1、 估计水塔的水流量自动化 12K2 许杨旸摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间 t 下的水位 h，以及水塔直径，求出 t 时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间 t 的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。最终，通过数值积分方法求出日用水总量 I。符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量） 和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高 12.2m，塔的直径为 17.4m。水
2、塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约 8.2m 时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约 10.8m 时，水泵停止工作。表 2 给出的是某一天的测量数据，测量了 28 个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用表示） ，试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。表 2 水塔中水位原始数据时刻（t）/h 0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900水位（t）/m 9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686时刻（t）/h 7.00
3、6 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032水位（t）/m 8.525 8.388 8.220 10.820 10.500时刻（t）/h 12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037水位（t）/m 10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662时刻（t）/h 19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908水位（t）/m 8.433 8.220 10.820 10.591 10.354 10.180二、求解问题1、水塔中的
4、水体积计算求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积 V 可近似成：V=42式中 D 为水塔直径 D=17.4m，h 为水位高度。其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1 表示其水位。现在开始计算水塔的体积:输入t=0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 .7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 .12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 1
5、7.931 19.037 .19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908;h=9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 .8.525 8.388 8.220 -1 -1 10.820 10.500 .10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 .8.433 8.220 -1 10.820 10.591 10.354 10.180;D=17.4；V=pi/4*D2*h;最终求得V= 2.3011 2.2540 2.2133 2.1698 2.1358 2.095
6、9 2.0654 2.0271 1.9946 1.9546 -0.2378 -0.2378 2.5729 2.4968 2.4278 2.3627 2.2954 2.2373 2.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 -0.2378 2.5729 2.5184 2.4620 2.4207。2、水塔中水流速度的估计水塔中的水流速度是水塔中水体积对时间的导数，由于没有具体的函数，所以这里利用差商的方法近似求出导数，使用Matlab 提供的 gradient（）求出齐导数，也就是水流速。由于在两个时段无法得到具体的水位，因此，计算水塔流速时分成三个时段计算，分别是:第一段
7、，从 0 时刻到 8.967 时刻；第二段，从 10.954 时刻到 20.893 时刻；第三段，从 22.958 时刻到 25.908 时刻。输入：t1=t(1:10);t2=t(13:23);t3=t(25:28);v1=v(1:10);v2=v(13:23);v3=v(25:28);dv=-gradient(v1,t1) gradient(v2,t2) gradient(v3,t3);得到导数的近似值，如下:dv= 51.1204 47.6090 41.5072 38.2242 36.4474 34.6895 33.8858 34.9411 36.9837 38.4487 70.5862
8、 72.5251 72.7683 65.3094 61.7918 60.9942 57.2190 55.7095 57.2190 58.3251 57.5553 59.0599 54.6395 48.1906 44.8752再利用插值，得到水流速度的连续曲线输入：t=t1 t2 t3;h=0.01;ti=min(t):h:max(t);dvi=interp1(t,dv,ti,spline);这里使用三次样条插值方法，得到图形如下：0 5 10 15 20 25 3030354045505560657075Time(h):Velocity(cubic meter/h3、日用水总量的计算日用水总量是对水流速度的积分，积分区间为0,24。由于没有具体的函数，所以这里采用数值积分。输入：ti=0：0.01：24；dvi=interp1（t，dV，ti，spline）；I=trapz（ti，dvi）得到日用水总量：1256.03
