1、第一届清北班数学试卷 第 1 页 共 12 页 第一届清北班数学试卷 第 2 页 共 12 页正兴学校 20152016 学年八年级上学期期末复习清北班数学科试题（几何压轴题）1如图，在 x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，5分别过这些点作 x 轴的垂线与三条直线 y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x 相交，其中 a0若图中阴影部分的面积是 75a，则a 为 2. 如图，Rt ABC中，ACB=90，AC=BC=4cm ，CD=1cm，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着ABA的方向运动，至A点结设E点的运动时间为t秒，连接DE，当BDE是直角三角形时，t的值为
2、 秒3定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形 ”数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒（每根长度记为 1 个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动小亮用 12 根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形 ”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由摆出等边“整数三角形 ”；摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形） “整数
3、三角形”4如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B处，点 A 落在点 A处；（1）求证：BE=BF；（2）设 AE=a， AB=b，BF=c，试猜想 a，b，c 之间的一种关系，并给予证明5我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；（2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0） ，A （3，0） ，B （0，4） ，请你画出以格点为顶点，OA，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB
4、；（3）如图 2，将ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60，得到DBE，连接AD，DC，DCB=30 求证：DC 2+BC2=AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形班级： 姓名：_座号：_密 封 线 第一届清北班数学试卷 第 4 页 共 12 页第一届清北班数学试卷 第 3 页 共 12 页6阅读下面材料，并解决问题：（I）如图 4，等边ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5则 APB= ，由于 PA，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP 绕顶点 A 旋转到ACP 处，此时ACP 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到
5、一个三角形中从而求出APB 的度数（II） （拓展运用）已知 ABC 三边长 a，b，c 满足 （1）试判断ABC 的形状 ；（2）如图 1，以点 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直接出点 B，C 的坐标 ；（3）如图 2，过点 C 作MCN=45交 AB 于点 M，N 请证明 AM2+BN2=MN2；（4）在（3）的条件下，若点 N 的坐标是（8，0） ，则点 M 的坐标为 ；此时 MN= 并求直线 CM 的解析式（5）如图 3，当点 M，N 分布在点 B 异侧时则（3）中的结论还成立吗？解：7在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，每次向上平移 2 个单位长
6、度或向右平移 1 个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点 P 从点 O 出发，平移 1 次后，2 次后，3 次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：P 从点 O 出发平移次数可能到达的点的坐标1 次 （0，2） ， （1，0）2 次3 次（2）观察发现：任一次平移，点 P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移 1 次后在函数 的图象上；平移 2 次后在函数 的图象上由此我们知道，平移 n 次后在函数 的图象上 （请填写相应的解析式）（3）探索运用：点 P 从点 O 出发经过 n 次平移后，到达直线 y=x 上的点 Q，且平移的路径长不小于 50，不超过56，求
7、点 Q 的坐标解：第一届清北班数学试卷 第 5 页 共 12 页 第一届清北班数学试卷 第 6 页 共 12 页正兴学校 20152016 学年八年级上学期期末复习清北班数学科试题（几何压轴题）1如图，在 x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为 1，2，3，4，5分别过这些点作 x 轴的垂线与三条直线 y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x 相交，其中 a0若图中阴影部分的面积是 75a，则a 为 解：将 8 条直线共 15 个交点求出 （不计与坐标系的，很简单，直接写）p1（1，a） ，p 2（2，2a ） ，p 3（3，3a ） ，p 4 （4，4a） ，p 5 （5，5a ） ； q
8、1（1， （a+1） ） ，q 5（5，5（a+1） ） ；r1（1， （a+2 ） ）r 5（5，5（ a+2） ） （p 1 离原点最近， r5 离原点最远）用梯形公式求出各阴影部分面积并求和（底为纵坐标之差，高为 1）S1= r1q1= ； S2= （q 1p1+q2p2）1= ；S3= （r 2q2+r3q3） 1）= （2（a+2）2（a+1） ）+（ 3（a+2） 3（a+1） ） ）= ，同理可得 S4= ，S 5= （仿 S3 一样计算）S=S1+S2+S3+S4+S5= + + + + =12.5， S=75a，75a=12.5，a= 2. 如图，Rt ABC中，ACB=90
9、，AC=BC=4cm ，CD=1cm，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着ABA的方向运动，至A点结设E点的运动时间为t秒，连接DE，当BDE是直角三角形时，t的值为 秒解：Rt ABC 中，ACB=90，AC=BC=4cm ，ABC=45，AB= （cm） 。42BC=4cm，CD=1cm，BD=3cm。若DEB=90，则 BE= BD= （cm） 。33定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形 ”数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒（每根长度记为 1 个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动小亮用 12 根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分
10、别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形 ”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由摆出等边“整数三角形 ”；摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形） “整数三角形”【解答】解：（1）小颖摆出如图 1 所示的“整数三角形”：小辉摆出如图 2 所示三个不同的等腰“整数三角形”：（2）不能摆出等边“整数三角形 ”理由如下：班级： 姓名：_座号：_密 封 线 第一届清北班数学试卷 第 8 页 共 12
11、 页第一届清北班数学试卷 第 3 页 共 12 页设等边三角形的边长为 a，则等边三角形面积为 因为，若边长 a 为整数，那么面积 一定非整数所以不存在等边“整数三角形” ；能摆出如图 3 所示一个非特殊“整数三角形”：4如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B处，点 A 落在点 A处；（1）求证：BE=BF；（2）设 AE=a， AB=b，BF=c，试猜想 a，b，c 之间的一种关系，并给予证明【解答】 （1）证明：由题意得 BF=BF， BFE=BFE，在矩形 ABCD 中，ADBC，BEF=BFE，BFE= BEF，BF=B E， BE=BF；（2）
12、答：a，b，c 三者关系不唯一，有两种可能情况：（）a，b，c 三者存在的关系是 a2+b2=c2证明：连接 BE，由（1）知 BE=BF=c，BE=BE，四边形 BEBF 是平行四边形，BE=c在ABE 中，A=90，AE 2+AB2=BE2，AE=a，AB=b，a 2+b2=c2；（）a，b，c 三者存在的关系是 a+bc证明：连接 BE，则 BE=BE由（1）知 BE=BF=c，BE=c，在 ABE 中，AE+ABBE ，a+bc5我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的
13、特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；（2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0） ，A （3，0） ，B （0，4） ，请你画出以格点为顶点，OA，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB；（3）如图 2，将ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60，得到DBE，连接AD，DC，DCB=30 求证：DC 2+BC2=AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形（1）解：正方形、长方形、直角梯形 （任选两个均可）（2）解：答案如图所示M（3，4）或 M（4，3） （3）证明：连接 EC，ABCDBE，AC=DE，BC=BE，CBE=60，EC=BC=BE， BCE=60，D
14、CB=30，DCE=90，DC2+EC2=DE2，DC2+BC2=AC2即四边形 ABCD 是勾股四边形、6阅读下面材料，并解决问题：第一届清北班数学试卷 第 9 页 共 12 页 第一届清北班数学试卷 第 10 页 共 12 页（I）如图 4，等边ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5则 APB= 150 ，由于 PA，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP 绕顶点 A 旋转到 ACP处，此时ACP ABP 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB 的度数（II） （拓展运用）已知 ABC 三边长 a
15、，b，c 满足 （1）试判断ABC 的形状 等腰直角三角形 （2）如图 1，以点 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直接出点 B，C 的坐标 B（12，0） ，C（6，6） ；（3）如图 2，过点 C 作MCN=45交 AB 于点 M，N 请证明 AM2+BN2=MN2；（4）在（3）的条件下，若点 N 的坐标是（8，0） ，则点 M 的坐标为 （3，0） ；此时 MN= 5 并求直线 CM 的解析式（5）如图 3，当点 M，N 分布在点 B 异侧时则（3）中的结论还成立吗？解：（）ABC 是等边三角形，BAC=60，ABP 绕顶点 A 旋转到ACP处，ACPABP，P
16、A=PA=3，PB=PC=4 ， PAP=BAC=60，APP是等边三角形，APP=60，PP=PA=3，在PPC 中，P P2+PC2=32+42=25=PC2，PPC=90，APB=APC=APP+PPC=60+90=150，APB=150；故答案是：150，ABP；（） （1）整理得，|a6 |+（c12） 2+ =0，由非负数的性质得，a6 =0，c 12=0，b 6 =0，解得 a=b=6 ，c=12，a2+b2=（6 ） 2+（6 ） 2=144=c2，ABC 是直角三角形，又 a=b，ABC 是等腰直角三角形；（2）AB=c=12，点 B（12，0） ，过点 C 作 CDx 轴于
17、 D，则 AD=CD= AB= 12=6，点 C 的坐标为（6，6） ；（3）如图，把ACM 绕点 C 逆时针旋转 90得到BCM，连接 MN，由旋转的性质得，AM=BM、 CM=CM、 CAM=CBM=45， ACM=BCM，MBN=ABC+CBN=45+45=90，MCN=45，MCN=BCN+BCM=BCN+ACM=90MCN=9045=45，MCN=MCN，在MCN 和MCN 中，MCNMCN（SAS） ，MN=MN，在 RtMNB 中， BM2+BN2=MN2，AM2+BN2=MN2；（4）设 AM=x，点 N 的坐标是（8，0） ，AN=8，BN=12 8=4，MN=8x，由（3）
18、的结论，x 2+42=（8x） 2，解得 x=3，AM=3，MN=8 3=5，点 M 的坐标（ 3，0） ；设直线 CM 的解析式为 y=kx+b，点 C（6，6） ，M（3，0） ， ，解得 ，设直线 CM 的解析式为 y=2x6；（5）如图，ABC 是等腰直角三角形，CAB=CBA=45，把BCN 绕点 C 顺时针旋转 90得到ACN ，由旋转的性质得，AN=BN，CN=CN， CAN=CBN=135，MAN=13545=90，第一届清北班数学试卷 第 12 页 共 12 页第一届清北班数学试卷 第 3 页 共 12 页点 N在 y 轴上，MCN=45，MCN=9045=45，MCN=MC
19、N，在MCN 和MCN中，MCNMCN（SAS） ，MN=MN，在 RtAMN中，AM 2+AN2=MN2，AM2+BN2=MN27在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，每次向上平移 2 个单位长度或向右平移 1 个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点 P 从点 O 出发，平移 1 次后，2 次后，3 次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：P 从点 O 出发平移次数可能到达的点的坐标1 次 （0，2） ， （1，0）2 次3 次（2）观察发现：任一次平移，点 P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移 1 次后在函数 y=2x+2 的图象上；平移 2
20、次后在函数 y=2x+4 的图象上由此我们知道，平移 n 次后在函数 y=2x+2n 的图象上 （请填写相应的解析式）（3）探索运用：点 P 从点 O 出发经过 n 次平移后，到达直线 y=x 上的点 Q，且平移的路径长不小于 50，不超过56，求点 Q 的坐标解：（1）如图所示：P 从点 O 出发平移次数可能到达的点的坐标1 次2 次 （0，4） ， （1，2） ， （2，0）3 次 （0，6） ， （1，4） ， （2，2） ， （3，0）（2）设过（0，2） ， （1，0）点的函数解析式为：y=kx+b（k0） ，则 ，解得 ，故第一次平移后的函数解析式为：y=2x+2；答案依次为：y= 2x+2；y= 2x+4；y=2x+2n（3）设点 Q 的坐标为（x， y） ，依题意， 解这个方程组，得到点 Q 的坐标为 平移的路径长为 x+y，50 5637.5n42点 Q 的坐标为正整数， n 是 3 的倍数，n 可以取 39、42，点 Q 的坐标为（26，26） ， （ 28，28）
