1、第三章 图像变换,讲解内容1. 图像变换的目的、要求和应用2. 傅立叶级数、 频谱分析概念及其意义3.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、 性质及其应用 目的1. 熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；2. 掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法,从感性理解傅立叶变换，一幅数字图像里面包含有各种信号，有变化缓慢的背景，有变换激烈的边缘和噪声部分，而傅立叶变换就像光学中的三棱镜，在三棱镜的作用下，一束自然光光信号可以分为无数的单色光信号，单色光信号从频谱中心开心频率逐渐增加，那么一幅图像经过一个类似三棱镜的系统（傅里叶变换）就把源图像中的信号给分开了，这样我们就可以做各种处理就更为方便。,第三章
2、图像变换,图像变换的目的在于：使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。 图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： 正交变换必须是可逆的； 正变换和反变换的算法不能太复杂； 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。 因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。,在此讨论常用的傅立叶变换 。,第一幅图是一个余弦波 cos（x）； 第二幅图是 2 个余弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)； 第三幅图是 4 个余弦波的叠加； 第四幅图是 10
3、个余弦波的叠加； 随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？,不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。,正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆,各波在频域的样子,矩形波在频域的样子,矩形波在频率域的样子,信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,为什么偏偏选择三角函数而不用其他函数进行分解？,大自然界的很多系统，一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。也就是说
4、正弦信号是系统的特征向量！ 分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样，用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质。,当然，指数信号也是系统的特征向量，表示能量的衰减或积聚。自然界的衰减或者扩散现象大多是指数形式的，或者既有波动又有指数衰减（复指数形式）。 因此具有特征的基函数就由三角函数变成复指数函数。 所以，除了指数信号和正弦信号以外的其他波形都不是线性系统的特征信号。,频域(frequency domain)是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。 用线性代数的语言就是装着正弦函
5、数的空间。 频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学范畴。 正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成 。,图像的傅立叶变换,傅立叶变换以前，图像是由对连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，一般是用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。 由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。,图像的傅立叶变换,灰度在平面空间上的梯度表征图像中灰度变化剧烈程度，可以描述为图
6、像的频率。 如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低； 而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。,图像的傅立叶变换,对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图。 傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，是图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。,图像的傅立叶变换,梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，首先就可以看出，图像的能量分布：如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻
7、域差异都不大，梯度相对较小）； 如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。,22,图像的傅立叶变换,从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。 换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。,3.2傅立叶变换,在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在-T/2,T/2上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在-T/2,T/2可以展成傅立叶级数其复数形式为其中可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组
8、成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。,3.2.1 连续函数的傅立叶变换 1. 一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数，f(x) 的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为若已知F(u)，则傅立叶反变换为式（3.2-1）和（3.2-2）称为傅立叶变换对。,这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：,傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。,2. 二维连续函数的傅立叶变换傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为,二维函数的傅立叶谱
9、、相位和能量谱分别为,|F(u，v)=R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (3.211)(u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) (3.212) E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) (3.213),3.2.2 离散函数的傅立叶变换 1.一维离散函数的傅立叶变换假定取间隔x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x，如图3.2.3所示。,将序列表示成f(x)=f(x0+xx) (3.216) 即用序列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0)，f(x0+x)，fx0+(N-1)x。,被抽样函数的离散傅立
10、叶变换定义式为F(u)=式中u=0，1，2，N1。反变换为 f(x)=式中x=0，1，2，N-1。,例如：对一维信号f(x)=1 0 1 0进行傅立叶变换。由得 u=0时， u=1时,u=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为F(u)= =Af(x),2.二维离散函数的傅立叶变换 在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为F(u，v)= (3.220) 式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。f(x，y)= (3.221)式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。
11、 一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。,原图,离散傅立叶变换后的频域图,例如 数字图像的傅立叶变换,3.2.3二维离散傅立叶变换的若干性质 离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质。 1周期性和共轭对称性若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N) （3.2-26) 傅立叶变换存在共轭对称性 F(u，v)=F*(-u，-v) (3.227)这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处。,2.分离性一个二维傅立叶变换可由连续两次一维傅立叶变换来实现。 例如式(3.2-14)可分成下面两式:,x,y,x,v,x,v,1-D离散傅立叶变换,3.旋转性质 平面直角坐标改写成极坐标形式：,做代换有：,如果 被旋转 ,则 被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：,原始图及傅立叶变换频谱：,旋转45度后的原始图及傅立叶变换频谱：,4.卷积定理,
