1、1卷六一填空题（每小题 4 分，共 40 分。请将答案写在答题纸上）1已知 ， 则 的系数为 。2设 A 为四阶方阵，且 。若将 A 按列分块为 ，则。3设 ， 。4设 ， 是 中元素 的代数余子式，则 。5设 都是 n 阶方阵，且 ，则 。6设矩阵 ，则 。7已知向量组 的秩为 2，则 。8设线性方程组 有惟一解，则 应满足的条件为 。9设 4 阶矩阵 B 与 A 相似，且 A 的特征值为 ，则 。10设矩阵 的秩 ，则 。二 （10 分）已知，2，问 a 为何值时， 可由向量组 唯一地线性表出，并写出该表出式。三 （10 分）设矩阵 满足关系式 ，其中 ，E 为 3 阶单位矩阵， 为 A
2、的伴随矩阵，求矩阵 B。四 （10 分）已知三阶矩阵 A 的特征值为 ，且 ，求 B 的矩阵多项式 的行列式。五 （12 分）问当 取何值时，线性方程组有惟一解、无解、无穷多解、并在方程组有无穷多解时求出其通解。六 （10 分）已知实对称矩阵 ，求一个正交矩阵 P，使 为对角矩阵。七、 （8 分）设 ，其中 E 是 n 阶单位方阵， 是 n 维非零列向量，证明（1）的充分必要条件是 ；（2）当 时，A 是不可逆矩阵。3参考答案一填空题（每小题 4 分，共 40 分。请将答案写在答题纸上）1已知 ， 则 的系数为 。2设 A 为四阶方阵，且 。若将 A 按列分块为 ，则。3设 ， 。4设 ， 是
3、 中元素 的代数余子式，则 0。5设 都是 n 阶方阵，且 ，则 。6设矩阵 ，则 。7已知向量组 的秩为 2，则 3 。8设线性方程组 有惟一解，则 应满足的条件为 。9设 4 阶矩阵 B 与 A 相似，且 A 的特征值为 ，则 。10设矩阵 的秩 ，则 。二 （10 分）已知，4，问 a 为何值时， 可由向量组 唯一地线性表出，并写出该表出式。解 当 即 时， 可由向量组 惟一地线性表出。这时有于是 三 （10 分）设矩阵 满足关系式 ，其中 ，E 为 3 阶单位矩阵， 为 A 的伴随矩阵，求矩阵 B。解 由 ，及 。可得。 又由 ，推知。 而5故 四 （10 分）已知三阶矩阵 A 的特征
4、值为 ，且 ，求 B 的矩阵多项式 的行列式。解 B 的特征值为由于 ，有 ，故 的特征值为：故 五 （12 分）问当 取何值时，线性方程组有惟一解、无解、无穷多解、并在方程组有无穷多解时求出其通解。解 方程组的系数行列式为：当 且 时， 由克拉默法则知方程组有惟一解；当 时，方程组的增广矩阵为，因为 ，所以方程组无解；当 时，方程组的增广矩阵为6，因为 ，所以方程组为无穷多解，其同解方程组为，通解为 为任意常数。六 （10 分）已知实对称矩阵 ，求一个正交矩阵 P，使 为对角矩阵。解 矩阵 A 特征值为：当 时，由 解得特征向量为 ；当 时，由 解得特征向量为 。将 正交化得： ；， 再将 单位化得，7令 ，则 P 是正交矩阵，且满足七、 （8 分）设 ，其中 E 是 n 阶单位方阵， 是 n 维非零列向量，证明（1）的充分必要条件是 ；（2）当 时，A 是不可逆矩阵。证明 （1）由于因此，若 ，则 ，即 ，反之，若 ，则（2）当 时，由（1）有 。因此，若 A 可逆，则得，另一方面，有从而有 ，故此时 。这与 为非零向量矛盾，所以 A 不可逆。
