1、 6.4 极限环和平面图貌6.4.1 极限环例一阶非线性驻定方程组2222(1)(1)dxyxx ydtdyxyx ydt= + =+取极坐标cos , sinx ryr = =2(1 ),1drrrdtddt=Ordinary Differential Equations Chapter 6Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）方程组有两个特解沿圆*121111, (1 ) 0, 1 0rRdr dRR R Rdt dt= =沿圆*22221, (1 ) 0, 1 0rRdr dRR R Rdt dt= = 轨线按逆时针方向从圆1rR=上
2、走出圆外；轨线按逆时针方向从圆2rR=上走到圆内。Ordinary Differential Equations Chapter 6以单位圆为轨线的周期解，2周期为 且沿逆时针方向旋转。00(2) 1, ,rttt=，00(1) 0, ,rttt= = ，奇点；2(1 )1drrrdtddt= =Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）注：1r =孤立的周期闭轨 称为极限环Ordinary Differential Equations Chapter 61r =1R2ROrdinary Differential Equations（ 2013
3、-2014（1 ）(, )(, )dxf x ydtdyg x ydt=设是系统的一个极限环,如果存在着的一个邻域，使从此邻域内出发的其它解均正向 ()t +趋近于，则称为稳定的极限环 。 Ordinary Differential Equations Chapter 6如果其它解均负向趋近于，()t 则称为 不稳定的极限环。如果从的邻域出发的其它轨线在的一侧正向趋近于，另一侧负向趋近于， 则称此为 半稳定的极限环 。Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）定理 8 Poincare-Bendixson环域定理设区域是由两条简单闭曲线围成的G
4、12,ll环形域并且满足下面条件 :(1) 及其边界上不含奇点 ;G12,ll(2) 从 G的边界上各点出发的轨线都不能12,ll离开 (或进入 ) ;G(3) 均不是闭轨线 .12,ll则在内至少存在一个外稳定闭轨和一个内G稳定闭轨 (一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨 )，如果闭轨是惟一的 ,则它一定是一条 稳定的(不稳定的 )极限环 。Ordinary Differential Equations Chapter 6Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）定理 9 设系统(, )(, )dxf x ydtdyg x ydt=的右端函数
5、，在某个单连域内(, )f x y(, )gxyD连续可微 ,并且(, ) (, )f x ygx yxy +在内不变号 ,且在的任何子域内不恒为零，D D则方程组(, )(, )dxf x ydtdyg x ydt=在内不存在任何闭轨线 。DOrdinary Differential Equations Chapter 6Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）定理 9 对于方程组(, )(, )dxf xydtdygxydt=若在某个单连域内存在一个连续可微函数D(, ),B x y使得() ()BfBgxy +不变号 , 且在的任何子域
6、中不恒为零，D则方程组不存在全部位于内的闭轨线。DOrdinary Differential Equations Chapter 6Dulac函数*Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）定理 9 如果沿着系统(, )(, )dxf xydtdygxydt=的极限环有0( (), () ( (), ()( ) 0( 0)Tfxt yt gxt ytdtxy+ Ordinary Differential Equations Chapter 6Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）目录 上页
7、下页 返回 结束对有22cos ,2sin ,x ty t=2T =200()0.14(85)Tfgdt dtxy+=2.4 0=0x 时，,() ;()x Fx Fx 有唯一的正零点 ;,().xaxaFx= /则方程有唯一周期解，即方程组有一个稳定的极限环。Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）例 2 证明平面二次系统2(1 )dxy mxy nydtdyxaxdt= + +=+(1)当时无闭轨线。0mn 证明由系统的第一个方程得到21xmdxnydt=故轨线与直线相交时只能从它的一侧走向1xm=Ordinary Differentia
8、l Equations Chapter 6Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）另一侧 ,因此系统若有闭轨线 .它只能位于直线1xm=的一侧 ,在这一侧取 Dulac函数1(, )1Bxymx=容易算出22() ()(1 )mnyBf Bgxy mx+= 当时它是常号且当仅且当时为0mn0y =零，故不是系统的轨线。0y =系统 (1)当时不存在闭轨。0mnOrdinary Differential Equations Chapter 6所以由定理 9 知 :*Ordinary Differential Equations（ 2013-20
9、14（1 ）6.4.2 平面图貌(, )(, )dxX xydtdyYxydt=(, ) 0X xy=垂直等倾线(, ) 0Yxy=水平等倾线交点为奇点两曲线划分区域内的(,)dx dydt dt为( , ),( , ),( , ),( , )+ +Ordinary Differential Equations Chapter 6Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）例 考虑两种群的 Volterra模型：(1 ), 0(1 )dxrx ax bydtrasddysy cx dydt=（1 ）0, 0bc竞争模型（ 2）0, 0 0, 0bc bc或捕食者 -食饵模型（ 3） 0, 0bcy种群趋于定量， x种群趋于灭绝Ordinary Differential Equations Chapter 6Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）(+,+)(+,-)A0Dxy(4) ,acbd(+,-)x种群和 y种群以一定量共存EOrdinary Differential Equations Chapter 6Ordinary Differential Equations（ 2013-2014（1 ）
