1、115 公因数与最大公因数（1）教学目标：1经历通过实际问题抽象、概括出概念的过程理解公因数和最大公因数的意义，会根据两个数的所有因数，找出它们的公因数和最大公因数2理解互素的意义，会判断两个数是不是互素3掌握用分解素因数求两个数的最大公因数的方法理解用短除法求最大公因数的算理，会用短除法求两个数的最大公因数教学重点和难点：求两个数的最大公因数的三种方法教学过程：教师活动 学生活动（预设） 教学设计意图一、情境引入：思考：植树节这天，老师带领 24 名女生和 32 名男生到植物园种树老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中的男生人数都相等，请问，这 56 名同学最多能分成几组？分析：
2、分成的组数能整除 24 和 32，也就是 24 和 32 的因数24 和 32 的因数有哪些？24 和 32 公有的因数有哪些？最大的一个公有的因数是几？56 名学生最多分几组？每组中男、女生各几名？24 的因数 32 的因数24 和 32 公有的因数二、新授：1. 公因数和最大公因数的概念几个数公有的因数叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数求两个数的最大公因数有哪些方法呢？24 的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；32 的因数有：1，2，4，8，16，3224 和 32 公有的因数有：1，2，4，8；最大一个公有的因数是 8最多分 8 组每组中分别有 3 名
3、女生和 4 名男生从情境中引出两个数的公因数和最大公因数，激发学生的兴趣学会有序分类先由学生归纳，老师再用规范语言进行总结引起学生的思考16 321 24 83 612 2422. 例题例题 1 求 18 和 30 的最大公因数方法一：我们可以把这两个数的公因数一一列举出来，再从公共的因数中找出最大公因数方法二：上述方法叫做列举法，我们有没有更快捷的方法呢？我们可以把 18 和 30分别分解素因数2 和 3 是 18 和 30 的公因数，对照方法一你能发现最大公因数 6 与 2 和 3之间存在什么样的关系吗?最大公因数 6 是 18 和 30 所有的素因数 2 和 3 的乘积，那么我们该怎样归
4、纳方法二呢？归纳：求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数方法三：上述方法叫做分解素因数法，能否边分解因数边找公有的素因数呢？（教师板书）解：2 18 30 （用公有的素因数 2 除）3 9 15 （用公有的素因数 3 除）3 5 （除到两个商互素为止）18 和 30 的最大公因数是 2 3=6例题 2 求 48 和 60 的最大公因数 （师生共同完成） （教师板书）18 的因数有：1，2，3，6，9，18；30 的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30；18 和 30 的公因数有：1，2，3，6；18 和 30 的最大公因数是 6方法二：把
5、18 和 30 分别分解素因数18= 2 3 330= 2 3 52 和 3 的乘积 6 就是 18 和 30 的最大公因数求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数解：2 48 60 2 24 30 3 12 15 4 548 和 60 的最大公因数是223=12提供三种解法，层层推进，让学生理解分解素因数方法的算理让学生理解共有素因数 2 和 3 的乘积就是最大公因数培养学生归纳、总结以及用规范的数学语言表达的能力强调在做短除法时，每次需用两数的公有素因数去除，直到两个商互素为止巩固用短除法求两个数的最大公因数33. 练一练（1）求 51 和 85
6、 的最大公因数51 可以怎样分解素因数？85 可以怎样分解素因数？归纳：如果不能马上找出两个数公有的素因数，可以使用分解素因数法（2）口答求 8 和 9 的所有公因数，并求它们的最大公因数4. 两个数互素的概念如果两个整数只有公因数 1，那么这两个数互素5. 议一议素数和互素有什么区别呢？两个不同的素数一定互素吗？如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数吗？在 1 和 2、1 和 9、1 和 30 这几对数中，哪几对是互素的？在 1 和 2、12 和 13、23 和 24 这几对数中，哪几对是互素的？在 3 和 5、7 和 13、17 和 11 这几对数中，哪几对是互素的？上述例子中，能归纳出
7、什么结论？归纳：以上结论有助于我们快速判断两个数是否互素，但除了以上情况外，还存在一些其他情况，如：9 和 16 等互素三、课堂练习： 组1指出下列哪组中的两个数互素？3 和 5；6 和 9；14 和 15；18 和12把适当的数填写在下面的圈内，并回答问题：24 的素因数 36 的素因数51= 3 1785= 5 1751 和 85 的最大公因数是 17解：8 的因数有：1，2，4，8；9 的因数有：1，3，98 和 9 只有一个公因数，因此 8 和 9的最大公因数 1素数是对一个数进行判断，而互素是两个数之间的关系一定；不一定都是都是都是1 和任何正整数都互素相邻的正整数互素两个素数一定互
8、素3 和 5；14 和 15；18 和 1解：24= 2 2 2 336= 2 2 3 324 的素因数 36 的素因数培养学生选择最优化的方法来提高运算速度和正确率教师点评，学生纠错巩固用列举法找最大公因数的方法，引出两个整数互素的概念概念辨析反馈、巩固通过观察，总结两个数互素的规律，培养学生用规范的数学语言的表达能力，增强概念的辨析能力复习巩固互素的概念反馈、巩固把 24 和 36 所有的素因数一一找出，并把公有的素因数填在两个圈的公共部分中32、2、32424 和 36 公有的素因数24 和 36 的最大公因数是 3. 求下列各组数的最大公因数（课本P18/3（1） （4） ）（1）12
9、 和 8； （2）45 和 60；B 组 ： *已知：A= 2 3 m，B= 2 3 7 m，当 m=_时，A、B 两数的最大公因数是 30. （补充）四、课堂小结：这节课你学到了什么？24 和 36 公有的素因数24 和 36 的最大公因数是 12 （1） 解法一：8 的因数有：1，2，4，8；12 的因数有：1，2，3，4,6,128 和 12 的公因数有：1，2，4；8 和 12 的最大公因数是 4解法二：12= 2 2 38= 2 2 212 和 8 的最大公因数是 4解法三：2 12 8 2 6 4 3 2 12 和 8 的最大公因数是2 2=4（2）解：解法一：45= 3 3 56
10、0= 2 2 3 545 和 60 的最大公因数是 15解法二：3 45 60 5 15 20 3 4 45 和 60 的最大公因数是 35=15解：A、B 两数的最大公因数=2 3 m6m=30m=51公因数和最大公因数；2两个数互素以及怎样的两个数一定互素；复习巩固求两个数的最大公因数的三种方法. 重点掌握用分解素因数求两个数的最大公因数的方法及用短除法求两个数的最大公因数巩固求最大公因数的方法，渗透方程思想.复习巩固，培养学生归纳总结的能力53求两个数的最大公因数的方法课后作业试 题 解 答 设计意图A 组：（练习册 P5/1、3）1 先分别把下面两个数分解素因数，再求它们的最大公因数1
11、2=_；30=_；12 和 30 的最大公因数是 解：12= 2 2 330=2 3 512 和 30 的最大公因数是 6巩固用分解素因数求两个数的最大公因数的方法2. 求下列各组数的最大公因数（1）4 和 6； （2）15 和 20；（3）18 和 20； （4）9 和 63；（5）21 和 35； （6）51 和 34；（1）解：解法一：4= 2 26= 2 34 和 6 的最大公因数是 2解法二：2 4 6 2 34 和 6 的最大公因数是 2（2）解：解法一：15= 3 520= 2 2 515 和 20 的最大公因数是 5解法二：5 15 20 3 4 15 和 20 的最大公因数
12、5（3）解：解法一：18=2 3 320= 2 2 518 和 20 的最大公因数巩固用分解素因数求两个数的最大公因数的方法及用短除法求两个数的最大公因数6是 2解法二：2 18 20 9 10 18 和 20 的最大公因数 2（4）解：解法一：9= 3 363= 3 3 79 和 63 的最大公因数是 9解法二：3 9 63 3 3 21 1 7 9 和 63 的最大公因数是33=9（5）解：解法一：21= 3 735= 5 721 和 35 的最大公因数是 7解法二：7 21 35 3 521 和 35 的最大公因数是7（6）解：解法一：51= 3 1734= 2 1751 和 34 的最
13、大公因数是 17解法二：17 51 34 3 251 和 34 的最大公因数是717B 组 ：（练习册 P6/4）1. 下列说法对吗?(1) 相邻的两个正整数一定互素.(2) 两个不同的素数一定互素.(3) 两个合数一定不互素.(4) 两个奇数的公因数一定是 1.解:(1)对(2)对(3)错，如 8 和 9(4)错，如 3 和 15概念辨析*C 组：一块长 2 米，宽 8 分米的长方形夹板，要把它锯成几个尽可能大的面积相等的正方形，而且锯后没有剩余，这块夹板一共可以被锯成多少块？解：2 米=20 分米2 8 20 2 4 10 2 5 8 和 20 的最大公因数是22=4长方形面积=208=160（平方分米）正方形面积=44=16（平方分米）16016=10（块）答：这块夹板一共可以被锯成 10 块.通过求公因数解决实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题，初步感受建模思想
