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类型数值分析作业答案(第7章part2).doc

  • 上传人:精品资料
  • 文档编号:10795028
  • 上传时间:2020-01-10
  • 格式:DOC
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    数值分析作业答案(第7章part2).doc
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    1、7.2.为求方程 在 附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并0123x5.x建立相应的迭代公式。(1). ,迭代公式 ;2/21/kkx(2). ,迭代公式 ;13x3x(3). ,迭代公式 。2/1kk试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解 考虑 的领域 。5.10x6.,3(1).当 时,6,3, ,故迭代.1,)(2x 190.3.12)( Lx在 上整体收敛。21kk6.,3(2).当 时, ,.,x6.1,31)(/2x,5.0).(63)1(32) 3/2/2 L故迭代 在 上整体收敛。kkx1,(3).当 时, , ,故迭代6.1,3)(

    2、x 1)6.(2)1() /3x发散。/1kkx7.4.给定函数 ,设对一切 , 存在且 ,证明对于范围)(xfx)(f Mxfm)(0内的任意定数 ,迭代过程 均收敛于 的根 。M/201k 0)(xf*证明 由于 ,故 )(xf为单调函数因此方程 0)(xf的根 是唯一的。0)(xf *迭代函数 , 。由 及1)(Mxfm)(,得:M/20 2)(0Mxfm11m故 ,ax)( Lx因此可得0*0*1* xkkk )(k即 。limxk7.8.分别用二分法和牛顿法求 的最小正根。0tanx解 显然 满足方程。另外,当 较小时, ,故当0*x 1231tankxx时, ,因此方程 的最小正根

    3、应在 。2,xtan0tx ,记 , ,由 ,xft)(23,0842.)(f,知 是 的有根区间。026.4.f 6.4,0xf对于二分法,计算结果见下表。 kkakbkx的符号)(kxf0 4.0 4.6 4.3 +1 4.3 4.6 4.45 +2 4.45 4.6 4.525 -3 4.45 4.525 4.487 5 +4 4.487 5 4.525 4.506 25 -5 4.487 5 4.506 25 4.496 875 -6 4.487 5 4.496 875 4.492 187 5 +7 4.492 187 5 4.496 875 4.494 531 25 -8 4.492

    4、 187 5 4.494 531 25 4.493 359 375 +9 4.493 359 375 4.494 531 25 4.493 445 313 -此时 。310*924x若用牛顿法,由于 , ,故取0)(tan)2xf 0cos1tan2)( 2xxf,迭代结果见下表。6.40xkkxkkxkkx1 4.545 732 122 3 4.494 171 63 5 4.493 409 4582 4.506 145 588 4 4.493 412 197 6 4.493 409 458所以 的最小正根为 。0tanx5809.*x7.9.研究求 的牛顿公式,kkxax210证明对一切 且序列 是递减的。kk,21 ,21证明 牛顿迭代公式为,kkxax21因为 ,所以 ,且0xkx),(。axxakkk 2121又因为,1221axkk因而 ,即对一切 ,且序列 是递减的。kx1 , ,21x7.12.应用牛顿法于方程 ,导出求立方根 的迭代公式,并讨论其收敛性。03ax3a解 ,故 , ,牛顿法迭代公式为axf3)( 23)(xfxf6)(, 。2321)( kkkk af ,10当 时, 为 的单根,此时,牛顿法在 附近是平方收敛的。0a30x*x当 时,迭代公式退化为,kkx321因而 ,即迭代公式收敛。0kx

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