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1、1圆锥曲线概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距12离的和等于常数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段2a2a21F2F F ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对121F1值等于常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的 “绝对值”与 |F F |12 a12不可忽视。若 |F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的两条射线，若 |F F |，2则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 （1）已知定点 ，在满足下列条

2、件的平面上动点 P 的轨迹中是椭)0,3(,21圆的是 A B C D42P621P021（答：C ） ；221PF（2）方程 表示的曲线是_（答：双曲线的左(6)()8xyxy支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母” ，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点e距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化 。如已知点 及抛物线 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是)0,2(Q42xy_（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方

3、程）：（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） （参数方程，x12bya0acosinxayb其中 为参数） ，焦点在 轴上时 1（ ） 。方程 表示yx2ABC椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B ，C 同号， AB ） 。如（1）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为_（答：23kxk） ； (3,)(,)2（2）若 ，且 ，则 的最大值是 _， 的最小值Ryx62yxyx2yx是_（答： ）5,（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： 1（2ba2ba） 。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且0,ab2AxByC2A，B 异号） 。如（1）双曲线的离心率等于 ，且与

4、椭圆 有公共焦点，则该双曲线的251492yx方程_（答： ） ； 214xy（2）设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线O1F2 2eC 过点 ，则 C 的方程为_（答： ）)10,(P6xy（3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口2(0)yp2(0)px向上时 ，开口向下时 。2xpy3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。x2如已知方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是1my_（答： ）)23,(,(（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；x

5、y（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F ，F1的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中2的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求,ab解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中， 最大， ，在a22bc双曲线中， 最大， 。c22b4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：范围：12yax0a；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴,axb(,)c，一个对称中心（0,0） ，四个顶点 ，其中长轴长为 2 ，短

6、0y (,)aba轴长为 2 ； 准线：两条准线 ； 离心率： ，椭圆 ， 越2xce01e小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。e如（1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是_（答：3 或 ） ；152my510em35（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答： ）（2）双曲线（以 （ ）为例）：范围： 或2xyab0,abxa；焦点：两个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，一个对,xayR()c0,y3称中心（0,0） ，两个顶点 ，其中实轴长为 2 ，虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和(,0)aab虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两

7、条准,0xyk线 ； 离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，2axcce1ee开口越小， 越大，开口越大；两条渐近线： 。e byxa如 （1）双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于_（答：023x或 ） ； 32（2）双曲线 的离心率为 ，则 = （答：4 或 ） ； 21axby5:ab1（3）设双曲线 （a0,b0）中，离心率 e ,2,则两条渐近线夹2 2角 的取值范围是_（答： ） ； ,3（3）抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦2(0)ypx0,xyR点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 ，(,0)2p 0y没有对称中心，只有一个顶点

8、（0,0） ；准线：一条准线 ； 离心率： ，2pcea抛物线 。1e如设 ，则抛物线 的焦点坐标为_（答： ） ；Ra,024axy)16,0(5、点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭(,)Pxy2b0Pxy圆外 ；（2）点 在椭圆上 1；（3）点201ab0(,)Pxy20byax在椭圆内0(,)xy201ab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双0曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛0 0物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当

9、直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_（答：(- ,-1)） ； 3154（2）直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是215xym_（答：1，5）（5 ，+ ） ） ； （3）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则12x这样的直线有_条（答：3） ；（2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直000线与抛物线相切；（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离；

10、直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过双曲线1 外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两2byax0(,)Pxy条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一

11、渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有)4,2(xy82_（答：2） ； （2）过点 (0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率1692的取值范围为_（答： ） ； 45,3（3）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 A、B 两点，若 4，则12yxl 满足条件的直线 有_条（答：3） ； l（4）对于抛物线 C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内x4024xy),(0yM部，若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛

12、物线 C 的位置关系),(0yxMl)(0是_（答：相离） ； （5）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若线段 PF 与 FQ2F的长分别是 、 ，则 _（答：1） ； pq1（6）设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右962yx lm支和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为_(填大于、小RQP,FR于或等于) （答：等于） ； 5（7）求椭圆 上的点到直线 的最短距离（答： ） ；2842yx 01623yx813（8）直线 与双曲线 交于 、 两点。 当 为何值时， 、 分1a2ABaAB别在双曲线的两支上？当 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原

13、点？（答： ； ） ；3,7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的red距离。如（1）已知椭圆 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的1625yx距离为_（答： ） ；3（2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于 5，则它到抛物xy82y线的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点 到焦点的距离是 4，则点 的坐标为 _（答：MM） ；7,(4)（4）点 P 在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则1925yx点 P 的横坐标

14、为 _（答： ） ；（5）抛物线 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 轴xy2 y的距离为_（答：2） ；（6）椭圆 内有一点 ，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使134)1,(P之值最小，则点 M 的坐标为_（答： ） ；FMP )1,362(8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距0,Pxy12,F离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中， 12,r12PS2ba，且当 即 为短轴端点时， 最大为 ；)acos(21brmax2rcosab，当 即 为短轴端点

15、时， 的最大值为 bc；对于双曲线0tn|Scy0|baS的焦点三角形有： ； 。 2xab 21arcosrb 2cotsin12br如 （1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆53e1F16于 A、B 两点，则 的周长为 _（答：6） ；2ABF（2）设 P 是等轴双曲线 右支上一点，F 1、F 2 是左右焦点，若)0(2ayx，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答： ） ；01F 4xy（3）椭圆 的焦点为 F1、F 2，点 P 为椭圆上的动点，当 0 时，294xy PF2 PF1 点 P 的横坐标的取值范围是 （答： ） ；35(,)（4）双曲线的虚轴

16、长为 4，离心率 e ，F 1、F 2是它的左右焦点，若过 F1的直6线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且 是 与 等差中项，则AB_（答： ） ；AB82（5）已知双曲线的离心率为 2，F 1、F 2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且， 求该双曲线的标准方程（答： ） ；6021PF321FPS 214xy9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则AMFBMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A ，B ，若 P 为 A B 的中点，则11PAPB；（4）若 AO

17、的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。 10、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B ，且 分别为ykxb12,xA、B 的横坐标，则 ，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 2112,yA，若弦 AB 所在直线方程设为 ，则 。212ykxkb21ky特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）两点，若x1+x2=6，那么

18、|AB|等于_（答：8） ； （2）过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐x标原点，则 ABC 重心的横坐标为_（答：3） ；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；在双曲线12byax0(,)Py 02yaxb中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= ；在抛物线2,x 02中，以 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。2(0)ypx0(,)ypy7如（1）如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程21369xy是 （答： ） ；80（2）已知直线 y=x+1

19、与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段21(0)xyabAB 的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_ （答： ） ；2（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线1342yx对称（答： ） ； xy4213,特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、0对称问题时，务必别忘了检验 ！12你了解下列结论吗？（1）双曲线 的渐近线方程为 ；12byax02byax（2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为1为参数， 0）。(byax如与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为1692yx )32,(_（答： ）4（3）

20、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；21mxny（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到ba相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ； 2bc2pp（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线 的焦点弦为 AB， ，则2(0)ypx12(,)(,)AxyB；12|ABx2211,4yp（7）若 OA、OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线()xAB 恒经过定点 (,0)p13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：8直接法：直接利用条件建

21、立 之间的关系 ；,xy(,)0Fxy如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：3或 ）；21(4)3)yx24(0)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m ，0） ，端点 A、B 到 x 轴距离之积)(为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答： ） ； 2y定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点 P 向圆 作两条切线 PA、PB，切点分别为 A

22、、B，APB=60 0，21xy则动点 P 的轨迹方程为 （答： ）；24xy（2）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程05l且是_ （答： ）；26(3) 一动圆与两圆M： 和N： 都外切，则动圆12yx 082圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且(,)P0(,)Qxy又在某已知曲线上，则可先用 的代数式表示 ，再将 代入已知0(,)Qxy, 00,xy曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线 上任一点，定点为 ,点 M 分 所成的比为12xy)1(A PA2，则 M 的轨迹方程为_（答： ）；

23、362xy参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，(,)可考虑将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。,xy如（1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2 a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在OM 上取点 ，使 ，求点 的轨迹。（答： ）；P|NP2|xya（2）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是),(112yx ),(11Q_（答： ）；2|y（3）过抛物线 的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点 M 的4l轨迹方程是_（答： ）；2xy注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点

24、出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行 “摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆 的左、右焦点分别是)0(12bayxF1（c，0） 、F 2（c，0） ，Q 是椭圆外的动点，满足点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q.|aQ9上，并且满足 （1）设 为点 P 的横坐标，证明 ；.0|,22TFPx xacPF|1（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（ 3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F1MF2 的面积 S= 若存在，求F 1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. （答：.b（1）略；（2） ；（3）当 时不

25、存在；当 时存在，此时22xyabac2bacF 1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量 或 ；ku,1nm,（

26、2）给出 与 相交 ,等于已知 过 的中点;OBAOBA（3）给出 ,等于已知 是 的中点;0PNMPMN（4）给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;Q,（5） 给出以下情形之一： ；存在实数 ；若存在C/,AC且实数 ,等于已知 三点共线.,1,且（6） 给出 ，等于已知 是 的定比分点， 为定比，即OBAPPBBAP（7） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出0MMA,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是0mM0mAB锐角,（8）给出 ,等于已知 是 的平分线/PBA B（9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知CD0)()(ADA是菱形;ABCD（10） 在平行四边形 中，给出 ，等于

27、已知|是矩形;（11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角22OCBBC形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点） ；（12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三AB0A10角形的重心是三角形三条中线的交点） ；（13）在 中，给出 ，等于已知 是 的ABCOACBO ABC垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点） ；（14）在 中，给出 等于已知 通过AP()|)(RP的内心；（15）在 中，给出 等于已知 是 的内心AB,0cBba AB（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点） ；（16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的C12ADCDC中线;