1、试卷第 1 页 共 8 页福州地区重点中学 2015-2016 学年第一学期期末联考高二数学( 文科)试题完卷时间：120 分钟 满分：150 分第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1命题“存在 x0R, 2x00”的否定是 ( )A不存在 x0R,2x 00 B存在 x0R, 2x00 C对任意的 xR, 2x 0 D对任意的 xR,2x022x 25x30 的一个必要不充分条件是 （ ）A x3 B x 0 C3x D1x612123抛物线的准线方程是 ，则抛物线的标准方程是（ ）
2、yA B C D2=42=-4y2=4y2=-4yx4曲线 yx 31 在点(1,0)处的切线方程为( )A3xy30 B3x y30C3x y0 D3xy305已知命题：“若曲线 为椭圆，则 ”则原命题、逆命题、否命题、逆否21xymnmn命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D46已知椭圆 比椭圆 的形状更圆，则 的离心率的取值范围是（ ）1C2:6xy1A B C D02e30e2e31e7函数 f(x)x 2alnx 在 x1 处取得极值，则 a 等于( )A2 B2 C4 D4试卷第 2 页 共 8 页8设 p： ，q：函数 y(3x 2)ex 的单调递增区是(3,
3、1)，则 p 与 q 的21(3xln )6x+3复合命题的真假是( )A “pq”假 B “pq”真 C “q”真 D “pq”真9若椭圆 1(ab0)的离心率为 ，则双曲线 1 的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 32 x2a2 y2b2Ay x By 2x12Cy 4x Dy x1410如图所示是 yf( x)的导数图像，则正确的判断是( )f(x)在(3, )上是增函数；x1 是 f(x)的极大值点；x4 是 f(x)的极小值点；f(x)在( ,-1)上是减函数A B C D11设 F1、F 2 是双曲线 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上， F 1PF290 ，若 Rtx24a
4、y2aF1PF2 的面积是 1，则 a 的值是( )A1 B. C2 D.52 512已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，以它的短轴为直径作圆 若点 是214xy1F2 OP上的动点，则 的值是 ( ) O221PFA B C D与点 的位置有关864P第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13椭圆 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 3，那么点 P 到另一个焦点的距1962yx试卷第 3 页 共 8 页离等于 .14一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面 3m，水面宽 2 m，当水面上升 1m 后，水6面宽_m.15函数 为 R
5、 上的减函数的 a 的范围为 cosyax16以下四个命题：若函数 (xR)有大于零的极值点，则实数 m1；xem若抛物线 上一点 M 到焦点的距离为 3，则点 M 到 轴的距离为 2；24y x方程 2x25x20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；已知函数 abxaf 7)(223在 1x处取得极大值 10，则 ba的值为 2或 3.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号) 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本题满分 10 分) 已知双曲线的离心率等于 2，且与椭圆 有相同的焦点，求此2159xy双曲线方程及其渐近线方程
6、18(本题满分 12 分)已知 ， : , : 0mp260xq2mx（1）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围；pq（2）若 ， “ 或 ”为真命题， “ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围519. (本题满分 12 分)过抛物线 x22y 的顶点 O 作两条相互垂直的弦 OP 和 OQ，求证：直线PQ 恒过一个定点20. (本题满分 12 分) 某公司决定采用技术改造和投放广告两项措施来获得更大的收益通过对市场的预测，当对两项投入都不大于 3(百万元) 时，每投入 x(百万元) 技术改造费，增加的销售额 y1 满足 y1 x3 2x25x(百万元) ；每投入 x(百万元) 广告费用，增加
7、的销售额13y2 满足 y22x 214x(百万元) 现该公司准备共投入 3(百万元) ，分别用于技术改造投入和试卷第 4 页 共 8 页广告投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益(注：收益销售额投入，答案数据精确到 0.01)(参考数据： 1.414， 1.732)2 321(本题满分 12 分) 设函数 ()fx1banx ，满足 在,aR()fx处取得极值.12x和(1)求 a、 b的值；（2） 的最小值。 0 0,()4xfxcc若 存 在 使 得 不 等 式 成 立 ， 求 实 数（参考数据 ）ln2.69322. (本题满分 12 分) 已知椭圆 G： 1(ab0)的
8、离心率为 ，右焦点为(2 ，0)斜率x2a2 y2b2 63 2为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3,2)（1）求椭圆 G 的方程；（2）求 PAB 的面积 2015-2016 学年第一学期八县（市）一中期末联考高二数学(文科)答案一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）DDABA ABDAC AA二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.5 14 4 15. 16 1a三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证
9、明过程或演算步骤）17. 解： 椭圆 的焦点坐标为（4，0）和（4，0） ，2 分2159xy则可设双曲线方程为 （ a0， b0） ，2ab c4，又双曲线的离心率等于 2，即 ， a24 分c试卷第 5 页 共 8 页 12 6 分；22bca故所求双曲线方程为 8 分214xy渐近线方程为： 10 分318 （本小题满分 12 分）解：（I） 是 的充分条件 是 的子集2:26pxpq2,6,2m分的取值范围是 6 分0426mm4,（）由题意可知 一真一假，8 分,pq当 时， ，5:37x真 假时，由pq26x或假 真时，由 326737xx或 或所以实数 的取值范围是 12 分,2
10、,19.（本小题满分 12 分）试卷第 6 页 共 8 页222220.1120,0(,6(-,)OPQykxykxxkykPQk解 ： 由 已 知 直 线 、 斜 率 存 在 且 不 为 分可 设 直 线 、 为 和 分消 得解 得 舍 去 ） 或即 点 坐 标 为 分同 理 可 得 ： 点 坐 标 为 81100,0,22yxxP分直 线 方 程 为 :分令 则 恒 等 于直 线 必 过 定 点 （ ） 分*其他解法，酌情给分20 （本小题满分 12 分） 解：设 3 百万元中技术改造投入为 x(百万元)，广告费投入为 3 x(百万元)，1分则广告收入带来的销售额增加值为2(3 x)214
11、(3 x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为 x32 x25 x(百万元)，3 分13所以，投入带来的收益 F(x)2(3 x)214(3 x) x32 x25 x-3.13整理上式得 F(x) x33 x21，6 分13因为 F( x) x23，令 F( x)0，解得 x 或 x (舍去)，3 3当 x0， )， F( x)0，当 x( ，3时， F( x)0，10 分3 3所以， x 1.73 时， F(x)取得最大值11 分3所以，当该公司用于广告投入 1.27(百万元)，用于技术改造投入 1.73(百万元)时，公司将获得最大收益12 分21.（本小题满分 12 分）解：（1）
12、 （1） ()21bfxanx，2()bfxax。2 分,在 处取得极值，试卷第 7 页 共 8 页1()0,()2ff3 分即134aabb解 得1,3所 求 、 的 值 分 别 为 -5 分（2）在 1,4ox存 在 使 得 不 等 式 min()0()ofxccfx成 立 ， 只 需 ，6 分由 2()3f22(1)3x，,()0,xfx当 时 ， 故 (),fx在 是 单 调 递 减4；当 12时 ， ， 故 12在 是 单 调 递 增 ;,()f当 时 ， ， 故 (),f在 是 单 调 递 减 ; (),4fx是 在 上 的 极 小 值.8 分11223n 7()126fn，且 1
13、0 分()l0f min()xf， minlcfx7712,)12.66cnn的 取 值 范 围 为 所 以 的 最 小 值 为 12 分22.（本小题满分 12 分）解 (1)由已知得 c2 ， .2ca 63解得 a2 ，又 b2 a2 c24. 3所以椭圆 G 的方程为 1. 4 分x212 y24(2)设直线 l 的方程为 y x m.由Error!，得 4x26 mx3 m2120.6 分设 A、 B 的坐标分别为( x1， y1)、( x2， y2) (x1x2)， AB 中点为 E(x0， y0)，则 x0 ，x1 x22 3m4y0 x0 m ；m4试卷第 8 页 共 8 页因为 AB 是等腰 PAB 的底边，所以 PE AB.所以 PE 的斜率 k 1.2 m4 3 3m4解得 m2. 10 分此时方程为 4x212 x0.解得 x13， x20.所以 y11， y22.所以 AB3 .此时，点 P(3,2)到直线 AB： x y20 的距离2d ，| 3 2 2|2 322所以 PAB 的面积 S ABd .12 分12 92
