1、提示 ： 本 复习 资料 与 高等数学 习题课教程 （ 南信大 数学系 王顺凤 老师 编写 ） 配合使用 效果 更佳 ！ 1 南京信息工程大学试卷 （ 往年 ， 仅供参考 ） 学年 第 1 学期 高等数学 课程试卷 (_卷 ) 本试卷共 页；考试时间 120 分钟；任课教师 课程组 ； 一、 单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每小题 4 分 , 共 16 分 ) 1. )(0),s i n(c o s)( 处有则在设 xxxxxf . （ A） (0) 2f （ B） (0) 1f （ C） (0) 0f （ D） ()fx不可导 . 2. ）时（ ，则当，设 133)(11)( 3 xx
2、xxxx . （ A） ( ) ( )xx与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （ B） ( ) ( )xx与 是等价无穷小； （ C） ()x 是比 ()x 高阶的无穷小； （ D） ()x 是比 ()x 高阶的无穷小 . 3. 若 ( ) ( ) ( )0 2xF x t x f t d t ，其中 ()fx 在区间上 ( 1,1) 二阶可导且 ( ) 0fx ，则（ ） . （ A）函数 ()Fx必在 0x 处取得极 大值； （ B）函数 ()Fx必在 0x 处取得极小值； （ C）函数 ()Fx在 0x 处没有极值，但点 (0, (0)F 为曲线 ()y Fx 的拐点； （ D）函数
3、()Fx在 0x 处没有极值，点 (0, (0)F 也不是曲线 ()y Fx 的拐点。 4. )()( , )(2)( )( 10 xfdttfxxfxf 则是连续函数，且设 （ A） 22x （ B） 2 22x （ C） 1x （ D） 2x . 二 、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 5. xx x s in20 )31(lim . 6. ,)(c o s 的一个原函数是已知 xfx x xx xxf dco s)(则 . 7. l i m ( c o s c o s c o s ) 2 2 221n nn n n n . 8. 2121 2211a r c s
4、 i ndxx xx. 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 设函数 ()y y x 由方程 sin ( ) 1xye xy 确定， 求 ()yx 以及 (0)y . 10. .d)1(1 77 xxx x 求 提示 ： 本 复习 资料 与 高等数学 习题课教程 （ 南信大 数学系 王顺凤 老师 编写 ） 配合使用 效果 更佳 ！ 2 11. 求， 设 1 32 )(1020)( dxxfxxxxxexf x12. 设函数 )(xf 连续， 10( ) ( )g x f x t d t，且 0()limxfx Ax ， A 为常数 . 求 ()gx并讨论 ()g
5、x在 0x 处的连续性 . 13. 求微分方程 2 lnx y y x x 满足 1(1) 9y 的解 . 四、 解答题（本大题 10 分） 14. 已知上半平面内一曲线 )0()( xxyy ，过点 (,)01 ，且曲线上任一点 Mx y( , )0 0 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x x0 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 . 五、解答题 （本大题 10 分） 15. 过坐标原点作曲线 xy ln 的切线，该切线与 曲线 xy ln 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A； (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体
6、的体积 V. 六、证明题 （本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分） 16. 设 函 数 )(xf 在 0,1 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 , 01q ，100( ) ( )q f x d x q f x d x. 17. 设函数 )(xf 在 ,0 上连续，且 0)(0 xdxf， 0c o s)(0 dxxxf.证明：在 ,0 内 至 少 存 在 两 个 不 同 的 点 21, ，使 .0)()( 21 ff （ 提 示 ： 设 x dxxfxF 0 )()( ） 解答 一、 单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每小题 4 分 , 共 16 分 )
7、 1、 D 2、 A 3、 C 4、 C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 5. 6e . 6. cx x 2)cos(21 .7. 2 . 8. 3 . 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导 ( 1 ) c o s ( ) ( ) 0xye y x y x y y c o s ( )() c o s ( )xyxye y x yyx e x x y 0, 0xy， (0) 1y 提示 ： 本 复习 资料 与 高等数学 习题课教程 （ 南信大 数学系 王顺凤 老师 编写 ） 配合使用 效果 更佳 ！ 3 10. 解
8、： 767u x x d x d u 1 ( 1 ) 1 1 2()7 ( 1 ) 7 1u d u d uu u u u 原 式 1 ( ln | | 2 ln | 1 |)7 u u c 7712l n | | l n | 1 |77x x C 11. 解： 1 0 1 23 3 0( ) 2xf x d x x e d x x x d x 01 230( ) 1 ( 1 )xx d e x d x 00 23 2 c o s ( 1 s i n )xxx e e d x 令 3214 e 12. 解：由 (0) 0f ，知 (0) 0g 。 1 00()( ) ( )xx t u f u
9、 d ug x f x t d tx ( 0)x 0 2( ) ( )( ) ( 0 )xx f x f u d ug x xx 0 200() ( ) A( 0 ) lim lim 22xxxf u d u fxg xx 0200( ) ( )lim ( ) lim 22xxxx f x f u d u AAg x Ax ， ()gx在 0x 处连续。 13. 解： 2 lndy yxdx x 22( l n )d x d xxxy e e x d x C 211ln39x x x C x 1(1) , 09yC ， 11ln39y x x x 四、 解答题（本大题 10 分） 14. 解：
10、由已知且 02dxy y x y ， 将此方程关于 x 求导得 yyy 2 特征方程： 022 rr 解出特征根： .2,1 21 rr 其通解为 xx eCeCy 221 提示 ： 本 复习 资料 与 高等数学 习题课教程 （ 南信大 数学系 王顺凤 老师 编写 ） 配合使用 效果 更佳 ！ 4 代入初始条件 y y( ) ( )0 0 1 ，得 31,32 21 CC 故所求曲线方程为： xx eey 23132 五、解答题（本大题 10 分） 15. 解：（ 1）根据题意，先设切点 为 )ln,( 00 xx ，切线方程： )(1ln 000 xxxxy 由于切线过原点，解出 ex0 ，
11、从而切线方程为： xey 1 则平面图形面积 10121)( edyeyeA y （ 2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则 21 31 eV 曲线 xy ln 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2 10 22 )( dyeeV y D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125(6 221 eeVVV 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分） 16. 证明：100( ) ( )q f x d x q f x dx 100( ) ( ( ) ( ) )qqqf x d x q f x
12、 d x f x d x 10(1 ) ( ) ( )qqq f x d x q f x d x 1 2 1 2 0 , ,1 ( ) ( )12( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 0q q f fq q f q q f 故有： 100( ) ( )q f x d x q f x d x 证毕。 17. 证：构造辅助函数： xdttfxFx 0,)()(0 。其满足在 ,0 上连续，在 ),0( 上可导。)()( xfxF ，且 0)()0( FF 由题设，有 00 00)(s i nc o s)()(c o sc o s)(0 | dxxFxxxFxxdFxdxxf ， 有 00sin)( xdxxF ，由积分中值定理，存在 ),0( ，使 0sin)( F 即 0)( F 综上可知 ),0(,0)()()0( FFF .在区间 ,0 上分别应用罗尔定理，知存在 ),0(1 和 ),(2 ，使 0)( 1 F 及 0)( 2 F ，即 0)()( 21 ff .
