1、数学与计算科学学院实 验 报 告实验项目名称 常微分方程数值解 所属课程名称 数值方法 B 实 验 类 型 验证 实 验 日 期 2013.11.11 班 级 学 号 姓 名 成 绩 1一、实验概述：【实验目的】1.掌握求解常微分方程的欧拉法；2.掌握求解常微分方程的预估校正法；3.掌握求解常微分方程的经典的四阶龙格库塔法；4.能用 C 语言或 MATLAB 将上述三种算法用程序运行出来；5.将算法实例化，并得出三种算法的相关关系，如收敛性、精度等；6.附带书中例题的源程序见附录 1。【实验原理】1欧拉格式（1）显式欧拉格式： 1(,)nnyhfxy局部截断误差：2221()()n nhxyx
2、oh（2）隐式欧拉格式： 11(,)nnyhfx局部截断误差：221()()nnxyoh2预估校正法预估： 1(,)nnyhfxy校正： 1(,)2nfxy统一格式： 1(,(,)n nnyfhyfx 2平均化格式： 11(,)().2pnncpncyhfxy3四阶龙格库塔方法的格式（经典格式） 11234213243(),6,)(,),(.nnnhyKfxyhfxyKhK【实验环境】1.硬件环境：HPMicrosoft76481-640-8834005-23929HP CorporationIntel(R) Core(TM)I5-2400 CPU 3.10GHz3.09GHz,3.16GB的
3、内存2.软件环境：Microsoft Windows XPProfessional版本 2002Service Pack 3二、实验内容：【实验方案】3方案一：用欧拉法，预估校正法，经典的四阶龙格库塔方法求解下列 ODE 问题：例题：在区间【0，1】上以 h=0.1 用欧拉法，预估校正法,经典的四阶龙格库塔法求解微分方程 dy/dx=-y+x+1，初值 y（0）=1；其精确解为 y=x+exp(-x),且将计算结果与精确解进行比较，对三个算法的收敛性的进行分析比较。方案二：用欧拉法，预估校正法, 经典的四阶龙格库塔方法求解初值问题 dy/dx= ，初值 y（0）=1； 将计算结果与精确解为 比
4、较在区间xe 21()xe0,1上分别取步长 h=0.1; 0.05 时进行计算。对三个算法的收敛性进行分析比较，【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）注：以下图形是通过 Excel 表格处理数据得出，并未通过 MATLAB 编程序所得！1、 1(0)dyx由题可知精确解为： ，当 x=0 时，y(x)=0。xyeh=0.1表 1 h=0.1 时三个方法与精确值的真值表步长 Euler 法 预估校正法 经典四阶库 精确值0.1 1.010000 1.005000 1.004838 1.2490800.2 1.029000 1.019025 1.018731 1.0554550.3 1.05
5、6100 1.041218 1.040818 1.0912170.4 1.090490 1.070802 1.070320 1.1318030.5 1.131441 1.107076 1.106531 1.1768510.6 1.178297 1.149404 1.148812 1.2260250.7 1.230467 1.197211 1.196586 1.2790160.8 1.287421 1.249975 1.249329 1.3355364图 1 h=0.1 时三个方法走势图h=0.05（此时将源程序中 i 的范围进行扩大，即 for(i=0;i#include main()int
6、i,p;float y0,x0,yi,xi,yp,xp,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,for(p=0;pmain()10int i,p;float y0,x0,yi,xi,yp,xp,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,for(i=1;imain()int i,t;float yi,xi,m,xp,n,yt,xt,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,printf(“t=0 x0=0.000000,y0=1.000000n“)；for(i=0;imain()int
7、i,t;float yi,xi,K1,K2,K3,K4,xp,yt,xt,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,printf(“t=0 x0=0.000000,y0=1.000000n“)；for(i=0;i#include #define e 2.182812main()int i,p;float y0,x0,yi,xi,yp,xp,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,for(p=0;pmain()int i,p;float y0,x0,yi,xi,yp,xp,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:
8、“);scanf(“%f“,for(i=1;imain()int i,t;float yi,xi,m,xp,n,yt,xt,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,printf(“t=0 x0=0.000000,y0=1.000000n“);for(i=0;imain()int i,t;float yi,xi,K1,K2,K3,K4,yt,xt,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,printf(“t=0 x0=0.000000,y0=1.000000n“);for(i=0;i#include #define e 2
9、.1828main()int i,p;float y0,x0,yi,xi,yp,xp,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,for(p=0;p#include #define e 2.1828main()int i,p;float y0,x0,yi,xi,yp,xp,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,printf(“i=0 x0=0.000000,y0=1.000000n“);for(i=1;i#include #define e 2.1828main()int i,t;float yi,xi,m,xp,n,y
10、t,xt,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,printf(“i=0 x0=0.000000,y0=1.000000n“);for(i=0;i#include #define e 2.1828main()int i,t;float yi,xi,K1,K2,K3,K4,yt,xt,h;xi=0.0;printf(“请输入步长 h:“);scanf(“%f“,for(i=0;i10;i+)t=i+1;printf(“t=%d “,t);if(i=0)xi=0.0;yi=1.0;K1=xi*pow(e,-xi)-yi;K2=(xi+h/2.0)*pow(e,
11、-(xi+h/2.0)-(yi+h*K1/2.0);K3=(xi+h/2.0)*pow(e,-(xi+h/2.0)-(yi+h*K2/2.0);K4=(xi+h)*pow(e,-(xi+h)-(yi+h*K3);yt=yi+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6.0;xt=xi+h;17xi+=h;yi=yt;printf(“x%d=%f,y%d=%fn“,t,xt,t,yt);附录 2：实验报告填写说明 1实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。2实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4实验环境：实验用的软、硬件环境。5实验
12、方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。6实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。7实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。8实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。9指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
