1、16级微分几何出题人:徐泽编辑:胡不归1. (i).叙述曲面S上的曲线基本定理.(ii).用外微分法叙述曲面S的结构方程.2.曲线r(t)的参数方程为: r(t) = (2018 3sint;2019 + 3cost;4t).(i).求曲线的弧长函数,与弧长参数表达式.(ii).求曲率、挠率、Frenet标架.3.曲面S的参数方程为: r = r(u;v) = (u;v + cosu; u22 ).(i).求曲面的第一、二基本形式.(ii).求平均曲率H和Gauss曲率K.4.曲面S的参数方程为: r = r(u;v) = (u; 12u2 + v;F(u) + G(v).若曲面的Gauss曲
2、率恒为0,求证曲面是柱面.5.曲面S的参数方程为: r = r( ; ) = ( cos ; sin ;cosh 1 ),其中 1;0 2 .求曲面上的测地线.6.曲面S上有一点非脐点P,该点处曲面的主曲率为 1(P); 2(P),且满足:(1) 1(P) 2(P)(2)在局部上, 1(P)是极大值, 2(P)是极小值.求证:在P点曲面的Gauss曲率K(P) 0.7. (i).非平面的曲面S上的每一条测地线都是平面曲线,求证: S是球面.(ii).假定 是Sine-Gordon方程 uu vv = 0的解,且k是一个任意给定的正常数.求证:在欧氏空间E3中必有一个负常Gauss曲率K = k2的曲面, 是该曲面每一点渐近方向的夹角.1
