1、二次函数综合（动点）问题三角形存在问题（二）适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级适用区域 全国新课标课时时长（分钟）60 分钟知识点1、利用待定系数法求抛物线解析式2、抛物线上两点的关系3、三角形面积最大、周长最小时点的坐标4、两个三角形面积存在倍数关系、三角形面积为固定值时点的坐标教学目标一、 知识与技能1、会用待定系数法通过设二次函数不同形式求抛物线解析式；2、会运用抛物线上两点间的关系求作未知点的坐标，或者两点间的距离；3、根据题意，会求三角形面积最大、周长最小时点的坐标，两个三角形面积存在倍数关系、三角形面积为固定值时点的坐标。二、 过程与方法1、创设情境，让学生用不同方法求二次函
2、数解析式；2、在图像上清晰明了的研究两点间的坐标关系、距离关系，再将这种关系应用于二次函数的具体题目中；3、先由浅入深、由简单到复杂，然后再通过例题精讲精练，最后课堂训练；让学生掌握三角形面积最大、周长最小时点的坐标的求法、两个三角形面积存在倍数关系、三角形面积为固定值时点的坐标的求法；4、充分运用数学结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。三、 情感、态度与价值观1、培养学生的处理图像综合运用的能力；2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。教学重点是否存在一点使得一个三角形面积是另一个三角形面积的几倍（三角形周长最小
3、、面积最大、三角形面积为固定值），如果存在求出点的坐标。教学难点是否存在一点使得一个三角形面积是另一个三角形面积的几倍（三角形周长最小、面积最大、三角形面积为固定值），如果存在求出点的坐标。教学过程一、课堂导入在一般情况下，在直角坐标系中，我们很容易的求出一个三角形面积为一个固定值（一个三角形面积是另一个三角形面积的几倍、三角形周长最小、面积最大）时，所求点的坐标。问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得一个三角形面积为一个固定值（一个三角形面积是另一个三角形面积的几倍、三角形周长最小、面积最大）并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复
4、习预习（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线） 。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于 60，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，三个角相等，有一个角是 60的等腰三
5、角形是等边三角形。（二）求作等腰三角形、直角三角形的方法：图一 两圆一线图解 图二 两线一圆图解总结：（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与 A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB 垂直的直线上。（三）等腰三角形、直角三角形可能的情况：(1)当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC 如图；(2)当所求三角形是直角三角形时，可以是三角形任意的内角为直角,即：A=90、B=90、C=90，如
6、图所示；AB C（四）二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形则分别令每个内角等腰 90去分类讨论；（2）再画图；（3）后计算。AB C三、知识讲解考点/易错点 1利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式：（1） 【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解；（2） 【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解；（3） 【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。考点/易错点 2抛物线上两个点 A（x 1，y），B（x 2，y）之间的关系
7、：(1)如果两点关于对称轴对称，则有对称轴 ；2x1(2)两点之间距离公式：已知两点 ，21y,Q,P则由勾股定理可得： 2121)()(xQ练一练：已知 A（0，5）和 B（2，3），则 AB 。(3)中点公式：已知两点 ，则线段 PQ 的中点 M 为 。21y,x,P 211y,x练一练：已知 A（0，5）和 B（2，3），则线段 AB 的中点坐标是 (4)如图：PGX 轴，QGY 轴，P 点的横坐标为 ，G 点的横坐标为 ，纵坐标为 ，Q 点的纵坐标为X1 X2 Y2，则线段 PG= ，QG= 。Y1 |X1-X2| |Y1-Y2|考点/易错点 3求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算
8、；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽” （a） ，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高” （h） 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC = ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。12考点/易错点 4二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则做对称点去求解；如果是三角形面积最
9、大，则划归为二次函数最值问题去求解。（2）再画图；（3）后计算。四、例题精析【例题 1】【题干】 （孝感）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0） ，直线 y=x+1 与二次函数的图象交于 A，B 两点，其中点 A 在 y 轴上（1）二次函数的解析式为；（2）证明：点（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若 C 为线段 AB 的中点，过 C 点作 CEx 轴于 E 点，CE 与二次函数的图象交于 D 点y 轴上存在点 K，使以 K，A，D，C 为顶点的四边形是平行四边形，则 K 点的坐标是；二次函数的图象上是否存在点 p，使得 S 三角形 POE=2S 三角形 ABD
10、？求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) y= x2-x+1；(2)见解析；(3) K（0，-3）或（0，5） ；P（-6，16）和 P（10，16）.14【解析】 （1）解：顶点坐标为（2，0） ，可设解析式为：y=a（x-2） 2（a0） ，把 x=0 代入 y=x+1 得 y=1，则 A（0，1）再代入 y=a（x-2） 2得：1=4a，则 a= 14故二次函数的解析式为：y= （x-2） 2= x2-x+114 14（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数 y= x2-x+1 的图象上，14则有：2m-1= m2+m+1，14整理得 m2-4m+8=0，=（-4） 2
11、-48=-160原方程无解，点（-m，2m-1）不在二次函数 y= x2-x+1 的图象上14（3）解：K（0，-3）或（0，5） ；二次函数的图象上存在点 P，使得 SPOE =2SABD ，如图，过点 B 作 BFx 轴于 F，则 BFCEAO，又 C 为 AB 中点，OE=EF，由于 y= x2-x+1 和 y=x+1 可求得点 B（8，9）14E（4，0） ，D（4，1） ，C（4，5） ，ADx 轴，S ABD =2SACD =2 44=1612设 P（x， x2-x+1） ，14由题意有：S POE = 4（ x2-x+1）= x2-2x+2，12 14 12S POE =2SAB
12、D x2-2x+2=3212解得 x=-6 或 x=10，当 x=-6 时，y= 36+6+1=16，14当 x=10 时，y= 100-10+1=16，14存在点 P（-6，16）和 P（10，16） ，使得 SPOE =2SABD 【例题 2】【题干】 （衡水一模）如图，已知二次函数 y x2+bx+c 的图象经过 A（2，0） 、B（0，-6）两12点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求ABC 的面积；（3）若抛物线的顶点为 D，在 y 轴上是否存在一点 P，使得PAD 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说
13、明理由【答案】(1) y=- x2+4x-6；(2) 6 ；(3) 存在，点 P 的坐标为（0， ） 12 23【解析】解：（1）将点 A（2，0） 、B（0，-6）代入得： ，-2+2b+c0c -6 解得： ，b4c -6故这个二次函数的解析式为：y=- x2+4x-6. 12（2）二次函数的解析式为：y=- x2+4x-6， 12二次函数的对称轴为 x=4，即 OC=4，AC=2，故 SABC = ACBO=612（3）存在，点 P 的坐标为（0， ） 23AD 长度固定，只需找到点 P 使 AP+PD 最小即可，找到点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AD，则 AD 与 y 轴的交
14、点即是点 P 的位置，点 A与点 A 关于 y 轴对称，点 A的坐标为（-2，0） ，又顶点 D 的坐标为（4，2） ，直线 AD 的解析式为：y= x+ ，13 23令 x=0，则 y= ，即点 P 的坐标为（0， ） 23 23【例题 3】【题干】 （黔东南州）已知二次函数 y=x2+ax+a-2（1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点；（2）设 a0，当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 时，求出此二次函数的解析式；13（3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得PAB 的面积为 ？3132若存在，求出 P 点坐标；若不
15、存在，请说明理由【答案】(1)见解析；(2) y=x2-x-3 ；(3) P 点坐标是（-2，3） ， （3，3） ， （0，-3）或（1，-3） 。【解析】解：（1）因为=a 2-4（a-2）=（a-2） 2+40，所以不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点（2）设 x1、x 2是 y=x2+ax+a-2=0 的两个根，则 x1+x2=-a，x 1x2=a-2，因两交点的距离是，所以| x1x2| 13 (x1-x2)2 13即：（x 1-x2） 2=13变形为：（x 1+x2） 2-4x1x2=13即（-a） 2-4（a-2）=13整理得：（a-5） （a+1）=0解方程得：
16、a=5 或-1又a0a=-1此二次函数的解析式为 y=x2-x-3（3）设点 P 的坐标为（x 0，y 0） ，函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 ，13AB= 13S PAB = AB|y0|=12 3132 =13|y0|2 3132即：|y 0|=3，则 y0=3当 y0=3 时，x 02-x0-3=3，即（x 0-3） （x 0+2）=0解此方程得：x 0=-2 或 3当 y0=-3 时，x 02-x0-3=-3，即 x0（x 0-1）=0解此方程得：x 0=0 或 1综上所述，所以存在这样的 P 点，P 点坐标是（-2，3） ， （3，3） ， （0，-3）或（1，-3） 五、
17、课堂运用【基础】1. （ 铜 仁 ） 已 知 ： 直 线 y=ax+b 与 抛 物 线 y=ax2-bx+c 的 一 个 交 点 为 A（ 0， 2） ， 同 时 这 条 直 线与 x 轴 相 交 于 点 B， 且 相 交 所 成 的 角 为 45（ 1） 求 点 B 的 坐 标 ；（ 2） 求 抛 物 线 y=ax2-bx+c 的 解 析 式 ；（ 3） 判 断 抛 物 线 y=ax2-bx+c 与 x 轴 是 否 有 交 点 ， 并 说 明 理 由 若 有 交 点 设 为 M， N（ 点 M 在点 N 左 边 ） ， 将 此 抛 物 线 关 于 y 轴 作 轴 反 射 得 到 M 的 对 应 点 为 E， 轴 反 射 后 的 像 与 原 像 相 交 于点 F， 连 接 NF， EF 得 NEF， 在 原 像 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 NEP 的 面 积 与 NEF 的 面 积 相 等 ？若 存 在 ， 请 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 【答案】(1) 当 a0 时，B（-2，0） ，当 a0 时，B（2，0） ；(2) y=x2-2x+2 或 y=-x2-2x+2；(3) P坐标为：（-2，2） ， （-1+ ，-2） ， （-1- ，-2） 5 5
