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1、新课程高一数学必修一学习口诀集合的概念与运算：集合元素有三性，确定无序还互异。表示方法有三种，列举描述韦恩图。代表元素要认准，从属包含要分清。子集别把空集忘，2 的 n 次是总数。交集两个都要有，并集沾边就能行，补集全把本身抛，图形运算更直观。反演律、很重要，运算性质常回忆。函数的概念：函数如同子与母，每人只有一个娘。三个要素离不了，函数关系要理清。定义域、是灵魂，研究函数莫忘了。对应关系解析式，求法花样还不少。观察配凑或换元，基本方法常常用。假如知道啥类型，待定系数求最好。对称周期用代入，抽象函数用赋值。函数值域是傀儡，常用单调来解决。复合函数虽不讲，却是处处少不了。其中性质慢慢品，熟练应用

2、有奥妙。函数的性质：单调性、区间上，任意变量都满足。作差变形定符号，简单明了才最好。奇减则减偶减增，内外函数要看清。比大小，化同间，实在不行找中介。奇偶性，看对称，定义千万不要丢。否定一个全盘翻，奇偶判定要耐心。解析式、代入求，构造函数来求值。对称区间单调性，奇同偶反方便用。基本初等函数：一二三、反指对，基本函数就几类。定义域、单调性，函数性质需记清。指数都过零一点，对数则是过一零，幂函数，花样多，但是全都过一一。大增小减很相似，区间不同值相异。常数大小要比较，画条直线看交点。a 在前 y 在后，中间夹着爱可丝。指数药灵药，对数药药灵，幂函数是零要咬。同大同小一定大，一大一小则变小。分段组合加

3、复合，函数花样变化多。化归思想很重要，难化简来生变熟。函数方程与应用：零点就是方程根，联系函数画图像。等号两边俩函数，同一坐标各画图。画出图像看交点，几个交点几个根。区间两端若异号，中间有根跑不了。近似根，二分法，事半功倍真奇妙。函数模型没几种，审清题意认真算。第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元

4、素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： 如 我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R关于“ 属于 ”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合

5、A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x-324、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2= 5二、集合间的基本关系1.“包含”关系 子集 注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（

6、2 ）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2“相等”关系(55 ，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 A?B, B?C ,那么 A?C 如果 A?B 同时 B?A

7、那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：A B(读作 ”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB3、交集与并集的性质：AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集与补集（1 ）补集：设 S 是一个集合，

8、A 是 S 的一个子集（即 ），由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA =x ? x?S 且 x?A（2 ）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（3 ）性质：CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA) A=U二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(

9、x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：2 如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算

10、结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. （6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)

11、值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x)

12、, xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念（1 ）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2 ）无穷区间

13、；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“ 方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的

14、对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查

15、出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数 （参见课本 P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（ 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(x A) 称为 f、g 的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+

16、1)7函数单调性（1 ）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2 ，当 x11，且 *当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号 表示式子 叫做根式（radical ），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成?（ 0）由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。

17、注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1 ） ? ；（2 ） ；（3 ） （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 0a1图象特征 函数性质函数图象

18、都在 y 轴右侧 函数的定义域为（ 0，）图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R函数图象都过定点（1，0） 自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 （三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数2、幂函数性质归纳（1 ）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（ 1，1）；（2 ） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数的图象下凸

19、；当 时，幂函数的图象上凸；（3 ） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点3、函数零点的求法：求函数 的零点：1 （代数法）求方程 的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 1） 0 ，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点2） 0 ，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0 ，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点