1、23 收敛数列的性质 引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证 的方法，这是极限较基本的内容，要limna求掌握为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题还需要对数列的性质作进一步讨论一、收敛数列的性质 极限唯一性 定理 2.2 若数列 收敛，则它只有一个极限na 有界性定理 2.3 若数列 收敛，则 为有界数列nna注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件例如数列 有界，但它不收敛(1)n 保号性 定理 2.4 若 （或 ） ，则对任何 （或 ） ，存在正数，使得lim0naa(0,)a(,0)a当 时有 （或 ） nNn注 在应用保号性时，经常取 2a 保不等式性定理
2、 2.5 设数列 与 均收敛，若存在正数 ，使得当 时有 ，则nb0N0nnablimlinnab思考：如果把条件“ ”换成“ ”，那么能否把结论换成 ？nanablimlinn保不等式性的一个应用：例 1 设 ，证明：若 ，则 .0(1,23)n limnlina思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？ 迫敛性 定理 2.6 设收敛数列 、 都以 a 为极限，数列 满足：存在正数 ，当 时有nabnc0N0n，则数列 收敛，且 .nnacbclinc注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具下面是其应用一例：例 2 求数列 的极限n 极限的四则运算法则24
3、定理 2.7 若 、 为收敛数列，则 也都收敛，且有nab,nnnabab;lim()limlinn.na若再做假设 及 ，则数列 也收敛，且有0nblinnb.mlilinna特别地，若 ，则 ， .nbcli()limnnacclilimnnac在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则下举几例；例 3 求 n1li例 4 求 6524limn类似可求 ，其中 .110limkknanabb ,0,mkab例 5 求 ，其中 .1lina例 6 求 .li()n例 7 求 .2221lim()()n n二 数列的子列 引言极限是个有效的分析工具但当数列 的极限不存在时，这个工具随之失效
4、这能说明什么呢？na难道 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数na列进行研究那么，如果“整体无序” ， “部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列” 子列的定义定义 设 为数列， 为正整数集 的无限子集，且 ，则数nakN123knn 列 12,knna 25称为数列 的一个子列，简记为 .nakna注 1 由定义可见， 的子列 的各项都来自 且保持这些项在 中的的先后次序简单nk nana地讲，从 中取出无限多项，按照其在 中的顺序排成一个数列
5、，就是 的一个子列（或子列就是n n从 中顺次取出无穷多项组成的数列a注 2 子列 中的 表示 是 中的第 项， 表示 是 中的第 k 项，即 中的第knkknakknak knak 项就是 中的第 项，故总有 . 特别地，若 ，则 ，即 .kkna注 3 数列 本身以及 去掉有限项以后得到的子列，称为 的平凡子列；不是平凡子列的子nan n列，称为 的非平凡子列如 都是 的非平凡子列由上节例知：数列 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，21,kn na且在收敛时有相同的极限那么数列 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：na定理 数列 收敛 的任何非平凡子列都收敛na注 若数列 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列 一定发散这是判断n na数列发散的一个很方便的方法如 ， 收敛于 1， 收敛于 ，故 发散)1(n)(2k )(12k)1(n例 7 证明 发散2si作业：P33 1（1） （4） （5） ，2，4（1） （4） （6） ，6（1）
