1、西方经济学微观第2章 1,陕西科技大学理学院,第二章 基本数学方法,数理金融,数学方法的基本应用原理和应用技巧,一、函数和微积分的应用 二、线性代数的应用 三、随机过程的应用,数理金融第2章 2,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,一、数理金融中的指数和对数函数,（一）连续复利和实际利率,给定本金P，每年以利率i计算复利一次，t年后终值F为：,主要学习函数和微积分在利率分析、边际分析、银行按揭贷款 等方面的应用,如果每年计算复利m次，t年后终值为：,数理金融第2章 3,陕西科技大学理学院,如果利率为100%，一年内连续计算复利，终值为：,对于非100%的利率r，及非一年的时期t，终
2、值为：,对于负增长率，如折旧或贬值，公式中的i或r为负数。,例：求100元本金，以10%复利两年的终值。 （1）每年计算复利一次（2）半年计算复利一次 （3）连续复利计算,第一节 函数和微积分的应用,数理金融第2章 4,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,（二）实际利率与名义利率,相同的本金及相同的名义利率但终值不同，即实际利率不同,实际利率记为：ie，则,可得：,若为连续复利，m，有：,例：计算上例中三种情况的实际利率,数理金融第2章 5,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,（三）银行按揭贷款,先在银行贷款，然后分期还款；有等额偿还和等本金偿还。 银行按揭可归纳为数学
3、问题：贷款P元，年利率r，分n期等额 偿还，每期应还多少？,一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r，月息为i=r/12，设每期偿还A元，则n期还款折现的总和应等于贷款总和， 有现值公式知：,上式又成为资金还原公式，后一个表达式成为资金还原系数 常用（A/P，i，n）表示，可查福利表计算,数理金融第2章 6,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,例：某人贷款金额为20万元，年利息为6%，计划办理5年银行按揭，每个月月末影响银行还款多少？,问题（1）还款总数为多少？（2）所付利息总额为多少？（3）若为月初还款，如何计算？（4）若遇到利息调整，如何计算？,数理金融第2章 7,陕西科技大学理
4、学院,第一节 函数和微积分的应用,（四）分期付款,（1）成交时取货，企业需计算现值 （2）货款付清后取货，消费者计算终值 （3）向银行借款购买商品，以后分期偿还 （4）分期付款在半途变更付款条件,例：汽车每辆销售价100000元，成交时付款34000元，其余的分11个月付款，即每月6000元，试以月息0.42%求其现值。,数理金融第2章 8,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,（五）银行贴现,企业间存在商业信用，企业可以签发远期汇票，当未到期汇票 的持有者向银行要求兑现，就需要计算贴息额和兑现额,设票面金额为S，离到期时间为n天，日息为R，则应的兑现额：,银行实际业务贴付利息和实得
5、兑现额为：,数理金融第2章 9,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,例：面值5000元的汇票，20天后到期，银行月息为0.6%， 求贴息额与兑现额,应得兑现额是4980.08 应贴利息：19.92 实贴利息：20 实际兑现额：4980,数理金融第2章 10,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,（六）利用指数、对数函数计算时间最优问题,例：为投资买入的土地以下面的公式增值：,在连续复利下贴现率为0.09，为使土地的现值最大，应持有多久？,求解此问题的关键是求出现值P。,数理金融第2章 11,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,二、数理金融中微分方法的应用,（一
6、）边际效用函数分析,例：已知总成本函数TC=Q3-18Q2+750Q，利用微分知识做出 总成本、平均成本和边际成本三者关系的图形。,（二）经济函数最优化,例：已知一个企业的总收益水平是R=4000Q-33Q2，总成本函数C=2Q3-3Q2+400Q+500，设Q0，求最大利润,数理金融第2章 12,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,（三）划拨价格的决定机制,假定某跨国公司由三个部门组成，两个上游部门，一个下游部门。 两个上游部门的产量为Q1和Q2，相应成本为C1和C2，下游部门 的产量为Q，Q=f（K，L， Q1，Q2 ），公司除了上游部门的成本 外，还有下游部门的成本Cd（Q）
7、；两个上游部门生产的中间产品 的划拨价格分别为P1和P2，下游部门的销售收入为R；当三个部门 各自达到利润最大化时，公司的利润最大化。,设该企业的总利润为,求其最大值,数理金融第2章 13,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,利用多元函数求极值：,为了使 母公司 利润最 大化,数理金融第2章 14,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,两个上游部门的利润分别为,利润最大化,因此划拨价格制定的条件是：,数理金融第2章 15,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,例：某生产赛车的跨国公司有两个部门组成，上游生产引擎 下游组装赛车。该车需求曲线为：P=20000-Q。
8、已知上游部门 的成本是CE=2QE2，下游部门的成本为CA=8000Q，求引擎的 划拨价格PE，赛车的产量Q，引擎的产量QE和赛车的价格PA？,数理金融第2章 16,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,三、数理金融中积分方法的应用,（一）净投资时间积分的测度（连续变换）,净投资I定义为时间t内资本存量构成K的变化率,例如：,数理金融第2章 17,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,例：给定净投资率 ，且当t=0时初始资本存量为150， 求资本函数。,例：边际储蓄倾向 ，当收入是25时，储蓄减少3.5， 既当Y=25时，s=-3.5，求储蓄函数。,（二）消费者剩余和生产剩
9、余的测度（略）,数理金融第2章 18,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,四、数理金融中微分方程和差分方程的应用,（一）运用微分方程决定动态平衡点,微分方程可用与决定市场均衡模型的动态平衡，它描述出在 不同的宏观经济条件下，价格增长的时间路径，也可以估计 资本函数，并根据边际成本和边际收入函数估计总收益函数,例：,假定市场中价格的变化率dP/dt是正的，它是关于超额需求Qd-Qs的线性函数。,分析在什么条件下，当t时，P(t)将趋近与上式均衡价格, 这个条件就是市场上的动态价格稳定的条件。,数理金融第2章 19,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,只要hb，拥有正斜率需
10、求函数或负斜率供给函数的市场 也将是动态稳定的。,数理金融第2章 20,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,（二）运用可分离变量微分方程求投资函数,投资的变化率将影响经济的总需求和生产能力，运用微分方程 寻找经济增长的时间路径，并沿该路径增长,例：若边际储蓄倾向和边际资本产出变化率K都是常数， 计算可达到预期增长所需的投资函数。,总体需求的变化等于投资的变化乘以1/s，,生产能力的变化等于资本存量的变换乘以边际资本产出 比率的倒数,数理金融第2章 21,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,当生产力充分利用时,投资量必须以由s/K决定的常数比率即储蓄率与资本产出 率之比增
11、长,数理金融第2章 22,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,（三）运用差分方程制定滞后收入决定模型,差分方程表示的是因变量和滞后的自变量之间的关系，这些 变量在离散的时间区间内变化。假定消费量是前一期收入的 函数，那么,数理金融第2章 23,陕西科技大学理学院,第一节 函数和微积分的应用,因为边际消费倾向c不等于1，并且假设t=0时，假定Yt=Y0，,那么这条时间路径的稳定性取决于c，因为 时间路径将收敛。因为c0，所以非振荡，均衡是稳定的，并且当t时， 这时收入的暂时均衡。,例：给出,数理金融第2章 24,陕西科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,一、数理金融中矩阵的应用,矩
12、阵是数、参数或变量的矩阵排列，通过矩阵的加减乘除运算 以及矩阵转置、逆矩阵的相互关系，可以求解线性方程组。解 决相关计算问题。,（一）市场均衡水平分析（ISLM分析）,IS是表示商品市场均衡的利率和收入水平的不同组合的点的 轨迹；LM是表示货币市场均衡的利率和收入水平的不同点的 组合轨迹。ISLM分析试图找到使商品市场和货币市场都处 于均衡状态的收入和利率水平，可通过方程组完成,例：对于一个二部门经济，当Y=C+I，商品市场是均衡的， 当货币供给（Ms）等于货币需求（Md）时，货币市场是均 衡的，货币需求依次有货币的预备交易需求（Mt）和特殊 需求（Mz）组成，假设,数理金融第2章 25,陕西
13、科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,（二）证券组合收益率和风险的测度,在证券组合分析中，证券的种类繁多，需要运用矩阵方法测度 多种证券组合的收益率和风险。,例：某证券组合有一个风险证券组合和一个无风险证券组合 构成，风险证券组合中包括两个证券A、B，他们的预期收益 率分别为10%和8%，证券A和B的方差为 协方差为 ，两种证券权重均为0.5，无风险证券的预 期收益率为5%，在证券组合中的权重为0.25，要求计算该证券 组合的总预期收益率和风险,数理金融第2章 26,陕西科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,二、特殊行列式和矩阵在数理金融中的应用,（一）雅克比行列式|J|,雅克比行列式既可
14、以用来检测线性函数的相关性，也可以检验 非线性函数的相关性。雅克比行列式|J|是由方程的所有一阶偏 导数按一定顺序排列组成的，已知,数理金融第2章 27,陕西科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,例：已知利用雅可比行列式判断其函数相关性。,数理金融第2章 28,陕西科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,（二）海赛行列式|H|,海赛行列式|H|是由所有的二阶偏导数构成的，其中二阶直接 偏导数位于主对角线上，交叉偏导数位于非对角线的位置。 利用海赛行列式，可以方便地检验二阶条件。,若|H1|0， |H2|0，此时|H|被称为正定的，完全能胜任极小 值的二阶条件的角色。,若|H1|0，此时|H|
15、被称为负定的，完全能胜任极大 值的二阶条件的角色。,数理金融第2章 29,陕西科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,例：,数理金融第2章 30,陕西科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,（三）最优化问题中的海赛行列式,以三元函数为例,若|H1|0， |H2|0， |H3|0，此时|H|被称为正定的，完全能胜 任极小值的二阶条件的角色。,数理金融第2章 31,陕西科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,若|H1|0， |H3|0，此时|H|被称为负定的，完全能 胜任极大值的二阶条件的角色。,更高阶的海赛行列式有类似的结论：如果|H|的所有主子式为 正，则为正定，满足极小值的二阶条件；若所有主子式的符 号在负与正之间交替出现，则为负定，满足极大值的二阶条 件成立。,例：最优化函数为,利用海赛行列式检验二阶条件,数理金融第2章 32,陕西科技大学理学院,第二节 线性代数的应用,例：,数理金融第2章 33,陕西科技大学理学院,第三节 随机过程的应用,略,
