1、1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 1 of 13中考要求内容 基本要求 略高要求 较高要求有理数运算 理解乘方的意义 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主） 能运用有理数的运算解决简单问题有理数的运算律 理解有理数的运算律 能用有理数的运算律简化运算例题精讲板块一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值 不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同 0 相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：
2、确定和的符号；求和的 绝对值 ，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：两个加数相加，交换加数的位置，和不 变. (加法交换律)ab三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结 合律)()abc有理数加法的运算技巧：分数与小数均有时，应先化为统一形式.带分数可分为整数与分数两部分参与运算.多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先 结合相加得零 .若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先 结合相加.若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数 . ()ab有理数减法的运算步骤
3、：把减号 变为 加号（改变运算符号）有理数基本运算1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 2 of 13把减数 变为 它的相反数（改变性质符号）把减法 转化 为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出 结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数， 负数和 0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如： ，(3)0.15)9(5)13.591它的含义
4、是正 3，负 0.15，负 9，正 5，负 11 的和.【例 1】 (2 级)计算： 6(2.)(1.7)(35)(27.1)(32)(1.57)676 10.5.284【 原式 ；原式()38)+(-13()2(3)284【例 2】 (2 级)计算： ；3135143122.7536 ； 4.7200【 原式 7原式 321311.54362原式 0.457原式 15【巩固】 (2 级) 21(4)3821(6)9|37.492()05 175(.)9.58 (8.)30 7(9)2(1)5242 341()(.6)8055 |4.7(3.)5.6(2.1)0.3 1(3)()3()044【
5、巩固】 (2 级) ， 则 0； ， 则 0；0aba0aba1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 3 of 13 ， ，则 0； ， ，且 ，则 0.0ab()aba0b|ab【 ；.【例 3】 （6 级）设三个互不相等的有理数，既可分别表示为 的形式，又可分别表示为 的1ab， ， 0ba， ，形式，则 2041ab【 这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以判定， 与 中有一个为 ， 与 中有一个为，可推出 ，原式值为1， 2【例 4】 (2 级)给出一连串连续整数： ，这串连续整数共有 个；它们的03.0324， ， ， ，和是 【 个，和为208242819【例 5】
6、 （6 级）( 第 8 届希望杯) 个不全相等的有理数之和为 ，则这 个有理数中( )1970197A至少有一个是零 B至少有 998 个正数 C至少有一个是负数 D至多有 995 个是负数【 答案为 C【巩固】 （6 级）(第 17 届希望杯 2 试)若 ，则以下四个结论中，正确的是( )0abcdA 一定是正数 B 可能是负数abcd cabC 一定是正数 D 一定是正数【 分析：答案为 C 不能确定正负； 一定为正； 一定是正数； 为 dcacd负， 为正， 不能确定正负【例 6】 (2 级)（北京）北京市 2007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位：C）分别为：25，28，30，2
7、9，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ）A. 28C B. 29C C. 30C D. 31C【 B. 当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“基准数”， （基准数尽量选用这组数的中间数，同时兼顾它是整十、整百的数，方便 计算） .本题中我们可以选用 30 为“基准数”，那么平均值=30+（-5-2+0-1+1+2-2）7=29（C）；其总和=307+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（C）. 【例 7】 （4 级）(07 年济南中考题)出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下:， ，
8、 ， ， ， ， ， ， ， ， ，15210321456将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远?如果汽车耗油量为 升/千米，这天下午小李共耗油多少升?.5【 ，距离出发点为 39 千米；()()()()2(+)()=39共走了 (千米)的里程，+152+103+1456 所以耗油为 (升 ).60.3.51-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 4 of 13【巩固】 （4 级） （0708 学年北京四中阶段测试） 市的出租车无起步价，每公里收费 2 元，不足 1 公里A的按 1 公里计价，9 月 4 号上午 市 某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为
9、：、2.3、 、 、 、 （单位：公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负） ，车每公里耗76.8.31.8油 0.1 升，每升油 4 元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？【 毛收入： (元)，(702)76汽油成本： （元），收入 （元）. 2.9.31.80413.87613.82他最后距离出发点的距离： （公里）.9()45【例 8】 （8 级） （无锡市中考题、人大附中练习题改编）数轴的原点 上有一个蜗牛，第 次向正方向爬 个单位长度，紧接着第 次反向爬 个单位长度，O112第 次向正方向爬 个单位长度，第 次反向爬 个单位长度，依次规律爬下去，当它爬完第334次处在
10、 点10B 求 、 两点之间的距离（用单位长度表示） 若点 与原点相距 个单位长度，蜗牛的速度为每分钟 个单位长度，需要多少时间C502才能到达？ 若蜗牛的速度为每分钟 个单位长度，经过 小时蜗牛离 点多远？21O【 ，1(2)3(4)9(1)50故 、 两点之间的距离为 个单位长度OB分两种情况，第一种情况：点 在数轴的正半轴， 观察规 律可知：除去第一次，依次每两次C结合相当于向正方向前进 1 米，所以再 经过 （次）运动即可前进 50 米，到达 地；(1)298B用时为： （分钟）(12398)2475第二种情况：点 在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进 米，故经过
11、1次运动即可前进 米，到达 地，用时为： （分钟）050B(0)25设第 次运动时 ，正好 60 分钟，那么有 ，所以 ，此时它n123460n 5n离 点： （米）A123463458【巩固】 （6 级） （第 届希望杯 试）5电子跳蚤在数轴上的某一点 ，第一步 向左跳 个单位到点 ，第二步由点 向右跳 个单0K011K1K2位到点 ，第三步有点 向左跳 个单位到点 ，第四步由点 向右跳 个单位到点 ，2K233344 ，按以上规律跳了 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 所表示的数恰好是 1 109.求电子跳蚤的初始位置点 所表示的数0【 假设电子跳蚤的起点 为 ，规定向左为负，向右为正，根据题
12、意可得：x， 01234569.94x 03.6x【巩固】 （10 级）在整数 1，3，5，7， ，2005 之间填入符号“”和“ ”号，依此运算，所21k有可能的代数和中最小的非负数是多少？【 这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我 们首先可以利用： ，得知所有可能的代数和均 为奇数，再考 虑到非负数这一条件，我203们期望这一最小值为 1接下来我们的目标无非是填入符号 “”和“”凑出 1 来，考虑到共有 1003个数，我们需要利用周期性.注意到， ， ， ，7957190 (23)()(2)30kk， ，因此容易凑出所要的 结 果来 1203203
13、5 05 但是题目中要求在数与数之间填入符号“”和“ ”号，所以可以对算式的前 项做处理，修改为：71-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 5 of 13135791319203205【巩固】 （10 级）(07 年希望杯培训试题) 在 1，3，5，101 这 51 个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？【 由于 为奇数， 对于连续的 4 个奇数我们添加符号如下，使其结果为 0，即：2135710，这样我们可以使后 48 个奇数和为 0，对于 1、3、5 我们可以(2)()(5)(7)0nn如下添加符号使其绝对值最小： ，于是可得和的 绝对值
14、最小为 1351【巩固】 （8 级）(2000 年辽宁) 在数 1，2，3，1998 前添符号“+”或“-”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？【 由于 是一个奇数，而在 1，2，3，1998 之间任意添上“+”号或“”号12399不会改变其代数式和的奇偶性，故所得额非负数不小于 1.现考虑在四个连续自然数 ， ， ，n12之间添加符号， 显然 ，这提示我们将 1，2，3， ，1998 每连续四n(1)2)(0nn个数分成一组，再按上述 规则 添加符号，即：123456789341956978 所求的最小非负数为 1.【例 9】 （6 级）试利用正方形的面积，计算以下无穷个数的和：11
15、.24863248【 如图，把一个面 积为 的正方形等分成两个面积为 的矩形，接着，再把面积为 的矩形中的一个等1212分成面积为 的矩形，在把面积为 的矩形中的一个等分成两个面 积为 的矩形， ，显然，图中所14148有矩形面积之和是整个正方形的面积，所以 .148613216181412【例 10】 （6 级） （2005 年大连市中考）在数学活动中，小明为了求 的值（结果用 表示） ，设计了如图所示的几何23411.2nn图形 【2【1124 1231212请你用这个几何图形求 的值23411.2n请你用图 2，再设计一个能求 的值的几何图形1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 pag
16、e 6 of 13【 原式 ；略12n【例 11】 （4 级） （芜湖市课改实验区中考试题）小王上周五在股市以收盘价每股 元买进某公司股票 股，在接下来的一周交易日内，小王记2510下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况（单位：元）星期 一 二 三 四 五每股涨跌（元） .5.51.80.8根据上表回答如下问题：星期二收盘时，该股票每股多少元？本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？已知买入股票与卖出股票均需要支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的受益情况如何？【 星期二收盘价为 250.26.5收盘价最高为 ；收盘最低价为18250.15.826.小
17、王的收益为 （元）007174板块二、有理数基本乘法、除法有理数乘、除法：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同 0 相乘，都得 0.有理数乘法运算律：两个数相乘，交换因数的位置， 积相等. (乘法交换律)ab三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. (乘法结合律)abc一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. (乘法分配律 )()abca有理数乘法法则的推广：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.几个数相乘，如果有一个因数
18、为 0，则积为 0.在进 行乘法运算 时，若有带分数， 应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化 为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.【例 12】 (2 级)看谁算的又对又快: 345826413(3)55921 17()698242666 12462【 ；358()15812化带分数为假分数后约分.原式 ；90339变形后使用分配律，1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 7 of 13原式 ；1578615157188687.5.2逆向运用分配律，较复杂的有理数混合运算，要
19、注意解 题 方法的选取.原式 ；9426=-应用乘法分配律；原式 .9371312122718(4)310【巩固】 (2 级)计算下列各题： ； ；30.25.704510.332 ； ；7(1)6146 1(.5)(.5)244 ； ；()85 1733 ； .3.2.7()6.4236()2469【 小数结合相乘凑成整数.原式；30.5.40.5703153.57020小数化成分数，互为倒数结 合相乘为 1.原式 ；1原式= ；735(6)()36()36273061124原式 ；1115.()25.)44原式 ；原式 ；()6()83731原式 ；原式 .13.52.7.40318296
20、4【例 13】 (2 级)计算： 710.901 82.15.23【 原式 原式 0.08【例 14】 （8 级）(第 10 届希望杯) 11()()().(1)_987960【 ， ， ， .1976159把这 999 个式子相乘,得原式 .19821-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 8 of 13【巩固】 （8 级）计算： 111()()()()49625250【 原式 1() ()234501 49550=-） （ ） （ -） （ ） （ -）3456911202【例 15】 （8 级）积 的值的整数部分是 11.13243598090【 原式2 290.134822.1
21、51【例 16】 （8 级）设 个正整数 ，任意改变他们的顺序后，记作 ，2n 123.naa， ， ， ， 123.nbb， ， ， ，若，则（ ）123.nPabbA 一定是奇数B 一定是偶数C当 是奇数时， 是偶数nPD当 是偶数时， 是奇数【 C【例 17】 （8 级）若 ， ， ， 是互不相等的整数，且 则 的值为( )abcd9abcdbcdA0 B4 C D无法确定8【 个数是 ，所以abcd， ， ， 13， 0abcd【巩固】 （8 级）如果 4 个不同的正整数 ， ， ， 满足 ，那么mnpq(7)(7)4mnpq的值是多少？ mnpq【 ，所以 分别取值 ， ， ， ，所
22、以(7)(7)1()2(),p6859.28【例 18】 （8 级）如果 均为正数，且 ，那么 的值abc， ， 152162170abcacab， ， abc等于 【 720【例 19】 （6 级）(第 9 届希望杯 )若 ，则 是（ ）1980abaA. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数【 由 ，得 ，可知 、 的符号相反或者 ，故有 .1980ab0b0ab1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 9 of 13【巩固】 (2 级)奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正.【 负号；偶数.【补充】 （6 级）(第 届希望杯 试) 如果 ，则一定成立的是
23、( )16222()()4abA 是 的相反数 B 是 的相反数 C 是 的倒数 D 是 的倒数ab abab【 将原式展开，合并后得到 ，选择 C1【补充】(2 级)若 三个数互不相等，则在 中，正数一定有( )abc， ， abcab， ，A 个 B 个 C 个 D 个0123【 不妨设 ，则 ，显然有两个负数，一个正数00abcab， ，：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘 这个数的倒数 . ，( )1ab0两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的 绝对值.【例
24、 20】 (2 级)计算： 11325112035【 原式 ；原式0576 6【巩固】 (2 级) ； ；231(4)()471()2(3)9 ； ；1560 41 ； .9(7)28()3(7)515()(.5)(.4()223【 在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算. ； ； ； ； ； .3616107【例 21】 (2 级)如果 ， ，且 ，试确定 、 、 的符号.0acb()abcabc【 说明 、 异号，那么 ；又因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，进而0bcc0()00bc得 ，且 ，所以 ， .c【巩固】 (2 级)如果 ， ，试确定 的符号.0abcac【 说明
25、、 异号； 说明 、 异号，所以 、 同号，所以 的符号为正.bacac【例 22】 （6 级） （第 15 届希望杯邀请赛试题）观察下面的式子：1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 10 of 13242;3135;1644， ，小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想【 小明的猜想显然是不正确的，反例：如 13将第一组等式变形为 ，得出如下猜想：“若 是正整数，则2421， n”，证明：左边 右边1nn11n板块三、有理数常考经典计算题型一、应用定律【例 23】 （4
26、 级） （第五届“五羊杯”竞赛试题）计算：1317105.2495.243.602 【 原式 64.5 1710.54150.793【例 24】 (2 级)计算： 568432678432567【 原式 5783102二、应用公式【例 25】 (2 级)计算： 10397【 原式 22491【例 26】 （6 级）计算： 2481632121-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 11 of 13【 原式 24816322112.3232641三、整体代换【例 27】 （6 级）计算：11111 2304203204230【 分析：仔细观察发现，四个括号里有一个公共的部分： ，不妨以
27、代替这个和，且 设.b，这样就可以简化过 程1204a设 1.3204ba，原式 bb2a所以原式 104四、裂项【例 28】 （6 级）计算： 111( )28824802684【 原式 2466 1118 12829【例 29】 （4 级） （2008 年第十三届“华杯赛”决赛集训题）已知 ，试求2(1)|0ab的值11()(2)abab (204)ab【 ，且 ， 2|00 解得 ， 1 原式 123420561 12056五、分离法【例 30】 （6 级）计算： 1312586425381-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 12 of 13【 原式 132583126468
28、60课后练习练习 1 (2 级)计算下列各题 2312()()7473 212(738)(.6)(53)(.64)(3) 10)69.124. 1893255()0(7)2 |()|4 174238 114.531|()|()|5【 ； ； ； ； ； ； ； ； ；2729.086715230练习 2 （8 级）( 第 14 届希望杯) 有一串数： ， ， ， ，按一定的规律排列，23199那 么这串数中前 个数的和最小【解析】 这个数列构成了公差为 的等差数列，故其第 项为 ，4n2034(1)207nan， ，即 ， ，故前 个和最小4207n 3501n 501a50251练习 3 (
29、2 级)超市新进了 10 箱橙子，每箱标准重量为 50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7 ，+0.8 ，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？【 （+0.5）+（+0.3）+（-0.9 ）+（+0.1）+（+0.4）+（-0.2）+（-0.7）+（+0.8）+（+0.3）+（+0.1）=（0.5+0.3+0.1-0.9 ）+(0.8+0.1-0.2-0.7)+(0.4+0.3)=0+0+0.7=0.7(kg)5010+0.7=500.7（kg） ，即：橙子共有 50
30、0.7 千克.练习 4 （6 级）计算： 11111()()()()()()246803579【 原式 357946803579练习 5 (2 级) 、 、 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）abcA ， 、 同号 B ， 、 异号 00bacC ， 、 异号 D 、 、 同号【 A1-1-2 有理数基本运算 题库教师版 page 13 of 13练习 6 (2 级)用“ ”或“”填空如果 ， 那么 0 ； 如果 ， 那么 0 .0abcb0abcac【 ；.练习 7 (4 级)第 18 届希望杯有理数 ， ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：abc ； ；0abc|a
31、c ； ()()0a1c其中正确的命题有（ ）cba-1 10A4 个 B3 个 C2 个 D 1 个【解析】 选择 A练习 8 （4 级） 第 14 届希望杯 为有理数，下列说法中正确的是（ ）aA. 为正数 B. 为负数 C. 为正数 D. 为正数21()03a21()0321()03a2103a(2)在 ， ， ， 这四个数中，负数共有 ( )73|18)A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【解析】 选 对于任意实数 ,都有 ，所以 总有 为正数Da202103a选 B练习 9 （4 级）已知 、 互为相反数， 、 互为负倒数， 的绝对值等于它相反数的 倍.abcdx2求 的值.3xcd【 根据题意可知 ， ， ， ，故012x03abcd30xab
