1、1.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 （10 分）（1）写出 X 的分布列；（2）求 X 的期望和方差；（3）应用中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值解：（1）根据题意 X 服从二项分布 b(100, 0.2)，故 X 的分布列为 （2 分）1010.28,2,10kkPk（2）因 E (X) =np=20，Var (X)=np(1 p)=16 （2 分）（3）根据中心极限定理知： （2 分）.20(,1)4N（2 分）3.52013.52014013.5.
2、()()44PXPX= (2.625) + (1.625) 1 = 0.9957 + 0.9479 1 = 0.9436 （2 分）2设 X 和 Y 的联合密度函数： 。试求随机变量()0,(,)xyep其 他的密度函数。 （10 分）()/2Z解：做曲线 得到分段点为 0.xyz（1）当 时， （2 分）0z()0ZF（2）当 时， （4 分） 2()0)()zxyzPzXYded（2 分）2()1Ze综上所述，所求密度函数为 （2 分）24()0zZepz3设总体为 N(0, 1)， 为样本。 （10 分）12,x（1）写出 和 的分布并标准化；1212（2）如果 ，而且 和 相互独立，2
3、1()(),(1):xx21()x21()x试写出 的分布，并求常数 k，使得 。21()x 21()0.5xPk解:（1） （2 分）1212()()0,)(0,):xNN(2) ， （3 分）21()(,1)xF2 2 21 1 1()()()=10.5 xxxPkPPkk2 21 1 0.95()()0.950.95(,)Fxx所以 k=0.9938 （5分）4.设总体 ， 为未知参数， 是来自总体的一个样本.2(,)XN12,nX（1）求证：当 时， 是 的无偏估计量。 0221nii（2）求证： 是 的无偏估计量。 （10 分）21()X证明：（1）因为 (22()0,()i iEV
4、arX分)所以 (2 分)22()()()iiiX(1 分)221niiE（2）证明： (2221(),()()VarXr分)（2 分）12221 12()()()()XEEE（1 分）2225.用电压表测量电路的电压，电压表的读数服从区间 上的均匀分布， 未知。设,+1qq是一个读数的样本，若以 作为 的点估计量。12,nXLniiX1（1）求证：这个估计量不是无偏估计量；（2）用矩估计方法求出 的点估计量。 （10q分）（1）证明： （3 分）21()EX（4 分）1()nii121()niiEX即这个估计量不是无偏估计量。 （2）解： ，所以根据替换原理有， （32()EX0.5X分）6
5、、设总体的概率密度函数为 ()(0,1)!xef；（1）写出样本的似然函数和对数似然函数；（2）求 的最大似然估计量。 （10q分）解：（1）最大似然估计法：似然函数为12()!nixneL（5 分）121ln()lnl()i nLxx（2）令 ， 1l0nidx解得 ，则最大似然估计量为： （5 分）1niniiX17、有一大批袋装食盐，其重量服 从 正 态 分 布 。现从中随机地抽取 16 袋，称得重2(,)N量的平均值 克，样本标准差 。要求总体均值 的置信度为 0.95 的503.7x6.0s置信区间，试回答下列问题：（1）选取适当的枢轴量，并指出其分布；（2）查表求出满足条件的分位数
6、；（3）求出总体均值 的置信度为 0.95 的置信区间。 (10 分)解：（1） (3()(1)nxtts:分)（2） (30.975()2.34t分)（3）置信区间为 ，即 (46.02.75.1350.4,571分)8、设某厂生产的灯泡的使用寿命服从正态分布，已知它的标准差 。现从一批产品0中随机地抽取了 26 个，测得该项指标的平均值为 1637 小时。（1）根据假设 ， ，选取适当的检验统计量，并指出其分布；0:16H10（2）根据假设和显著性水平 求出相应的分位数；.5（3）写出拒绝域，并判断这 批 产 品 的 平 均 寿 命 是 否 为 1600 小时？ (10分)解：（1） (2
7、()(0,1)nxuN:分)（2） (20.97516分)（3） (3 分)0.97516xun163.2852由查表知，而 未落入拒绝域故可以认定这批产品的 平 均 寿 命 为 1600 (3.9u分)9、用 4 种安眠药在兔子身上进行试验，特选 24 只健康的兔子，随机地把它们均分为 4 组，每组各服一种安眠药。根据试验数据在显著性水平 下对其进行方差分析。05.试回答下列问题： (10分)（1）根据原始数据已求得四个样本方差： 222234080.6.1307ssss请用 Hartley 检验在显著性水平 下考察四个总体方差是否彼此相等。5（2）假设（1）的结果成立，在显著性水平 下对其
8、进行方差分析，请完善如下的.方差分析表：来源 平方和 自由度 均方和 F 比因子 A 2.54 0.8467误差 e 1.33 0.0665总和 T 3.87 23（3）写出拒绝域并判断这四种安眠药对兔子的安眠作用有无显著影响。 解：（1）这是关于方差齐性的检验问题，由已知数据计算统计量的值为 0.1376.52H查表知，拒绝域为 ，接受原假设，即认为四个总体方差间无显著0.95(4,).性差异。 (4分)（2）方差分析表如下： (3分) 来源 平方和 自由度 均方和 F 比因子 A 2.54 3 0.8467 12.7323误差 e 1.33 20 0.0665总和 T 3.87 23（3）
9、拒绝域为 ，由上表知，拒绝原假设，这四种安眠药对兔子0.95(3,2).10F的安眠作用有显著影响。 (3分)10、在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，获得了如下数据：存活数 死亡数对照 114 36新措施 132 18新措施对防治该种疾病是否有显著疗效？（显著性水平 0.05） ，试回答下列问题： (10 分)（1）我们要检验的原假设为 ： ；0H（2）选取适当的检验统计量，并指出其分布；（3）确定拒绝域和相应的分位数；（4）是否接受原假设？解：设 表示治疗方法， 表示生死情况。它们各有两个水平：用 表示对照措施，AB1A表示新措施； 表示存活， 表示死亡。检验的假设为：212（1） :新措施对防治该种疾病无显著疗效或者 (2 分)0H.ijijp,2,ij（2） (2 分)221()=(1)ijijijnp:（3）拒绝域为 (2 分)20.953.84（4）在原假设成立下，我们可以计算各参数的最大似然估计。 1. 2.50/1/0.5pp. .2638431812.05127.38np，故在显著性水平 0.05 下拒绝原假设，即可以认为新措220.957.1()3.41施对防治该种疾病有显著疗效。 (4分)
