1、第一节第一节第一节第一节第一节第一节第一节第一节矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解定理定理定理定理定理定理定理定理：设：设：设：设ACrmn, 则则则则BCrmr, CCrrn使使使使A = BC第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵分解分解分解分解分解分解分解分解证明证明证明证明证明证明证明证明：设：设：设：设A的前的前的前的前r个列线性无关个列线性无关个列线性无关个列线性无关, 则则则则PCmmm, 使使使使)(00做初等行变换即对ADEPA r =( ) BCDEEPD
2、EPA rrr = 00011( ) nrrrrmrr CDECCEPB = ,0:1其中若若若若A的前的前的前的前r个列线性相关个列线性相关个列线性相关个列线性相关, 则则则则PCmmm, QCnnn使使使使=00DEPAQ r ( ) BCQDEEPArr = 110( ) nrrrrmrr CQDECCEPB = 11 ,0:其中 4123141231例例例例1: = 000007016211139370162 1233 rrrrA000003/13/2100412310000012300412312122 )3/1(2 rrrr 000003/13/21003/103/1031211
3、2rrr取第取第取第取第1列和第列和第列和第列和第3列列列列构成构成构成构成E2, 则则则则B由由由由A的第的第的第的第1列和第列和第列和第列和第3列构成列构成列构成列构成, 即即即即21 ,3132=B而而而而C就是变换后的前就是变换后的前就是变换后的前就是变换后的前2行，即行，即行，即行，即 =3/13/21003/103/1031C所以，也可取第所以，也可取第所以，也可取第所以，也可取第2列和第列和第列和第列和第3列列列列构成构成构成构成E2, 则则则则B由由由由A的第的第的第的第2列和第列和第列和第列和第3列列列列构成构成构成构成, 即即即即23 000003/13/21009/109
4、/1013/13/1rA,3196=B而而而而C就是再次变换后的前就是再次变换后的前就是再次变换后的前就是再次变换后的前2行，即行，即行，即行，即 =3/13/21009/109/1013/1C定理定理定理定理定理定理定理定理：若若若若A = BC = B1C1均为均为均为均为A的满秩分解，则：的满秩分解，则：的满秩分解，则：的满秩分解，则：(1) Crrr满足满足满足满足B = B1, C = 1C1;(2) CH(CCH)1(BHB)1BH = C1H(C1C1H)1(B1HB1)1B1H .证明证明证明证明证明证明证明证明：(1) 由由由由BC = B1C1有：有：有：有：BCCH =
5、B1C1CH因为因为因为因为rankC = rank(CCH) (见本章第三节引理见本章第三节引理见本章第三节引理见本章第三节引理), CCHCrrr, 由由由由因为因为因为因为见本章第三节引理见本章第三节引理见本章第三节引理见本章第三节引理由由由由上式得上式得上式得上式得:B = B1C1CH(CCH)1 = B11,其中其中其中其中1 = C1CH(CCH)1.同理可得同理可得同理可得同理可得: C = (BHB)1BHB1C1 = 2 C1,其中其中其中其中: 2 = (BHB)1BHB1.将上两式代入将上两式代入将上两式代入将上两式代入BC = B1C1，得：，得：，得：，得：B1(1
6、2)C1 = B1C1因此有因此有因此有因此有: B1HB1(12)C1C1H = B1HB1C1C1H其中其中其中其中B1HB1, C1C1H都是可逆矩阵都是可逆矩阵都是可逆矩阵都是可逆矩阵, 因此因此因此因此12 = E 2 = 11(2) 将将将将(1)的结果代入的结果代入的结果代入的结果代入CH(CCH)1(BHB)1BH即可得到即可得到即可得到即可得到.第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节第二节矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解(UR, QR分解分解分解分解分解分解分解
7、分解)定理定理定理定理定理定理定理定理：设：设：设：设ACrmr, 则则则则唯一的唯一的唯一的唯一的UUrmr和和和和r阶正线上三角矩阵阶正线上三角矩阵阶正线上三角矩阵阶正线上三角矩阵R使使使使A = UR证明：存在性证明：存在性证明：存在性证明：存在性证明：存在性证明：存在性证明：存在性证明：存在性.设设设设A = (1, 2, L, r), 其中其中其中其中1, 2, L, r线性无线性无线性无线性无关关关关, 可用可用可用可用Schmidt方法对其正交化为方法对其正交化为方法对其正交化为方法对其正交化为1, 2, L, r, 则则则则:11 = 111122221111222231111
8、3331111222),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(=rrrrrrrrr LLLL+=+=+= rrrrrrr kkkkkk11,2211323213132121211LLLL 111 |,|,| = , :rrr222111 L并设并设并设并设则则则则0,11,2211333232131322212121111=+=+=+=iiirrrrrrrrrkkkkkkkkkkk其中LLLL唯一性唯一性唯一性唯一性唯一性唯一性唯一性唯一性.设设设设A = U R = U R , 则则则则:=rrrrrrrkkkkkkA1,22121112121 ),(),( O
9、MOLLL UUrmrRCrrr 正线上三角正线上三角正线上三角正线上三角 A = UR唯一性唯一性唯一性唯一性唯一性唯一性唯一性唯一性设设设设1 1 2 2则则则则AHA = (U1R1)HU1R1 = R1HR1 = R2HR2.由由由由R1, R2均为正线上三角矩阵可得均为正线上三角矩阵可得均为正线上三角矩阵可得均为正线上三角矩阵可得: R1 = R2, 从而从而从而从而U1 = U2.推论推论推论推论推论推论推论推论1：设：设：设：设ACrrn, 则则则则唯一的唯一的唯一的唯一的UUrrn和和和和r阶正线下三角矩阶正线下三角矩阶正线下三角矩阶正线下三角矩阵阵阵阵L使使使使A = LU.
10、证明证明证明证明证明证明证明证明:自己练习自己练习自己练习自己练习推论推论推论推论推论推论推论推论2：设：设：设：设ACnnn, 则则则则唯一的唯一的唯一的唯一的U1Unn和和和和n阶正线上三角矩阶正线上三角矩阶正线上三角矩阶正线上三角矩阵阵阵阵R使使使使A = U1R;唯一的唯一的唯一的唯一的U2Unn和和和和n阶正线下三角矩阵阶正线下三角矩阵阶正线下三角矩阵阶正线下三角矩阵L使使使使A = LU2.证明证明证明证明证明证明证明证明:自己练习自己练习自己练习自己练习推论推论推论推论推论推论推论推论3：设：设：设：设ACrmn, 则则则则唯一的唯一的唯一的唯一的U1Urmr, U2Urrn,
11、r阶正线阶正线阶正线阶正线上三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵R, 及及及及r阶正线下三角矩阵阶正线下三角矩阵阶正线下三角矩阵阶正线下三角矩阵L使使使使A = U1RLU2. 证明证明证明证明证明证明证明证明:自己练习自己练习自己练习自己练习例例例例例例例例1：求矩阵：求矩阵：求矩阵：求矩阵A的的的的UR分解分解分解分解, 其中其中其中其中=111011111212A解解解解解解解解：设：设：设：设A = (1, 2, 3), 用用用用Schmidt方法将方法将方法将方法将1, 2, 3标准正交标准正交标准正交标准正交化得化得化得化得:TT = =1,1,2,0321,321,321,32
12、31令令令令U = (1, 2, 3), 则则则则UHU = E3. 由由由由A = UR得得得得R = UHAT =21,21,0,066632即即即即:= 011 111212116161620321321321323AUR H =2/1006/16/403/43/2321112200例例例例例例例例2：设：设：设：设ACnmn, bCn, 证明方程组证明方程组证明方程组证明方程组Ax = b有解有解有解有解, 并求其解并求其解并求其解并求其解证明证明证明证明证明证明证明证明: 对对对对ACnmn, 一定一定一定一定唯一的唯一的唯一的唯一的UUnmn和和和和n阶正线上三角阶正线上三角阶正线
13、上三角阶正线上三角矩阵矩阵矩阵矩阵R, 使得使得使得使得: A = UR. 从而从而从而从而:URx = b UHURx = UHb由于由于由于由于UHU = En, Rx = UHb x = R1UHb 练习练习练习练习练习练习练习练习：求方程组：求方程组：求方程组：求方程组的的的的解。解。解。解。=1201111011111212321xxx为了引入矩阵的奇异值，先介绍两个引理。为了引入矩阵的奇异值，先介绍两个引理。为了引入矩阵的奇异值，先介绍两个引理。为了引入矩阵的奇异值，先介绍两个引理。引理：引理：引理：引理：引理：引理：引理：引理：ACmn, rank(AHA) = rank(AAH
14、) = rank(A)第三节第三节第三节第三节第三节第三节第三节第三节矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：先证先证先证先证rank(AHA) = rank(A). 只需证只需证只需证只需证: N(AHA) = N(A), 因为因为因为因为ACmn, dimN(A) = n dimR(A) = n rank(A).因为因为因为因为设设设设xCn是是是是AHAx = 0的解的解的解的解, 则则则则xHAHAx = 0, 即即即即(Ax)HAx = 0, 从而从
15、而从而从而Ax = 0; 反之反之反之反之, 设设设设xCn是是是是Ax = 0的解的解的解的解, 则则则则AHAx = 0. 所以所以所以所以, N(AHA) = N(A).又因又因又因又因ACmn: rank(A) = rank(AH), 从而有从而有从而有从而有rank(AHA) = rank(AAH) = rank(A)引理：引理：引理：引理：引理：引理：引理：引理：ACmn, AHA及及及及AAH都是正半定都是正半定都是正半定都是正半定Hermite矩阵矩阵矩阵矩阵定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：设设设设ACrmn, i是是是是AAH的特征值的特征值的特征值的特征值,
16、 i是是是是AHA的特征值的特征值的特征值的特征值, i, i都是实数。另设都是实数。另设都是实数。另设都是实数。另设1 2 L r r+1 = r+2 = L = m = 0,1 2 L r r+1 = r+2 = L = n = 0,则则则则:i = i 0, i = 1, 2, L, r. 证明证明证明证明证明证明证明证明：设：设：设：设x1, x2, L, xp是是是是AAH (正规矩阵正规矩阵正规矩阵正规矩阵)对应于特征值对应于特征值对应于特征值对应于特征值i0的的的的证明证明证明证明证明证明证明证明：设：设：设：设是是是是正规矩阵正规矩阵正规矩阵正规矩阵对应于特征值对应于特征值对应
17、于特征值对应于特征值的的的的线性无关特征向量线性无关特征向量线性无关特征向量线性无关特征向量, 则则则则:AAHxj = ixj, j = 1, 2, L, p. (AHA)(AHxj) = i(AHxj), j = 1, 2, L, p. 表明表明表明表明AHxj, j = 1, 2, L, p是是是是AHA(正规矩阵正规矩阵正规矩阵正规矩阵)的对应于特征值的对应于特征值的对应于特征值的对应于特征值i0的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量(但还不能认为但还不能认为但还不能认为但还不能认为i = i ). 下证它们也是线性下证它们也是线性下证它们也是线性下证它们也是线性无关的无关的无关的无
18、关的.令令令令k1AHx1 + k2AHx2 + L + kpAHxp = 0上式两边左乘上式两边左乘上式两边左乘上式两边左乘A, 得得得得:i(k1x1 + k2x2 + L + kpxp) = 0 k1 = k2 = L = kp = 0表明表明表明表明AHxj, j = 1, 2, L, p是线性无关的是线性无关的是线性无关的是线性无关的.因此因此因此因此, AAH的的的的p重特征值也是重特征值也是重特征值也是重特征值也是AHA的的的的p重特征值重特征值重特征值重特征值. 再由再由再由再由AAH与与与与AHA的大于零的特征值个数相同的大于零的特征值个数相同的大于零的特征值个数相同的大于零
19、的特征值个数相同, 可知可知可知可知:与与与与的大于零的特征值个数相同的大于零的特征值个数相同的大于零的特征值个数相同的大于零的特征值个数相同可知可知可知可知i = i 0, i = 1, 2, L, r. 定义：定义：定义：定义：定义：定义：定义：定义：设设设设ACrmn, AAH的正特征值为的正特征值为的正特征值为的正特征值为i, AHA的正特征值为的正特征值为的正特征值为的正特征值为i. 称称称称为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵A的正奇异值的正奇异值的正奇异值的正奇异值, 简称为奇异值简称为奇异值简称为奇异值简称为奇异值.riiii ,2,1, L= 若若若若若若若若A本身为正规阵本身为正规阵本
20、身为正规阵本身为正规阵本身为正规阵本身为正规阵本身为正规阵本身为正规阵, 即即即即AAH = AHA, 则则则则:A = Udiag(1, 2, L, n)UH AH = Udiag(1, 2, L, n)UH AAH = Udiag(11, 22, L, nn)UH表明表明表明表明: AAH的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为11, 22, L, nn. A的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为A的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长.的奇异
21、值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的奇异值为的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长的非零特征值之模长定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：设设设设ACrmn, 1 2 L r是是是是A的的的的r个正奇异值个正奇异值个正奇异值个正奇异值, 则则则则: UUmm, VUnn, 使使使使HH VUUDVA =000其中其中其中其中=diag(1,2,L,r), U使使使使UHAAHU对角化对角化对角化对角化, V使使使使VHAHAV对角化对角化对角化对角化. 证明：证明：证
22、明：证明：证明：证明：证明：证明：AAH是是是是Hermite矩阵矩阵矩阵矩阵, UUmm使使使使AAH对角化对角化对角化对角化:=000HHH UAAU令令令令U = (U1, U2), U1Urmr, U2Urm(mr), 则则则则: ( ) =000,211HHHHUUAAUU U1HAAHU1 = H, U1HAAHU2 = 0, U2HAAHU1 = 0, U2HAAHU2 = 02令令令令V1 = AHU1H, 则则则则V1H = 1U1HA, V1HV1 = 1U1HAAHU1H = 1HH = Er, 从而从而从而从而V1HV1 = 1U1HAV1 = U1HAV1U2HA =
23、 0V2Unr , 使使使使V = (V1, V2)Unnn, 从而从而从而从而n(nr)( )=00,21221221112121AVUAVUAVUAVUAVUVVAUUAVUHHHHHHHH进一步有进一步有进一步有进一步有: , 即即即即V使使使使VHAHAV对角化对角化对角化对角化由由由由V1HV2 = 1U1HAV2 = 0, 可得可得可得可得: U1HAV2 = 0, 因此因此因此因此:=000AVU H =000HHH AVAV证明：证明：证明：证明：证明：证明：证明：证明：前面定理已得到前面定理已得到前面定理已得到前面定理已得到:定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：设
24、设设设ACrmn, 1 2 L r是是是是A的的的的r个正奇异值个正奇异值个正奇异值个正奇异值, 则则则则: U1Urmr, V1Urnr, 使使使使HVUA11=其中其中其中其中 = diag(1,2,L,r). H= 0 VUA 00现设现设现设现设U = (U1, U2), U1Urmr, U2Urm(mr); V = (V1, V2), V1Urnr, V2Urn(nr). 则则则则: ( ) HHH VUVVUUA 112121 000 =注注注注注注注注1：定理中定理中定理中定理中, U使使使使UHAAHU对角化对角化对角化对角化, V使使使使VHAHAV对角化对角化对角化对角化,
25、 所所所所以以以以U的列向量是的列向量是的列向量是的列向量是AAH的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量, V的列向量则是的列向量则是的列向量则是的列向量则是AHA的特的特的特的特征向量征向量征向量征向量. 但不是任意取的但不是任意取的但不是任意取的但不是任意取的, U与与与与V必须满足必须满足必须满足必须满足: V1 = AHU1H注注注注注注注注2：定理中定理中定理中定理中, U1和和和和V1的列向量的列向量的列向量的列向量, 分别是分别是分别是分别是AAH和和和和AHA的正特征的正特征的正特征的正特征值所对应的特征向量值所对应的特征向量值所对应的特征向量值所对应的特征向量, 且且且且V
26、1 = AHU1H注注注注注注注注3：定理中定理中定理中定理中, U2和和和和V2的列向量的列向量的列向量的列向量, 分别是分别是分别是分别是AAH和和和和AHA的零特征的零特征的零特征的零特征注注注注注注注注：定理中定理中定理中定理中和和和和的列向量的列向量的列向量的列向量分别是分别是分别是分别是和和和和的零特征的零特征的零特征的零特征值所对应的特征向量值所对应的特征向量值所对应的特征向量值所对应的特征向量例例例例例例例例1：求求求求A的奇异值分解的奇异值分解的奇异值分解的奇异值分解, 其中其中其中其中=110011A解：解：解：解：解：解：解：解：|EAAH| = 2(4), ,20200
27、0202=HAA 1 = 4, 2 = 3 = 0 A的奇异值的奇异值的奇异值的奇异值: 1 = 2 = 2容易求出容易求出容易求出容易求出, AAH的与特征值的与特征值的与特征值的与特征值1 = 4对应的单位特征向量为对应的单位特征向量为对应的单位特征向量为对应的单位特征向量为:=2/202/22/202/211 Uu从而从而从而从而:= 2/22/2212/202/210110111HHUAV A的奇异值分解为的奇异值分解为的奇异值分解为的奇异值分解为: A = U1V1H进一步进一步进一步进一步, 还可求出还可求出还可求出还可求出AAH的与零特征值对应的单位特征向量的与零特征值对应的单位
28、特征向量的与零特征值对应的单位特征向量的与零特征值对应的单位特征向量AHA的与零特征值对应的单位特征向量为的与零特征值对应的单位特征向量为的与零特征值对应的单位特征向量为的与零特征值对应的单位特征向量为:=0102/202/2010,2/202/2232 Uuu=2/22/22/22/222 Vv( ) =02/22/210002/22/221 UUU A的奇异值分解为的奇异值分解为的奇异值分解为的奇异值分解为:( ) =2/22/22/22/221 VVVH=02VUA 0000定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：设设设设ACnnn, 则则则则 UUnn及正定及正定及正定及正定H
29、ermite矩阵矩阵矩阵矩阵H1, H2, 满足满足满足满足A = H1U = UH2,且这样的分解是唯一的且这样的分解是唯一的且这样的分解是唯一的且这样的分解是唯一的,其中其中其中其中: AAH = H12, AHA = H22.第四节第四节第四节第四节第四节第四节第四节第四节矩阵的极分解矩阵的极分解矩阵的极分解矩阵的极分解矩阵的极分解矩阵的极分解矩阵的极分解矩阵的极分解矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵A的极分解的极分解的极分解的极分解的极分解的极分解的极分解的极分解 证明：证明：证明：证明：证明：证明：证明：证明：因因因因A Cnnn, AHA是正定是正定是正定是正定Hermite矩阵矩阵
30、矩阵矩阵, 唯一的正定唯一的正定唯一的正定唯一的正定Hermite矩阵矩阵矩阵矩阵H2, 使得使得使得使得AHA = H22, H21(AHA)H21 = E H2HAHAH21 = E (AH21)H(AH21) = E表明表明表明表明(AH21)是酉矩阵是酉矩阵是酉矩阵是酉矩阵. 令令令令(AH21) = UUnn, 则则则则:A = UH2进一步进一步进一步进一步,A = UH2 = (UH2UH)U = H1U其中其中其中其中H1 = UH2UH. 显然显然显然显然H1是正定是正定是正定是正定Hermite矩阵矩阵矩阵矩阵,且且且且AAH = H12. 由于由于由于由于H2是唯一的是唯
31、一的是唯一的是唯一的, 故故故故U是确定的是确定的是确定的是确定的, 因此极分解是唯一的因此极分解是唯一的因此极分解是唯一的因此极分解是唯一的.定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：设设设设ACrnn, 则则则则 UUnn及半正定及半正定及半正定及半正定Hermite矩阵矩阵矩阵矩阵H1与与与与H2, 满足满足满足满足A = H1U = UH2,且且且且AAH = H12, AHA = H22.证明：证明：证明：证明：证明：证明：证明：证明：根据根据根据根据A的奇异值分解的奇异值分解的奇异值分解的奇异值分解, U1Unn, U2Unn,使得使得使得使得A = U1U2,其中其中其中其
32、中 = diag(1, L, r, 0, L, 0), 1 2 L r 0是是是是A的的的的r个奇异值个奇异值个奇异值个奇异值. A = U1U1HU1U2 = (U1U1H) (U1U2) = H1UH1半正定半正定半正定半正定Hermite UUnn同时同时同时同时,A = (U1U2)(U2HU2) = UH2 其中其中其中其中: H2 = U2HU2是半正定是半正定是半正定是半正定Hermite矩阵矩阵矩阵矩阵, U = U1U2 Unn.容易验证容易验证容易验证容易验证:AAH = H1UUHH1H = H1H1H = H12AHA = H2HUHUH2 = H2HH2 = H22推
33、论：推论：推论：推论：推论：推论：推论：推论：若若若若AHA = AAH, 则则则则 UUnn及半正定及半正定及半正定及半正定Hermite矩阵矩阵矩阵矩阵H, 推论：推论：推论：推论：推论：推论：推论：推论：若若若若则则则则及半正定及半正定及半正定及半正定矩阵矩阵矩阵矩阵使得使得使得使得A = HU = UH,且且且且AAH = H2.例例例例例例例例1：z = (cos + i sin)一阶半正定一阶半正定一阶半正定一阶半正定Hermite 一阶酉矩阵一阶酉矩阵一阶酉矩阵一阶酉矩阵极分解名称由来极分解名称由来极分解名称由来极分解名称由来设设设设A为正规矩阵为正规矩阵为正规矩阵为正规矩阵,
34、则则则则U = (1, 2, L, n)Unn, 使使使使:第五节第五节第五节第五节第五节第五节第五节第五节矩阵的谱分解矩阵的谱分解矩阵的谱分解矩阵的谱分解矩阵的谱分解矩阵的谱分解矩阵的谱分解矩阵的谱分解( ) HHHn UUA= L212121,),(diag设设设设j (j = 1, 2, L, r)的代数重复度为的代数重复度为的代数重复度为的代数重复度为nj, n1 + n2, + L + nr = n, 则则则则:HnnnHHHnnn+=LMOL22211121 = =jj niHjijijrjjjrjniHjijij GGA111 1, 其中正规矩阵正规矩阵正规矩阵正规矩阵A的谱分解
35、。的谱分解。的谱分解。的谱分解。定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：定理：设设设设n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A有有有有r个互异特征值个互异特征值个互异特征值个互异特征值1, 2, L, r, j的代数重的代数重的代数重的代数重复度为复度为复度为复度为nj, 则则则则: A为正规矩阵的充要条件是为正规矩阵的充要条件是为正规矩阵的充要条件是为正规矩阵的充要条件是唯一一组唯一一组唯一一组唯一一组n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵G1, G2, L, Gr满足满足满足满足r = .rank)5( jj nG =Gj正交投影矩阵正交投影矩阵正交投影矩阵正交投影矩阵: A(Gjx) = (AGj)x = =
36、 j (Gjx),;)4();(0)3( 1 EGkjGG rj jkj = =;)2(;)1( 21 Hjjjj jj GGGGA =xGGrkjkk=1且且且且Gj2x = Gjx. 表明表明表明表明Gjx将将将将x投影到投影到投影到投影到V , 并且是正交投影并且是正交投影并且是正交投影并且是正交投影j证明：必要性证明：必要性证明：必要性证明：必要性证明：必要性证明：必要性证明：必要性证明：必要性. 存在性自己证明存在性自己证明存在性自己证明存在性自己证明. 下证唯一性下证唯一性下证唯一性下证唯一性. 不难证明不难证明不难证明不难证明:GjA = jGj = AGj.设设设设Fj (j = 1, 2, L, r)也满足也满足也满足也满足(1)(5), 则则则则:FjA = jFj = AFj. (i j)GjFi = i Gj Fi j Gj Fi = Gj(iFi) (jGj)Fi= Gj(AFi) (GjA)Fi = 0由于由于由于由于i j, 故故故故GjFi = 0. 于是于是于是于是rrjjjiijjiijjj FEFFGFGFGEGG = = 11充分性充分性充分性充分性充分性充分性充分性充分性. 为正规矩阵AAAGGGGGGAAHriiHiiiriHiiiirjHjjriiiH=1111Hjj GG =
