1、1一、提出问题大约在1500年前，孙子算经中记载了这样一个有趣的问题。书中说：“ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何？” 意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中鸡和兔各有几只？ 这就是我们通常所说的鸡兔同笼问题，如何解决这个1500年前古人提出的数学问题，就是我们这节课要研究的内容。（板书课题）二、解决问题出示例1 ：鸡兔同笼，有20个头，54条腿， 鸡、兔各有几只？（同时出示鸡兔同笼情境图）师：想一想，如何来解决这个问题？请同学们把你的想法，你的思考过程用你喜欢的方式表达出来。学生思考、分析、探索，接下来是讨论、交流、争
2、辩。（老 师参与其中，启发、点拔、引导适当，师生互动。）10分钟后进入小组汇报、集体交流阶段。师：谁能说一说你们小组探究的结果，鸡、兔各有几只？你们是怎样得出结论的？学生汇报表达的方式：生1：我们利用画图凑数的方法：先画 10个头。 每个 头下画上两条腿。 数一数，共有40条腿，比题中给出的腿数少54-20=14 条腿。 给一些 鸡添上两条腿，叫它变成兔 边添腿边数，凑够54条腿。每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添14条腿就变出来7只兔这样就得出答案，笼中有7只兔和13只鸡。2列表法：生 1：我们一个一个地试，把结果列成表格，最后得出 7 只鸡、3 只兔。头/个 鸡/只 兔/只 腿/条
3、20 1 19 7820 2 18 7620 3 17 7420 4 16 72 13 7 54生 2：我们组得出的结果也是只 13 鸡、7 只兔，但我们不是一个一个地试，这样太麻烦了，我们是 5 个 5 个地试。头/个 鸡/只 兔/只 腿/条220 1 19 7820 5 15 7020 10 10 6020 15 5 5020 14 6 5220 13 7 54生 3：因为鸡、兔共 20 只，我们先假设鸡、兔各 10 只，这样共有 60 条腿，比 54 条腿多 6 条，说明假设的兔多了 3 只，鸡少了 3 只，于是兔只有 7 只，鸡有 13 只。生 4：我们是先按鸡兔各一半来算的。头/个
4、鸡/只 兔/只 腿/条20 10 10 6020 12 8 5620 13 7 54师：同学们的探索精神和方法都很好，都能用自己的方法成功地解决“鸡兔同笼问题”。师：谁还有其他的解法吗？（ 老师让举手的其中三名学生上台板演）生5：假设20只都是鸡，那么兔有：（54-202） （4-2）=7（只）， 鸡有20-7=13 （只）。生6：假设20只都是兔，那么鸡有：（420-54） （4-2）=13（只），兔有 20-13=7（只）。生7：设鸡有X只，那么兔有（20-X）只。2X+4（20-X）=54，X=13，20-13=7（只） 即鸡有13只，兔有7只。师：同学太聪明了，想出了这么多好办法，通过
5、以上的学习，你有什么发现，有什么想法吗？生：解决一个问题可以有不同的方法。三、想一想，做一做：1尝试解答课前提出的古代孙子算经中记载的鸡兔同笼问题。书中说：“ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何？2完成书中练一练中的4道题 第4道题， 小结： 师生共同总结，我们今天学习的鸡兔同笼问题，发现了可以用画图的方法解决、可以用列表的方式进行分析。还可以用假设的方法（亦可称作置换法），可以先假设都是一种事物（换成同一种事物），再根据题中给出的条件进行修正、推算。有的同学还用方程来解决这个问题，一个问题可以用多种方法来解决，真是条条大路通罗马呀！希望同学们今后在学习中也能象今天一样肯
6、于动脑，勤于思考，使我们每一个同学都越学聪明。多了3一,基本问题 “鸡兔同笼“是一类有名的中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法-“假设法“来求解.因此很有必要学会它的解法和思路. 例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只 解:我们设想,每只鸡都是“金鸡独立“, 一只脚站着; 而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,也就是 2442=122(只). 在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数 122-88=
7、34, 有34只兔子.当然鸡就有54只. 答:有兔子34只,鸡54只. 上面的计算,可以归结为下面算式: 总脚数2-总头数= 兔子数. 上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能 够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,“脚数“就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法. 还说例1. 如果设想88只都是兔子,那么就有488只脚,比244只脚多了 884-244=108(只). 每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡 (884-244)(4-2)= 54(只). 说
8、明我们设想的88只“兔子“中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=(兔脚数 总头数 -总脚数)(兔脚数-鸡脚数). 当然,我们也可以设想88只都是“鸡“,那么共有脚288=176(只), 比244只脚少了 244-176=68(只). 每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚, 682=34(只). 说明设想中的“鸡“, 有34只是兔子,也可以列出公式 兔数=(总脚数-鸡脚数总头数)(兔脚数-鸡脚数). 上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数. 假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为“假设法“. 现在,拿一个具体问题来试试上面的公式
9、. 4例2 红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支 解:以“分“作为钱的单位.我们设想,一种“鸡“有11只脚,一种“兔子“有19只脚,它们共有16个头,280只脚. 现在已经把买铅笔问题,转化成“鸡兔同笼“问题了.利用上面算兔数公式,就有 蓝笔数=(1916-280)(19-11) =248 =3(支). 红笔数=16-3=13( 支). 答:买了13支红铅笔和3支蓝铅笔. 对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数“19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是“兔子“,8只是“鸡“,根据这一设想,脚
10、数是 8(11+19)=240. 比280少40. 40(19-11)=5. 就知道设想中的8只“鸡“应少5只,也就是“ 鸡 “(蓝铅笔)数是3. 308比1916或1116要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算. 实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,“兔数“为10,“鸡数“为6,就有脚数 1910+116=256. 比280少24. 24(19-11)=3, 就知道设想6只“鸡“, 要少3只. 要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子. 例3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单
11、独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时 解:我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打306=5(份),乙每小时打3010=3(份). 现在把甲打字的时间看成“兔“头数,乙打字的时间看成“鸡“头数,总头数是7.“ 兔“的脚数是5,“鸡“的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成“鸡兔同笼“问题了. 根据前面的公式 “兔“数=(30-37)(5-3) =4.5, “鸡“数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时. 5答:甲打字用了4小时30分. 例4 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄
12、和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年 解:4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25, 父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡“头数,弟的年龄看作“兔“头数.25是“总头数“.86是“总脚数“. 根据公式 ,兄的年龄是 (254-86)(4-3)=14(岁 ). 1998年,兄年龄是 14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)(3-1)=15(岁). 这是2003年. 答:公元
13、2003年时,父年龄是兄年龄的3倍. 例5 蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只 解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成“8条腿“与“6条腿“两种.利用公式就可以算出8条腿的 蜘蛛数=(118-618)(8-6) =5(只). 因此就知道6条腿的小虫共 18-5=13(只). 也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式 蝉数=(132-20)(2-1)=6(只). 因此蜻蜓数是13-6=7(只). 答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉. 例6 某次数学考试考五道题,全
14、班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人 解:对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39(人). 他们共做对 181-17-56=144(道). 由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人(2+3)62=2.5).这样 兔脚数=4,鸡 脚数=2.5, 总脚数=144, 总头数=39. 对4道题的有 (144-2.539)(4-1.5)=31(人). 答:做对4道题的有31人. 习题一 1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只 2.学校有象棋,跳棋
15、共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副 3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个 4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张 5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天 6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路(3千米), 一段平路(4 千米),一段下坡路
16、(2千米)和一段平路(4 千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2 千米)和一段平路(4千米)组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段 7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张 二,“两数之差“ 的问题 鸡兔同笼中的总头数是“两数之和“,如果把条件换成“两数之差“,又应该怎样去解呢 例7 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多. (680-840)(8+4)=30(张), 这就知
17、道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70(张). 答:买了8分的邮票70张,4分的邮票30张. 也可以用任意假设一个数的办法. 解二:譬如,假设有20张4分,根据条件“8分比4 分多40张“,那么应有60张8分.以“分“作为计算单位,此时邮票总值是 420+860=560. 比680少,因此还要增加邮票.为了保持“差“是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种7要增加的张数是 (680-420-860)(4+8)=10(张). 因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70( 张). 例8 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天
18、一天 工程要多少天才能完成 解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有 (150-83)(10+8)= 7(天). 雨天是7+3=10天,总共 7+10=17(天). 答:这项工程17天完成. 请注意,如果把“雨天比晴天多3天“去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系. 总脚数是“两数之和“, 如果把条件换成“ 两数之差 “,又应该怎样去解呢 例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只 解一
19、:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡282=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚42=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是 (100+282)(2+1)=38(只). 鸡是 100-38=62(只). 答:鸡62只,兔38只. 当然也可以去掉兔284=7(只).兔的只数是 (100-284)(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法. 解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是 450-250=100, 比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了). 为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6
20、只(千万注意,不是2). 因此要减少的兔数是 (100-28)(4+2)=12(只 ). 兔只数是 50-12=38(只). 另外,还存在下面这样的问题:总头数换成“两数之差 “,总脚数也换成“两数之差“. 例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首. 8解一:如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差 1354+20=280(字). 每首字数相差 74-54=8(字). 因此,七言绝句有 28(28-20)=35(首). 五言绝句有 35+13=48(首
21、). 答:五言绝句48首,七言绝句35首. 解二:假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是2023=460(字),2810=280(字),五言绝句的字数 ,反而多了 460-280=180(字). 与题目中“少20字“ 相差 180+20=200(字). 说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 2008=25(首). 五言绝句有 23+25=48(首). 七言绝句有 10+25=35(首). 在写出“鸡兔同笼“ 公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三
22、个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与“鸡兔同笼“公式对照一下,就会发现非常有趣的事. 例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是 (680-840)(8+4)=30(张). 例9,假设都是兔,鸡的只数是 (1004-28)(4+2)=62(只). 10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是 (2013+20)(28-20)=35(首). 首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与“鸡兔同笼“公式比较,这三个算式只是有一处“-“ 成了“+“.其奥妙何在呢 当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.
23、例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻9璃瓶破损了几只 解:如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2( 元). 因此破损只数是 (400-379.6)(1+0.2)=17(只). 答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶. 请你想一想,这是“鸡兔同笼“同一类型的问题吗 例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1 题倒扣1分; 第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测
24、验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分 解一:如果小明第一次测验24题全对,得524=120(分). 那么第二次只做对30-24=6(题)得分是 86-2(15-6)=30(分). 两次相差 120-30=90(分). 比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少 6+10=16(分). (90-10)(6+10)=5(题). 因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19
25、=11(题). 第一次得分 519-1(24- 9)=90. 第二次得分 811-2(15-11)=80. 答:第一次得90分,第二次得80分. 解二:答对30题,也就是两次共答错 24+15-30=9(题). 第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6(分),第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换 一下,两次得分要相差6+10=16(分). 如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去69.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分“,要少了69+10.因此,第二次答 错题数是 (69+10)(6+10)=4(题 ) 第一次答错 9-4=5(题). 第一次得分 5
26、(24-5)-15=90(分). 第二次得分 8(15-4)-24=80(分). 习题二 1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语10文书和数学书的价格各是多少 2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克 3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天 4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了
27、76分.问小华做对了几道题 5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发 6.甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲,乙两地出发,经过4小时后,他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米,求两人的速度. 三,从“三“到“ 二“ “鸡“和“兔“是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看
28、出,要把“三种“转化成“二种“来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法. 例13 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 解:从条件“ 铅笔数量是 圆珠笔的4倍“, 这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作 (0.604+2.7)5=1.02(元). 现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼“公式可算出,钢笔支数是 (300-1.02232)(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共
29、 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支). 答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支. 例14 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个 解:因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还11是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是 (1.52+13)(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是 (
30、120-1.255)(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-303)2=15(元). 可买10个中球,15个小球. 答:买大球30个,中球10个,小球15个. 例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可用类似方法),把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把“三“ 转化成“ 二“了. 例15是为例16作准备. 例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少 解:去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提. 平均速度=所行距离 所用时间 去时走1千米,要用20
31、分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米. 千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3)2=4.5 千米. 例16 从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米 解:把来回路程452=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡; 去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种“路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简
32、单的“鸡兔同笼“问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-421)(5-4)=6(小时 ). 单程平路行走时间是62=3(小时). 从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是 45-53=30(千米). 又是一个“鸡兔同笼“ 问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是 (67-30)(6-3)=4(小时 ). 行走路程是34=12(千米). 下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是 63=18(千米). 12答:从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米. 做两次“鸡兔同笼“ 的解法,也可以叫“ 两重鸡 兔同笼问题“
33、.例16是非常典型的例题. 例17 某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数,有25题,或者16题,或者20题.那么,其中考25题的有多少次 解:如果每次都考16题,1624=384,比426少42道题. 每次考25道题,就要多25-16=9(道). 每次考20道题,就要多20-16=4(道). 就有 9考25题的次数 +4考20题的次数=42. 请注意,4和42都是偶数,9考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次数是偶数,由96=54比42大,考25题的次数,只能是0,2,4这 三个数.由于42不能被4整除,0和4都不合适.只能是考25题有2次(考20题有6次). 答:其中考
34、25题有2次. 例18 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位 解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车, 110-1.230=74(元). 还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假 设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.240=62(元). 还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还 有多(62610). 说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍. 现在又可
35、以转化成“鸡兔同笼“了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.235=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (615-68)(6-4)=11. 答:乘小巴前往的同学有11位. 在“三“转化为“ 二“时,例13,例14,例16是一种类型.利用题目中数量比例关系,把两种东西合并组成一种.例17,例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数,以及总量的限制,其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数,也就变成“二“的问题了.在小学算术的范围内,学习这两种类型已足够了.更复杂的问题,只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解. 习题三 131.有100枚硬
36、币,把其中2分硬币全换成等值的5分硬币,硬币总数变成79个,然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币,硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱 2.“京剧公演“ 共出售750张票得22200元.甲票每张60元,乙票每张30元,丙票每张18元.其中丙票张数是乙票张数的2倍.问其中甲票有多少张 3.小明参加数学竞赛,共做20题得67分.已知做一题得5分,不答得2分,做错一题倒扣3分.又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题 4.1分,2分和5分硬币共100枚,价值2元,如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分.问三种硬币各多少枚 注:此题没有学过分数运算的同学可以不做.
37、5.甲地与乙地相距24千米.某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米,走平路速度每小时5千米,下坡速度每小时6千米.去时行走了4小时50分,回来时用了5小时.问从甲地到乙地,上坡,平路,下坡各多少千米 6.某学校有12间宿舍,住着80个学生.宿舍的大小有三种:大的住8个学生,不大不小的住7个学生,小的住5人.其中不大不小的宿舍最多,问这样的宿舍有几间 测验题 1.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个. 它一连几天采了112个松籽,平均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨 2.有一水池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池,只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开
38、甲水龙头几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟 3.某工程甲队独做50天可以完成,乙队独做75天可以完成.现在两队合做,但是中途乙队因另有任务调离了若干天.从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天 4.小华从家到学校,步行一段路后就跑步.他步行速度是每分钟600 ,跑步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑步时间多4分钟,但步行的距离却比跑步的距离少400米.问从家到学校多远 5.有16位教授,有人带1个研究生,有人带2个研究生,也有人带3个研究生.他们共带了27位研究生.其中带1个研究生的教授人数与带2,3个研
39、究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几人 6.某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名 7.有一堆硬币,面值为1分,2分,5分三种,其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍.已知这堆硬币面值总和是1元,问5分的硬币有多少个 第三讲 答案 习题一 141.龟75只,鹤25只. 2.象棋9副,跳棋17副. 3.2分硬币92个,5分硬币23个. 应将总钱数2.99元分成24+5=13(份),其中2分钱数占24=8(份),5 分钱数占5份. 4.2元与5元各20张,10元有10张. 2元与5
40、元的张数之和是 (1050-240)10-(2+5)2=40(张). 5.甲先做了4天. 提示:把这件工程设为36份,甲每天做3份,乙每天做2份. 6.第一种路段有14段,第二种路段有11段. 第一种路段全长13千米,第二种路段全长9千米,全赛程281千米,共25段,是标准的“鸡兔同笼“. 7.最多可买1角邮票6张. 假设都买4分邮票,共用415=60(分),就多余100-60=40(分). 买一张1角邮票,可以认为40分换1角,要多6分.406=64, 最多买6张 .最后多余4分,加在一张4分邮票上,恰好买一张8分邮票. 习题二 1.语文书1.74元,数学书1.30元. 设想语文书每本便宜0
41、.44元,因此数学书的单价是 (83.4-0.4430)(30+24). 2.买甲茶3.5千克,乙茶8.5千克. 甲茶数=(9612-354)(132+96)=3.5(千克) 3.一连运了27天. 晴天数=(113+27)(16-11)=12(天) 4.小华做对了16题. 76分比满分100分少24分.做错一题少6分,不做少5分.24分只能是64. 5.甲中8发,乙中6发. 假设甲中10发,乙就中14-10=4(发).甲得410=40(分), 乙得54-36= 2(分). 比题目条件“甲比乙多10分“ 相差(40-2)-10=28(分),甲少中1发,少4+2=6(分),乙可增5+3=8(分).
42、 28(6+8)=2. 甲中10-2=8(发). 6.小张速度每小时6千米,小王速度每小时4.5千米. 王的速度是每小时 注:为了避免分数运算,路程以米为单位,时间以分钟为单位,就可以达到目的.“鸡兔同笼”问题最早见 于孙子算经，至今一直 为人们所喜闻乐见。作为小学数学15应用题中的一类重要问题，是智力训练的好问题，古今中外许多人都对它的解法作过研究，可以说它的解法已“箩成筐”了。“鸡兔同笼”问题：今有 鸡兔同笼，上有三十五 头，下有九十四足。问鸡兔各几何？1.鸡兔共35只，它们不可能全是鸡，因为那么一来它们将只有70只脚了，它们也不可能全是兔子，因为那样就将有140只脚。 但是它们应该恰好有
43、94只脚。如果正好有20只鸡，15只兔子， 那么它们就将有100只脚，列表如下：鸡 兔 脚35 0 700 35 14020 15 100如果把鸡的数目取小一些，那么必须把兔子的数目取大一些，而这就使得脚数增大了。反之，如果把鸡的数目增加一些，那么兔子的数目就减少一些，而这就使得脚数减小了。根据脚数随鸡数变化的规律，23只鸡和12只兔子，恰好有74只脚。以“探索”为特征的这种逐次逼近的解法，由一系列的试探组成，其中每一次都企图纠正前面一次所带来的误差，整个说来，误差随着进一步的试探而减少，而依次进行的试探则越来越接近于所要求的结果。当然数字较大或较为复杂时，用这种方法求解，就需要实验多次。教师
44、应该鼓励学生巧妙地应用逐次逼近这种基本的方法。2.孙子的解法“上置三十五 头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得” 。按其所述，在筹算板上的演示过程如下：附图图翻译成算术方法就是：兔数 （942）3512鸡数 351223美国杰出数学教育家G 波利亚对这种解法创设了教学情景：意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式，每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即47条腿。在70这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次，从47这个数减去所有头数35，就剩下兔子
45、的头数了。当然，鸡的只数可立刻求出。这种解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握题中的数量关系，不是所有学生都能理解的。3.第一种解法是假想这35只都是鸡或兔，思路虽然巧妙，却使学生想不通：明明有鸡有兔为什么假设只有一种呢？第二种解法巧妙而有趣，但其出发点仍似天外飞来，不易使全体学生掌握。张景中院士独具匠心，他从学生的常识出发，自然地引出了解答。16先问：“兔有四只脚，为什么鸡只有两只脚”这岂不是太不公平了吗？”经过思考，学生会找到理由：“不是不公平，鸡还 有两只翅膀呢！”问：“如果翅膀也算脚，总共该有多少只脚？”这容易回答：354 140，140只脚。“但题中翅膀不算脚，只有94只脚，可见有多少翅膀
46、呢？ ”“14094 46，46只翅膀！”于是学生兴奋地喊出来：“23只鸡！”这种解法，每个学生都能立即理解，即使不再复习，半年后他们仍能回忆起来。同时这个例子告诉我们，要充分利用学生认知结构中已有的知识去创设问题情景，这样有利于学习中的正迁移的发生，能促进新知识的掌握、巩固和应用。4.把数量关系问题和图形结合起来考虑，借助于图示的鲜明直观性，帮助学生理解题目中的数量关系，适合小学生的思维特点，是小学数学教学中的一贯作法：根据题意作出图示：附图图由图示可以看出：兔数（94352）212 （只）， 鸡数351223（只）5.设笼中有x只鸡，则有（35x）只兔，根据题意，得2x4（35x）94解之
47、，得x23（只），352312（只）。推广，若以h代替35， f代替94，得到这类问题 的求解公式：f f兔数h，鸡数2h，即：兔子数等于脚数的一半减头数，2 2鸡数等于头数的两倍减去脚数的一半。这种解法比较简单，小学五（或六）年级的学生都能掌握。6.盈不足算法是我国古代解决算术应用题的基本方法。对于“鸡兔同笼” 问题，可以通过两次假设，试算，化归为盈不足模式，然后套用现成的公式演算。假设笼中有x,120只鸡，则有兔15只，得脚100只，则知盈（多出脚数）y,16；假设笼中有鸡x,225只，则有兔10只，得脚90只，则知不足y,24。于是有盈不足算法；鸡（x,1y,2x,2y,1） （y,1y
48、,2）（204 256 ）（46）23（只）或兔（ 154106）（46）12（只）。“盈不足术被阿拉伯人称为中国算法，它是以特定的数学模型来处理一大类应用问题的方法，在指导数学课外活动小组活动时，介绍这种方法，既开阔了学生的视野，又能增强学生的民族自尊心和自豪感，激发学生的爱国热情。”7.假设有20只鸡，15只兔，那么就会有（202154）100 只脚，比 实际多出了（10094）6只，这是因为把鸡看成兔，每只多算了2只脚，共把（62 ）3只鸡看成兔，加上原来的20只鸡共有23只鸡，12只免。这种先在假设的条件下推算，得出与已知数量不符，最后再适当调整的方法，是小学数学教材教法第一册第一章中
49、整数四则应用题特殊解题思路部分介绍的，是小学数学教师应该了解的方法。17这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五 头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“ 独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔 ”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512（只）。显然，鸡的只数就是
