1、1.线性空间、维数、基与坐标第一章线性空间与内积空间(1)线性空间 V 中存在加法和数乘运算，且加法和数乘运算满足8个条件；(2)线性空间 V 中线性无关向量的最大个数 n 称为 V 的维数,记为 dim (V ) = n; V 中任意 n 个线性无关向量称为V 的一组基；(3)如果 是线性空间 V 中的 n 个线性无关向量,且 V 中任一向量都可由其线性表示,则 是V 的一组基且 dim (V ) = n；n ,21nulln ,21null(4) 设 是线性空间 V 的一组基, 是V 的 n 个向量,则存在 n 阶方阵 T,使得n ,21nulln,21 null,),(),(2121Tn
2、n nullnull =当且仅当 T 可逆时, 也是 V 的一组基；n,21 null.2211 nnxxx += null(5)设 是线性空间 V 的基,则向量 在这组基下的坐标 是如下线性组合的系数向量:n ,21nullTnxxx ),(21null2.线性子空间(1)设 V 是线性空间, W 是 V 的非空子集，则 W 是 V 的子空间的充分必要条件是;,P WkWk + (3)设 与 是线性空间 V 的两组向量,则 的充分必要条件是与 等价；s ,21nullt ,21null),(),(2121 tsLL nullnull =s ,21nullt ,21null(2)设 是线性空间
3、 V 的一组向量，则 W 是 V 的子空间；s ,21null,P|),(221121+=issskkkkLW nullnull);,(rank),dim(L(42121 ss nullnull =）（(5)设 V1, V2是线性空间 V 的两个子空间，则 V1 V2和V1 + V2也是 V 的子空间；(6)如果 V1和 V2是线性空间 V 的有限维子空间,则).(dim)(dim)(dim)(dim212121VVVVVV +=+3.直和的判别法(1)V1 + V2中任意向量的分解式唯一；;021=VV (3).dim()dim()dim(2121VVVV +=+(4)(2)V1+ V2中零
4、向量的表法唯一；4.内积空间(1)内积是一种代数运算,满足共轭对称性,左侧可加性和齐次性以及非负性;),(:Cauchy)2( 不等式;:)3( +三角不等式(4) 线性无关的充分必要条件是 Gram 矩阵非奇异；m ,21null( )mmijmG= ),(),(21 null(5)线性无关向量组一定可以标准正交化.5.标准正交基的性质(1)有限维内积空间 V 的标准正交基一定存在；(2)有限维内积空间 V 的任意一组标准正交向量可扩充为V 的一组标准正交基；(3)设 是内积空间 V 的一组标准正交基,且则n ,21null,1111 nnnnyyxx +=+= nullnull.),(1=
5、niiiHyxxy6.常见内积空间;),(,)1(1=niiiHnyxxyyxCV 内积；内积 dxxgxfgfbaCVba)()(),(,)2(=).(tr),(,)3( ABBACVHnm=内积第二章线性映射与线性变换1.线性变换的定义设 V 是数域 P 的线性空间， A 是 V 到自身的一个映射，如果则称 A 是 V 的线性变换. P,),()(,),()()(=+=+kVkkVAAAAA2.线性变换的性质.,的线性变换也是则的线性变换，是如果VkPkVAABBABA +(1)设 是线性空间 V 的一组基, A 是 V 的线性变换，则n ,21null+=+=+=nnnnnnnnnnaa
6、aaaaaaanullnullnullnullnullnullnull22112222112212211111)()()(AAA3.线性变换的矩阵表示;),(),(2121Ann nullnull =A即(2) n 维线性空间的线性变换与 n 阶矩阵一一对应；(3)同一个线性变换在不同基下的矩阵一定相似.4.线性变换的值域与核设 A 是 n 维线性空间 V 的线性变换， 是 V 的一组基， A 在这组基下的矩阵是 A，则n ,21null（1） A 的核为;0)(|)Ker( = AA V;|)()( VR = AA（2） A 的值域为);(,),(),()(321 nLR AAAA null
7、=）（4） dim(R(A ) = rank( A );（5） dim(R(A ) + dim(Ker(A ) = n.5.矩阵 A 可对角化的充分必要条件（1） A 有 n 个线性无关的特征向量；（2）设 A 的全部互异特征值为 ，则r ,21null;)dim()dim()dim(21nVVVr=+null（3） A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数；（4） A 的初等因子都是一次式；（5） A 的最小多项式 m() 没有重零点 .6.酉变换和酉矩阵设 A 是 n 维酉空间 V 的线性变换，则下列命题等价：(1)A 是酉变换，即 ；),()(),( =AA,)()2( =A;V的一组标
8、准正交基，则是如果 Vn ,)3(21null)(,),(),(21 n AAA null 的一组标准正交基；也是 V(4)A 在 V 的标准正交基下的矩阵是酉矩阵（1）存在数字矩阵 P 与 Q，使得 ;)( QBIPAI = （2）它们的特征矩阵 I - A 和 I - B 相抵；（4）它们有相同的行列式因子；1.数字矩阵 A 与 B 相似的条件第三章矩阵与矩阵的Jordan标准形（5）它们有相同的初等因子 .（3）它们有相同的不变因子；2. 矩阵的最小多项式（1）矩阵 A 的最小多项式 m() 能整除 A 的任一化零多项式；（2）矩阵 A 的最小多项式能整除特征多项式 f ()；（3） 是
9、 A 的特征值的充分必要条件是 ；00)(0=m（4）相似的矩阵具有相同的最小多项式；（5）矩阵 A 的最小多项式为其最后一个不变因子 .3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法（1）化 I - A 为 Smith 标准形：),(,),(),(diag(21ndddAI null则是A 的 n 个不变因子；)(,),(),(21nddd null=),()()()(),()()(),()(2121211nndddDddDdDnullnull（2）令则是A 的 n 个行列式因子；)(,),(),(21nDDD null（3）将矩阵 A 的不变因子 进行标准分解，则全体一次因式的方幂)(,)
10、,(),(21nddd nullsnsnn)(,)(,)(2121 null即为 A 的全部初等因子.4.Jordan 标准形的求法（1）求矩阵 A 的初等因子;)(,)(,)(2121snsnn null).,(diag21 sJJJJ null=（3） A 的 Jordan标准形为（2）对 A 的每个初等因子 构造 Jordan 块：ini)( ;1001iinniiiiJ=nullnull第四章矩阵的因子分解设 m n 矩阵 A 的秩为 r1，则存在 m r 列满秩矩阵 B 和 r n 行满秩矩阵 C, 使得 A = BC.1.满秩分解2.三角分解（1）LU分解：设 A 的各阶顺序主子式
11、非零，则存在唯一的单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U, 使得 A = LU.3.QR分解（ 1）设 A 是 n 阶非奇异实矩阵，则存在酉矩阵 Q 和非奇异上三角矩阵 R，使得 A = QR；（ 2） LDU分解：设 A 的各阶顺序主子式非零，则存在唯一的单位下三角矩阵 L，单位上三角矩阵 U 和对角矩阵D = diag(d1, d2,dn)，使得 A = LDU,并且.,2,)()(,1111nkAAdadkkknull=（2）设 A 是 m n 列满秩矩阵，则存在 m n 列正交规范矩阵 Q 和 n 阶非奇异上三角矩阵 R，使得 A = QR；4.Schur定理(正交分解)（ 1）设 A
12、是 n 阶复矩阵，则存在 n 阶酉矩阵 U 和 n 阶上三角矩阵 R, 使得 UHAU = R；., 行满秩矩阵是列正交规范矩阵是其中 nrRrmQ （3）设 A 是矩阵且 ，则 A 有分解式：nm,QRA =0)(rank = rA（ 2）设 A 是 n 阶实矩阵，则存在 n 阶正交矩阵 Q 和n 阶块上三角矩阵 R , 使得 QTAQ = R.5.奇异值分解.,),(diag11的正奇异值是且其中 Arr nullnull=设 A 是 m n 实（复）矩阵，且 rank (A) = r，则存在m 阶正交（酉）矩阵 V 和 n 阶正交（酉）矩阵 U，使得,000000= AUVAUVHT（1
13、）n 阶矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为A 是正规矩阵；（2）设 A, B 均为 n 阶正规矩阵且 AB = BA，则存在 n 阶酉矩阵 U，使得 UHAU 与 UHBU 同时为对角矩阵；（3）若 A 是正规矩阵，则 A 的属于不同特征值的特征向量正交；6.正规矩阵的性质（4）若 A 是正规矩阵，则 A 的奇异值是 A 的特征值的模 .第五章Hermite矩阵与正定矩阵1.Hermite矩阵的性质(1) 如果 A 是 Hermite 矩阵，则对正整数 k，Ak也是Hermite 矩阵；(2) 如果 A 是可逆 Hermite 矩阵，则 A-1是 Hermite 矩阵；(3) 若 A,
14、 B 是 Hermite 矩阵，则 AB 是 Hermite 矩阵的充分必要条件是 AB = BA；(4) 若 A 是 Hermite 矩阵，则对任意方阵 S，SHAS 也是 Hermite 矩阵；（5）设 A 为 n 阶 Hermite 矩阵，则 A 的所有特征值全是实数；（6）设 A 为 n 阶 Hermite 矩阵，则 A 的属于不同特征值的特征向量互相正交；（7） A 为 n 阶 Hermite 矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵 U 使得),(diag21 nHAUU null=.,21均为实数其中n null2. Hermite 矩阵正定的判别方法(1) A 的 n 个特征值均为正数；
15、(2) 存在 n 阶可逆矩阵 P , 使得 PHAP = I；(3) 存在 n 阶可逆矩阵 Q , 使得 A = QHQ；(4) 存在 n 阶可逆 Hermite 矩阵 S , 使得 A = S 2；（5） A 的顺序主子式均为正数，即;,1,0)( nkAknull=（6） A 的所有主子式全大于零 .3.正定矩阵的性质则其特征值为阶正定矩阵是设 ,21 nnA null是正定矩阵；1)1(A;0,)2( AQQmnQH则列满秩矩阵是任一如果;,2,1,)tr(;0)3( niAAinull= (4) 设 A, B 均为 n 阶 Hermite 矩阵，且 B 0，则存在可逆矩阵 P , 使得
16、.),(diag21IBPPAPPHnH= null4. Hermite 矩阵半正定的判别方法(1) A的 n 个特征值均为非负数；;0002=rHIAPPPn 使得阶可逆矩阵）存在（;)3( QQAQrH=使得的矩阵存在秩为;,Hermite42SASnr =使得矩阵阶的）存在秩为（(5) A 的所有主子式均非负 .5.矩阵不等式;0)1( BABA;,)2( BxxAxxCxBAHHn 有都有阶可逆矩阵对任意 PnBABA )()4();( BPPAPPBPPAPPHHHH则设 ),(diag),(diag)3(11 nnbbBaaA nullnull =);,2,1)()( nibabaBABAiiiinull=(5)设 A, B 均为 n 阶 Hermite 矩阵且 A0, B0，则;1)(1ABAB ;1)(1ABAB (6) 设 A 是 n 阶 Hermite矩阵,则;)()(maxminIAAIA (8) 设 A, B 均为 n 阶 Hermite 矩阵,且 AB = BA,则;022BABA ;022BABA .0,0,0)10( = ACCAACCA 则且设;0,0,0)9( = ACCAACCA 则且设(7) 设 A 是 Hermite 非负定矩阵，则 A tr(A) I ；
