 秩为 r 的矩阵 Am n分解 为 r 个 秩为 1 的m n 阶矩阵的加权和 矩阵 A 经过奇异值分解后得到一系列的子矩阵 Ai及其 对 应的奇异值 槡i， 且 Ai= viuTi3 基于 奇异值分解子空间重构的信
18、号 降噪3. 1 基于 EMD 的信号时频矩阵构造假设一维信号的采 样点数为 n， 信号经EMD 后得到为 m 个 IMF 分量 ， 各个 IMF 分量的数据点为 aik( i = 1， 2， ， m; k = 1， 2， n) 则 时 频 矩阵 A 可表示为A =a11a12 a1na21a22 a2n am1am2 amn( 10)3. 2 采用奇异值分解 重构的信号降噪重构子空间选取时频 矩 阵 A 经奇异值分解后 ， 得到一个奇异值对角矩阵 Dm n=diag 槡1， 槡2， ，槡r， 0， ， 0 及对 应 的左奇异量 V = ( v1， v2， vm) 和右 奇 异量 U = (
19、u1， u2， ， un) 目前关 于 奇异值分解降噪方法的文献多数通过直接选取有效奇异值的个数或者通过加权处理后作奇异值逆变换从而实现信号降噪 ，缺乏选取有效奇异值个数的依据和相应的物理意义 由于时频矩阵 A 包含了信号的时频特征信息 ， 那么子矩阵 Ai也包 含 信号的时频特征信息 ， 而左奇异量 Vm n的维数 为 m 与IMF 分量的阶数一致 ， 可认为左奇异量 V =( v1， v2， ， vm) 为信号的频率子空间 ， 代表 信号 的频域信息 ; 右奇异量 Un n的维 数 为 n 与信号采样点数一致 ， 可认为 U( u1， u2， ， un)为 信 号 的时间子空间 ， 代表信
20、号的时域信息 因此通过奇异值分解 ， 信号的时频特征信息将被分解到一系列由 ui和 vi构成 的 时频子空间中 ， 且时域信息通过 ui表达 ， 频 域信 息通过 vi表达 ， 通 过对这两个时频子空间的 选择就可以有效地从原始信号中提取所需的信号成分 ， 具有直观的物理意义 ， 算法流程图如图 2 所示 图 2 算法 流 程图Fig2 Flow chart of algorithm在 MATLAB 中产 生 一个基波与 3 次谐波的合成电信号为例 ， 说明基于方法的信号降噪过程 合成电信号表达式如式 ( 11) 所示 y =3sin( 250t) +sin( 2150t) ( 11)在该信号
21、中加入信噪比为 10 的高斯 白噪声 ， 原始信号及加入白噪声后的信号如图 3 所示 图 3 合成信号及加噪声后的信号Fig3 Signal of original and with noise16 邵阳 学 院学报( 自然科学版 ) 第 11 卷为抑 制 EMD 过程中产生的端点效应 ，对加噪后的信号采用极值点延拓法 15， 即在信 号 两端分别镜像延拓两个极大值和极小值 ， 使边界的端点效应移至信号延拓后的两端 ， 然后经 EMD 得到 7 阶 IMF 分量和1 个残余分量 ， 利用 7 阶 IMF 分量按 IMF1、IMF2、IMF7 的顺序排列形成时 频矩阵 A，对 A 做奇异值分解得
22、一系列奇异值及对应的左右奇异量 ， 即时频子空间 ， 其中前 4 阶的时间子空间分量 ui( i = 1， 2， 3， 4) 如图 4所 示 图 4 前 4 阶时间子空间分量Fig4 The first 4 order component intime subspace由图 4 可 知 ， u1、u2和 u3包含 了 原始信号的 50Hz 分量及 150Hz 分量 ， 而 u4为噪 声信 号 ， 故选择前 3 阶子空间分量进行奇异值分解逆变换 ， 重构信号如图 5 所示 图 5 降噪后的信号图Fig5 Signal after de noising对比 图 3 与 图 5 可知 ， 经奇异值分
23、解子空间重构后的信号在保留自身形态特征的同时滤除了大部分噪声 ， 表明该方法具有良好的降噪效果 4 实测机械振动信号降噪应用对某 开 关设备的合闸振动信号进行降噪分析 ， 由加速度传感器测取的不同期合闸振动信号原始波形如图 6 所示 图 6 不同期合闸振动原始信号Fig6 Original signal in different periodclosing state图 6 所示 原 始振动信号在两次冲击振动间及振动停止后存在明显的抖动信号 ，即噪声分量 ， 降低了不同期合闸振动信号的特征 原始信号经 EMD 后由各阶 IMF 分量构造时频矩阵 ， 通过奇异值分解 ， 得到前5 阶时间子空间分
24、量 ui( i = 1， 2， 3， 4， 5) 如图 7 所示 ， 时间子空间分量表示信号的时域信 息 ， 由 图 7 可知 ， 原始振动信号的特征被有效地分解到了前 3 个时间子空间 u1、u2和 u3中 ， 而 u4和 u5则为 非 有效信号分量 ，即噪声信号 故选取前 3 阶子空间进行SVD 逆变换 ， 得到重构信号如图 8 所示 图 7 不同期合闸振动信号前 5 阶时间子空间分量Fig7 The first 5 order time subspacecomponent in different period closing state对比 图 6 和 图 8 可知 ， 降噪后的不同期
25、合闸振动信号的抖动分量基本被滤除 ， 信号波形特征更加明显 ， 有利于振动信号后第 4 期 崔凤 新 ， 徐 丽兰 ， 郑新桃 : 采用 EMD 和奇异值分解子空间重构的信号降噪新方法 17期有效特征量的提取 图 8 降噪后的不同期合闸振动信号Fig8 Signal after de noising indifferent period closing state5 结 论信 号 降 噪作为信号处理前期的一个必要步骤 ， 对工程应用及研究具有重要意义 本文同过 EMD 方法后 ， 利用得到的各阶IMF 分量构造时频矩阵 ， 经奇异值分解后 ，具有直观物理意义的左右奇异量将信号的时频特征分解到一
26、系列时频子空间中 ， 根据各时频子空间的特征选取重构子空间进行 SVD 逆变换 ， 从而实现信号降噪 实际应用表明 ， 该方法不仅能有效地对电信号降噪 ， 对复杂的机械振动信号也具有良好的降噪效果 ， 提取出信号的主要特征成分 ， 为信号后期处理分析奠定了良好的基础 参考 文 献 : 1 Lehtola， L， Karsikas， MKoskinen， M， et al Effectsof noise and filtering on SVD based morpholog-ical parameters of the T wave in the ECG J Journal of Medica
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