1、1,积分变换,2,傅里叶(Fourier)级数展开,3,在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:,具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).,t,4,最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T,而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt,t,5,人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的
2、三角函数的线性组合来逼近.,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,6,研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间-T/2,T/2上,1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.,7,第一类间断点和第二类间断点的区别:,第二类间断点,第一类间断点,8,不满足狄氏条件的例:,而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都
3、是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些.,0,),1,sin(,),(,tg,),(,点,处存在着无限多个极值,在靠近,存在第二类间断点,t,t,f,t,t,f,=,=,9,在区间-T/2,T/2上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个函数f和g的内积定义为:,10,一个函数f(t)的长度为,11,而在区
4、间-T/2,T/2上的三角函数系 1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ., cos nwt, sin nwt, . 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt的线性组合. 当nm时,12,这是因为,13,14,而1, coswt, sinwt, ., cos nwt, sin nwt, .的函数的长度计算如下:,15,因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示为三角级数的形式如下:,16,为求an, 计算fT(t), cosnwt, 即,17,同理, 为求bn, 计算fT(t), s
5、in nwt, 即,18,最后可得:,19,而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:,20,如令wn=nw (n=0,1,2,.),21,给定fT(t), cn的计算如下:,22,23,例 定义方波函数为,如图所示:,1,-1,o,t,f(t),1,24,现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则,25,则,26,sinc函数介绍,27,sinc函数的图形:,sinc(x),x,28,前面计算出,w,29,现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t),1,-1,7,T=8,f8(t),t,30,则,31,则在T=8时,w,32
6、,如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出,w,33,一般地, 对于周期T,34,当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上的分布, 称作f(t)的傅里叶变换.,35,对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有,36,37,38,如图,w,39,40,此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称傅氏积分公式,41,傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2, f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有,42,(1.4)式也可以转化为三角形式,43,又考虑到积分,44,作业 习题一,第8页 第1,2题,
