1、计算方法复习,1. 来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型模型误差通过测量得到模型中参数的值 观测误差求近似解 方法误差(截断误差）机器字长有限 舍入误差,第1章 绪论,2. 传播与积累,误差,第2章 非线性方程求根,1 多项式基础 2 二分法 3 迭代法迭代法的几何意义 Aitken 加速： 4 牛顿法 5 迭代法的收敛阶,求方程x3-2x-5=0的近似解，精确到0.001。,例1：用二分法,解：f(x)= x3-2x-5，=0.001，因为f(2)=-10， 故方程在区间2,3上有根。又：,所以x*x9=2.0947265，而精确值为 2.0945515.,误差为0.00017506。,取
2、n=9，将计算结果列表如下：,例2：用迭代法,解：因为f(1)=10、f(2)=-lg20，在区间(1,2)内有根。将方程变形为x =2-lgx，即(x) =2-lgx ，而：在(1,2)内，所以迭代是收敛的。,求方程2-lgx-x=0的根，精确到0.001。,则：,取x0 =1，,例3:,3.1 高斯消元法 用高斯消去法解方程组 用列主元消去法解方程组 用全主元消去法解方程组 高斯-约当消去法3.2 三角分解法 Doolittle分解法 LU 分解的紧凑格式,第3章 解线性方程组的直接法,例4：用高斯消去法解方程组,做回代过程有：,解,对(A,b)做选主元及消去过程,由同解方程 ，回代过程有
3、：,例5：用列主元消去法解方程组,解,解：,对于k=1，有,例6：用Doolittle分解求解方程组,对于k=3，有,对于k=2，有,于是,第4章 解线性方程组的迭代法,1 向量和矩阵范数 向量范数 矩阵范数2 线性方程组的误差分析 条件数3 Jacobi法和 Gauss-Seidel法 Jacobi迭代 Gauss - Seidel 迭代法,例7: 计算 的三种范数,解：,解：,例8: 计算 的三种范数,解：方程组的迭代格式为,或,例9：用雅可比方法解下列方程组,x(0)=(1,1,1)T,取初始值x(0)=(1,1,1)T，计算结果如下表,解：方程组的迭代格式为,例10：用高斯-赛德尔法解
4、下列方程组,取初始值x(0)=(1, 1, 1)T，计算结果如下表,第6章 插值,1 插值多项式 拉格朗日多项式 牛顿插值差商 3 分段低次插值 分段线性插值,例11:,解：设,则:,故:,例12:,第8章 数值积分,1 Newton-Cotes 公式 代数精度 2 复合求积3 龙贝格积分,例15，有积分公式:,求该积分公式的代数精确度。,对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的； 至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立； 故该求积公式的代数精确度为1。,解：取f(x)=1，,取f(x)=x ，,取f(x)=x2 ，,=,=,精确解 ： 0.9460831,积分的准确值为 0.946083070367,第9章 常微分方程数值解,2 欧拉方法 欧拉公式 改进欧拉法3 龙格 - 库塔法,例18：用欧拉法求,解：,h=0.2,例19：用改进的欧拉法求,解：可以预测校正方法来求：,
