1、1 二重积分 一、二重积分的概念 二、二重积分的计算2 曲顶柱体 引例1 ：曲顶柱体的体积 柱体体积= 底面积 高 特点：平顶. 柱体体积= ？ 特点：曲顶. ) , ( y x f z D3 复习曲边梯形的面积计算 1：分割 2：近似计算 3：求和 4：求极限4 “分割,求和,取极限”思想的应用 求曲顶柱体的体积采用 “ 分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示 播放5 x z y o D ) , ( y x f z 求曲顶柱体体积的具体步骤 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， i ) , ( i i 先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， . ) , ( lim 1
2、 0 i i n i i f V 曲顶柱体的体积6 二重积分的概念 定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,将闭区 域D任意分成n个小闭区域 1 , 2 , n ,其中 i 表示第i个小区域的面积; 在每个 i 上任取一点( i , i ) , 作乘积 f( i , i ) i (i=1,2,n),并作和 n i i i i f 1 , ;如果当各小闭区域的直径 中的最大值 趋于零时, 这 和的极限存在,则称此极限为函数在闭 D d y x f , D d y x f , 0 1 lim , n ii i i f 区域上的二重积分，记 作 y x f , 叫做被积函数, d y x f
3、 , 叫做被积表达式, 叫做面积元素, d x y 与 叫做积分变量， D 叫做积分区域 ， 叫做积分和。 n i i i i f 1 , 7 关于二重积分定义的说明 (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的. (2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在， 即二重积分必存在. (3)在直角坐标系中, 若用平行于坐标轴的直线网划 分, 则 D d y x f , ; , D dxdy y x f dd x d y 面积元素 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值 一般，D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积 的代数
4、和。 二重积分 仅 与积分区域D、被积函数f(x,y)有关8 直角坐标下计算二重积分 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积” 的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。 X-型积分区域D ： , b x a ). ( ) ( 2 1 x y x X型 其中函数 、 在区间 上连续. ) ( 1 x ) ( 2 x , b a ) ( 2 x y a b D ) ( 1 x y D b a ) ( 2 x y ) ( 1 x y 9 z y x axb X-型积分区域上计算二重积分 将二重积分的值看作以D 为底, 以z=f(x,y)为曲 面的“曲顶柱体”体积。 应用计算“平行截 面面积为已知的立
5、 体求体积”的方法, 垂直x轴作平行截面。 ) (x A ) , ( y x f z ) ( 1 x y ) ( 2 x y ) ( ) ( 2 1 ) , ( ) ( x x dy y x f x A b a D dx x A dxdy y x f ) ( ) , ( . ) , ( ) , ( ) ( ) ( 2 1 D b a x x dy y x f dx d y x f 得10 化二重积分为累次积分 ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 称为累次积分 b a x x b a x x D dy y x f dx dx dy y x
6、f d y x f 1：第一次关于y 积分，y是积分变量， x为常量, 积分结果是x 的函数 2：第二次关于x 积分，x 是积分 变量，积分结果是常数11 Y- 型积分区域上计算二重积分 Y-型积分区域D ： , d y c ). ( ) ( 2 1 y x y Y型 ) ( 2 y x ) ( 1 y x D c d c d ) ( 2 y x ) ( 1 y x D 垂直 y 轴作平行截面 . ) , ( ) , ( ) ( ) ( 2 1 D d c y y dx y x f dy d y x f 12 矩形区域 D b a d c d c b a D d c b a b a d c d
7、x y x f dy dy dx y x f d y x f dy y x f dx dx dy y x f d y x f d y c b x a y x D ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( , | ) , ( 或13 其它类型的积分区域 X型区域的特点:穿过区域且平行于y 轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点:穿过区域且平行于x 轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割. 3 D 2 D 1 D 在分割后的三个区域上分 别使用积分公式 . 3 2 1 D D D D14 例题与讲解 例：改变积分 x dy
8、y x f dx 1 0 1 0 ) , ( 的次序 x y 1 原式 y dx y x f dy 1 0 1 0 ) , ( . 解： 积分区域如图15 例题与讲解 例：改变积分 x x x dy y x f dx dy y x f dx 2 0 2 1 2 0 1 0 ) , ( ) , ( 2 的次序 解： 积分区域如图 x y 2 2 2 x x y 原式 1 0 2 1 1 2 ) , ( y y dx y x f dy .16 课堂练习 1：将二重积分 按两种种顺序化为累 次积分，积分区域D如下： (1)D 是由y 2 =8x 与x 2 =y所围成的区域 (2) D 是由y=x 2
9、 与y =2- x 2 所围成的区域 2: 交换下列积分的次序 D d y x f ) , ( y y x e dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx 2 0 2 1 0 1 0 ln 0 1 ) , ( ) , ( ) 2 ( ) , ( ) 1 (17 课堂练习答案 22 2 2 28 4 1 00 8 12 1 12 2 01 2 11 2 00 1:(1) ( , ) (,) (,) (2) ( , ) ( , ) (,) (,) 2 : ( 1 ) ( ,) ( 2 ) ( ,) y D xy xy x x D yy yy ex ex fxyd dx
10、f x y dy dy f x y fxyd d x fxyd y dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy 18 例题与讲解 例：求积分 D dxdy y x ) ( 2 其中D是由抛物线 y=x 2 和x=y 2 围成的闭区域。 解： 两 曲线的交点 ), 1 , 1 ( , ) 0 , 0 ( 2 2 y x x y D dxdy y x ) ( 2 1 0 2 2 ) ( x x dy y x dx dx x x x x x ) ( 2 1 ) ( 4 2 1 0 2 . 140 33 2 x y 2 y x 2 x y 2 y x
11、 19 例题与讲解 例：求积分 D y dxdy e x 2 2 其中D是以(0,0) 、 (1,1) 、 (0,1)为顶点的三角形区域。 解： dy e y 2 无法用初等函数表示 积 分 时必 须考 虑次 序 D y dxdy e x 2 2 y y dx e x dy 0 2 1 0 2 dy y e y 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y ). 2 1 ( 6 1 e 20 利用极坐标计算二重积分 A o D i i r r i i r r r i i i i i i i i i r r r 2 2 2 1 ) ( 2 1 i i i i i r r r 2
12、) ( 2 1 rdrd d cos (,) ( , si). n D rr fxyd f rdrd r不能遗漏!21 极坐标下化二次积分( ) 若积分区域特征如下图 . ) sin , cos ( ) ( ) ( 2 1 rdr r r f d A D o ) ( 1 r ) ( 2 r D rdrd r r f ) sin , cos ( , ). ( ) ( 2 1 r A o D ) ( 2 r ) ( 1 r22 极坐标下化二次积分(2) 若积分区域特征如下图 A o D ) ( r . ) sin , cos ( ) ( 0 rdr r r f d , ). ( 0 r D rdr
13、d r r f ) sin , cos ( 23 极坐标下化二次积分(3) 若积分区域特征如下图 D rdrd r r f ) sin , cos ( . ) sin , cos ( ) ( 0 2 0 rdr r r f d 极坐标系下区域的面积 . rdrd ). ( 0 r D o A ) ( r , 2 024 何时用极坐标计算 条件 : (1) 当 积分区域是圆或圆的一部分时或 (2)被积函数 为 f (x 2 +y 2 )等形式25 例题与讲解 例：计算 dxdy e D y x 2 2 其中D 是由中心在原点, 半径为a的圆周所围成的闭区域。 解：由于积分区域为圆域，被积函数是
14、f(x 2 +y 2 ) 形式，故采用极坐标计算 在极 坐标 系下 D ： a r 0 ， 2 0 . dxdy e D y x 2 2 a r rdr e d 0 2 0 2 ). 1 ( 2 a e 26 例题与讲解 例: 计算 2 2 1 2 r re dr d e I D y x 2 2 分析：由于积分区域为圆环，被积函数 是 f (x 2 +y 2 ) 形式，故采用极坐标计算 4 1 ) , ( 2 2 y x y x D 其中 2 r r Ied r d 解 ： 注：画二重积分为累次积分时，也可以先关于 r积分，后关于 积分！ 2 22 10 r dr e rd 2 2 24 1
15、() r ed r e e 27 求“曲顶柱体”体积的演示(1) 求曲顶柱体的体积采用 “ 分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示28 求“曲顶柱体”体积的演示(2) 求曲顶柱体的体积采用 “ 分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示29 求“曲顶柱体”体积的演示(3) 求曲顶柱体的体积采用 “ 分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示30 求“曲顶柱体”体积的演示(4) 求曲顶柱体的体积采用 “ 分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示31 求“曲顶柱体”体积的演示(5) 求曲顶柱体的体积采用 “ 分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示32 求“曲顶柱体”体积的演示(6) 求曲顶柱体的体积采用 “ 分割、求和、取极 限”的方法，如下动画演示
