1、数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分12000,0,0() | 0, | 0, 0|(),|(),0xxltttxxttaxltuu tuxu xxluu= = = 物理解释：一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动 .3.1 一维齐次方程、齐次边界条件混合问题的分离变量解法数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分2( ) ( ) ( ),uxt XxTt=分离变量法 :设 :( ) ( ) ( ) ( ) 2 0XxT t aX xTt =( )()( )() 2Tt XxaT t X x=左边 =右边 =常数( )
2、 ( )0Xx Xx+ =( ) ( ) 20Tt aTt+ =( ) ( )00XTt=( ) ( )0XlTt=( ) ( )00XXl= =偏微分方程常微分方程数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分3分离变量法 :( ) ( )() ()000; 0Xx XxXXl+ = =()cos sinxxAe BeXx Ax BA xB x +=+1) 0( )00XAB= +=()0llXl Ae Be = +=0AB= =( )00XB= =( )0Xl Al B= +=2) 0 =0AB= =数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分43) 0 ()00
3、XA=( )cos sin sin 0Xl A l B l B l=+=sin 0l =()2221, 2,nnnl = = ()sin sinnnnnX xB xB xl=称使边值问题有非零解的 为固有值 ,对应的 称为特征函数, 或者固有函数或者本征函数 . ( )X x固有值问题数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分5() ()20Tt Tt22nal+ =求()Tt()cos sinnn nnnTt C at D atll =+() ( ) ( ),nnnUxt XtTt=()cos sin sin 1, 2,nnnnaatbatxnlll= + = () ()11
4、cossinsnnnnUxt a atb atll, innnUxt xl +=( )1, 2,n =不取负值, 为什么 ?n数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分6() ()1,0 sinnnnUx a x xl=() ()1,0 sintnnna nUx b x xll=() ()11,cossinsinnnnnnnU x t U x t a at b at xlll =+()02sinlnnaxxdll=()02sinlnnbxxdna l=sinnxl ( )1, 2,n = 函数基 :级数解数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分70,2sin
5、sin0llmnmnxxdxllmn=0,02cos cos00llmnmnxxdxlmnllmn= = =分离变量法又称为Fourier 级数法sin , sin , sin ,2nx xxll l , “是 0, l上的正交函数列, cos , cos , cos ,2n1x x xll l , “是 0, l上的正交函数列数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分8分离变量法的解题步骤小结第一步第二步第三步(,) () ()uxt XxTt=令 适合方程和边界条件，从而定出()X x所适合的常微分方程齐次边值问题，以及()Tt适合的常微分方程。固有值问题求解该常微分方程齐
6、次边值问题，求出全部固有值和固有函数，并求出相应的 的表达式。()Tt将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分9物理意义() ()11,cossinsin nnnnnnUxt Uxt a atb at xlll =+其中22,nnnA ab=+arctan ,nnnab =nnal = 对任意时刻0,t()00,sin( )sinnnnnUxt A txl=+这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波 ，0tsinnnA xl其振幅 随不同的时间 而不同。(),sin( )sinnnnnnUxt A txl=+数学物理
7、方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分10 对任意一点0,x()00,sin( )sinnnnnUxt A txl=+这表示在任意一点0x处都作简谐振动。 驻波oln = 4振幅频率初相位sinnxlnAnnal =n(),sin( )sinnnnnnUxt A txl=+数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分112,(0,)(,0) (), (,0) (), 0,(0, ) ( , ) 0, 0tt xxtxxuau x ltux x u x x x lutult t= 两端自由的边界条件解：设 得到(,) ()()uxt XxTt=2() ( )() ( )
8、Tt X xaT t X x= =0“ =+ XX (0) 0 ( ) 0XXl = =如果 则0 () cos sinXx C x D x =+其它边界条件的混合问题1数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分12(sin cos )D0ClDl0 =+ =00D =(0) 0 ( ) 0XXl = =sinCl0 =因此 ，否则方程无解，只有C00sin =x2nl=固有值固有函数() cos , 1,2,3,nnXx C xnl=“0 =需要考虑 的情形，显然，对上述固有值、固有函数都满足，即取n=0 的情形.数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分13
9、0n 代入T 的方程 和22220nTa Tl+ =其解000()() cos sin ( 1,2, )nn nTt A Btnat natTt A B nll=+=+ =“0T=其中 均为独立的任意常数。nnBABA00下一步怎么办？数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分14由初始条件得把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数 dlAl=00)(1 dlBl=00)(1 dlnlAln=0cos)(2dlnanBln=0cos)(20101cos ( )cos ( ) (0 )nnnnnxAA xlna nxB Bxxlll=+=+ =),( txu tBA00+
10、 ,cos)sincos(1xlntlanBtlanAnnn=+数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分15形式解特别地，如果给定了具体的初始条件，则直接计算系数An,Bn2,(0,)(,0) (), (,0) (), 0,(0, ) ( , ) 0, 0tt xxtxxuau x ltux x u x x x lutult t= =),( txu tBA00+ ,cos)sincos(1xlntlanBtlanAnnn=+ dlAl=00)(1 dlBl=00)(1 dlnlAln=0cos)(2dlnanBln=0cos)(2小结数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上
11、午 5时 50分162,(0,)(,0) (), (,0) (), 0,(0, ) ( , ) 0, 0tt xxtxuau x ltux x u x x x lutult t= () () 0(0) ( ) 0Xx XxXXl+=()()21212,() cos ,0,1, 2,3,nnnlnXx xln+= += =“左端点自由、右端点固定的边界条件其它边界条件的混合问题2数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分172,(0,)(,0) (), (,0) (), 0,(0, ) ( , ) 0, 0tt xxtxuau x ltux x u x x x lut ult t
12、= () () 0(0) ( ) 0Xx XxXXl+=()()21212,() sin ,0,1, 2,3,nnnlnXx xln+= += =“左端点固定、右端点自由的边界条件其它边界条件的混合问题3数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分182,(0,)0(,0) (), 0,(0, ) ( , ) 0, 0txxuau x ltux x x lut ult t=物理解释：一根长为 l 的均匀细杆，两端温度为零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布3.2 热传导方程混合问题的分离变量解法数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时
13、50分19 求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,) () ()uxt XxTt=() () 0(0) ( ) 0Xx XxXXl+ =固有值问题X(x)：2() () 0Tt a Tt+ =T(t)：数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分20第二步：求固有值 和固有函数 X(x)，以及 T(t)的表达式()2221, 2,nnnl =() ()sin sin 1,2,nnnnnXx B xB xnl= =2() 1,2,3,nnnaltTt C ne=, =“2() () 0naTt Ttl+=数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午
14、 5时 50分21第三步：利用叠加原理写出定解问题的形式解，利用初始条件求得定解问题的解12(,) sinnnnaltnuxt a xle=利用初始条件02()sin 1,2,3,lnnxaxdxnll= , =“(,0) ()ux x=数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分2222220, ( , ) (0, ) (0, )(,0) 0,(,) , 0, (0, ) ( , ) 0, 0, uuxy a bxyux uxb U x auyuay y b+= = 散热片的横截面为一矩形 0,a 0, b，它的一边 y=b 处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的
15、温度分布3.3 矩形域上的边值问题数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分2322222222220,(, ),xyauuxyaxyufxy+=+ =+=一个半径为 a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数 f (x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布3.4 圆域内的边值问题数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分24cossinxryr=222110, 0 , 0 2(, ) (),(, ) (, 2 ),(0, )uurrarr r rua fur uru += =+=有限值,ora隐含着的周期边值条件和原点约束条件数学物理方法第三章定解问
16、题的分离变量解法上午 5时 50分25作自变量变换cossinxryr=22220 uuuxy =+=222110 uu urrrr + += (, ) uuxy= (, ) uur=22arctanrxyyx= +=问题转化数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分26演算过程,rxx r=,r yy r=2,yx r=2xy r=,uurux rx x=+2222 2 2 2 222 2 2 22,uur ur u urux rx r xx x rx x =+ + + ,uuruyry y =+ 22 2 2 2 222 2 2 2uur ur u uruy r y r y
17、y y r yy =+ + + 22231,rxx rr=22231,ryyrr=2242,xyxr=2242,xyyr=数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分2722 2 222 222110uu u u uuxy rr rr =+ =+ + = 2222 2 2 222 2 22 3 4122,uux uxyuy u x uxyxrr rrr r rrr r =+ + 2222 2 2 222 2 22 3 412uuy uyx ux u y uxyyrr rrr r rrr r =+ + 数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分28第一步：求满足齐次
18、方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解(, ) () ()ur Rr = 0() ( 2) +=+20(0)rR rR RR + =有限值R(r)本征值问题欧拉方程数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分29第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程0() ( 2) +=+2() cos sin0,1, 2,nnn nnanbn = +=“20(0)rR rR RR + =有限值() , 0,1,2,nnnRr cr n=“数学物理方法第三章定解问题的分离变量解法上午 5时 50分30第三步：利用叠加原理和边界条件()01( , ) cos sinnnnnur a a n b n r=+ +20020201()21()cos1()sinnnnnaftdaftntdabfttda=利用边界条件确定系数
