1、第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令 120.,.设 A 为从产品中随机取出 8 个，有 2 个不合格，则2618().9.4PC203从而有 5418.03296.07148.0.)(|)(|)|( 2111 APA45.)|()|( 2)(| 12 22or1.2 解：令 12,.设 X 为一卷磁带上的缺陷数，则 ()XP:3()!ePR 语言求： )4(/)xp(*gam12(3) 3()0.98XPX从而有 1122()().457330.3()PX1.3 解：设 A 为从产品中随机取出 8 个，有 3 个不合格，则 58)1AC（1） 由题意知 ()1,0从而有.10,)1(54
2、)|( 546/, )6,(1)(1)(1)()(|)|(53 530453053 08530 AbetaBRBddCAP：语 言 求（2）.10,)1(84)|( 847/, )7,(1)(1)(12)()(|)|(63 630463063 05830 AbetaBRBdddCAP：语 言 求1.5 解：（1）由已知可得 .512.,10/)(|)|(,210,5)|( 12,2,)|( 5.122101 dxpxpxx， ， 即， 时 ，当（2）由已知可得 .615.,10/)(|,(),|(,201,0) 6.15.)|( ,29,4.2,1.21,7.1 215.2)|,( 9,4.,
3、.,7.,5.0. 62)|,(6.1510626216162 54316 dxpxxpxp xxii ， 即， 时 ，当【原答案：由已知可得 ()1,0Px1(),02.615.mxd从而有】()()10,.51.6Px1.6 证明：设随机变量 ， 的先验分布为 ，其中 为已知，则()XP:(,)Ga,即 得 证 ！ ),(),|( )(|,(),|(0) ,!)|,(121)(1212 1121 1 nxGaxexpxexexpninx nnnixniixnni nii 【原答案： (),0!xeP1(),因此 11()()xxxPee所以 】,1Ga:1.7 解：（1）由题意可知 .1,
4、max,1)/(12)(|,(),|(10) ,21,0,2)|,( 121,max21,max1102121 121 nnnnini nnni iniin ddxdxpnixxxpnn 【原答案：由题意可知 (),0因此 12()(1)xmdx因此 2()(),1Pxx（实质是新解当 n=1 的情形） 】（2） 由题意可知 .1,max,1)/(132)(|,(),|(,103) ,21,0,2)|,( 12-1,max2-1,max212102121 121 nnnnini nnni iniin ddxdxpx nixxpnn 【原答案：由题意可知 120()36x因此 】(),()Pxm
5、1.8 解：设 A 为 100 个产品中 3 个不合格，则 39710()()AC由题意可知 9(20),因此 397194296()(1)()()AP由上可知 )297,5|Be1.9 解：设 X 为某集团中人的高度，则 2(,5)XN:2(,)10N:2(76.53)pxe由题意可知 2(17.)508().e又由于 是 的充分统计量，从而有X()()()xpx222(176.53)(17.)(174.6)508ee因此 (174.6,2)xN:1.10 证明：设 2,u其 中 为 已 知又由于 是 的充分统计量，从而有X()()()xpx222251()() 1()155 uxxuee因
6、此 2251(,)uxN:又由于 215所以 的后验标准差一定小于11.11 解：设 X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则 (0,)XU:.8,61)/( 192)(|,(,|,4192)(.8)|,5.3,21,01)|,(787 874321321332133 d dxpxxpixi， 时 ，当【原答案：设 X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则 (0,)XU:1(),0pxx当 时，83()48921()892mxd从而有 , 计算错误】7()3()128pxm1.12 证明：由题意可知 ,0,.inn从而有 ()()xpx011nn因此 的后验分布仍是 Pareto
7、分布。1.13 解：由题意可知 213316451.15 解：（1）设 的先验分布为 ，其中 为已知(,)Ga,由题意可知.0, )(|,(),|(.).,21,0)|()|,(1212 1121 1 ni niixn ixnixniinexpe nexxp 所以 是参数 的共轭先验分布。(,)Ga【原答案：设 的先验分布为 ，其中 为已知(,)Ga,由题意可知 11()(),0,2.ninxiipxxein从而有 ()p1 1()n ni ix xneee 因此 1(,)nixGa:所以 是参数 的共轭先验分布】(,)a（3） 由题意可知 20.0.4211.16 解：设 ，则2112(,)
8、(,)XN: 21()12(,)xpxe221()12(,)nixpxe由题意可知 122(0,)N:2(,)Ga:从而有 211()12122, ()e因此 222111()212121,(,), nniinnxxp 1.19 证明：设 的先验分布为 ， ，则()XP:,0!xe,ni nixin epxpni1121 !)|()|,( 1从而有 )()(|,(),|( 12121 nxnn expxi令 ，则 , 1niT)PT)()(|()|(!)(|( 11111 nxninini inxexpexii所以， , ),|()|(211nni x 的 充 分 统 计 量 。是故 i1第二
9、章 贝叶斯推断2.1 解：由题意可知 ,0设 是从随机变量 X 中抽取的随机样本，则nxx,21 ni nxnnixin iixpp11121 1)()()|()|,( 从而有10,)1()()|,(),|(1 212 nxn nii xxp所以)1,(),|( 121 nxnBexniin（1）由题意可知 ,3,1x523),()|(1EBex(2) 由题意可知 5,2,3, 31xxn384 )8,4(),|(321EBex【原答案: 由题意可知 1,0设 是从随机变量 X 中抽取的随机样本，则nxx,21 11()()()nixniipx从而有 1()(),0nixnx所以 1,)niB
10、ex:（1） 由题意可知 n=1,x=3(2,4)x13E（2） 由题意可知 123,5nxx(4,1)xBe:， 由于原题几何分布分布律出错，导致结果出错】415E2.2 解：设 X 为银行为顾客服务的时间，则 ()xpxe ni xnnixin niiiexp1121 1)|()|,( 设 的先验分布为 ，则(,)Ga200421由题意可知 3.8x从而有)()|,(),|( 2121 nn xxp1111 1nii ii xx nxn n neeee 因此有)2.76,04.(),(),|(21 GaxnGaxn所以有276042),|(21 nExx1110() 4.021nxnxed
11、 2.3 解：设 X 为磁带的缺陷数，则 ()Xp:313131321 !)|()|,( 31iixi iixi eexpxp ii 由题意可知 2,0e从而有 .164),|(,41 ,(|),|(602)(|,(),|( 23214131 233231 1 xVarGaxe expxE xi 即 ： 时 ，当2.4 解：设 X 为 n 个产品中不合格数，则 (,)Xbin:由题意可知 49(1),01（1） 由题意可知 2,bi:317()()px31749726()()(1)因此 (8,27)xBe:又 66725()1(1)0:所以 3MD（2） 由题意可知 且(2,)Xbin:726
12、(1)20()1)px(72620746(1)()()因此 8,4)xBe:所以 753MDE2.5 解:设 ，则2(,)XN2令204n设 ，则 ，且(,1)u:21(,)xNu:其中 2201 022101214()()0.1EMSVarxn2.6 解：设 X 为 1000 名成年人中投赞成票的人数，则 (10,)Xbin:（1）由题意可知 710290()(),pCa. 71290701()A(2,9)Be:b. 710290371290()()Bp710(4,1)e（2）a. 2700.798Eb. 4()11（3）由题意可知 00(),xxpCa. 110() ()xAx2,1Bex
13、:()03EAb. 10310()()xxxxBxp(4,1)e:)05EBx- = - =A2132.7 解：由题意可知 1(),0pxx(),0,2.inpxn令 ，则112ma.nx1 01()()()nmxpd 从而有 11(,)npx11 1()()nE nd 1221 21()() ()nnExd 22 22(1)1()()()()()E nnMSVarxEx 2.8 解：（1）由题意可知 21()nxpxe(1)e因此 221(1)(1)2xnxne所以 (,xIGa:（2）2()12xVrn()12xEn（3） 由题意可知 2()nxpxe22(1)nxne2(,)nxIGa:
14、21MDn21Enx第三章 先验分布的确定3.1 大学生中戴眼镜的比例是 0.73.6 （1）由题意可知 因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。（2）由题意可知 令 ，则1,1()20xpx 其 他 2211()pxx21x因此，该密度是尺度密度。（3）由题意可知 令 ，则因此，该密度是尺度密度。3.8 解：（1）由题意可知设 是来自 X 的简单随机样本，则2,.nX对上式分别求一阶导、二阶导得（2）由题意可知 设 是来自 X 的简单随机样本，则12,.nX 21111l()lnln()ln()ixi i ii iilxpxCx对上式分别求一阶导、二阶导得（3）由题意可知 1()()xmx
15、pC100(),axpx100ax 00(),()!xep111 11l()llnl!nixn ni i iii iiielxpxxx 1niilx221niilx221() nxxiilIEE n()()xnxn211niniiilx 22 121iniiilx22 121() ()ninxxilIE2(1)n设 是来自 X 的简单随机样本，则12,.nX11 11l()lnlnl()ixi miiilxpxCx 对上式分别求一阶导、二阶导得（4）由题意可知 设 是来自 X 的简单随机样本，则12,.nX111l()lnllnni iiiilxpx x对上式分别关于 求一阶导、二阶导得(5)
16、 由题意可知 设 是来自 X 的简单随机样本，则12,.nX111l()lnllnni iiiilxpx x对上式分别关于 求一阶导、二阶导得（6）由题意可知 设 是来自 X 的简单随机样本，则12,.nX111l()lnllnni iiiilxpx x对上式分别关于 求导得1nilm222nil2122() ()nixxxlmmIE2()n1lnl()iix22l 1(),0xe22 2()xxlIEnn 2n1nil22l1(),0xe22()xxlnIE2 22l1(,),0xe22l ln令 ，则,3.9 证明：由题意可知 lniiilxpiiI由于各 独立，因此有iX12 11(,.
17、)lnlnkkkiiiiiilxpxpx由上式可得出 因此有 1detkiiII所以 3.10 解: 由题意可知 0.12.,e因此有所以有3.11 解：由题意可知 22 2det 1nIn 22 2lEnn22ln()lE221n 2ii xIE2iil20ij11tkkkiiiiiI0.10.1123(,)()e,xxhxp 0.10.10.130().ee. .x xxxmd121211(,.,.)()!iixnnnii iiepxpx11211 1,.() niinni i iiie 所以有 (,)()hxp进而有 第四章 决策者的收益、损失与效用4.1 解：令 ；123:畅 销 ，
18、:一 般 ， 滞 销 123: :aaa大 批 生 产 ， :中 批 生 产 ， 小 批 生 产（1）122305(,)496aQ（2） 1,230,1min()26,3ijjaj1,231,23xi()ijjQ因此，在悲观准则下，最优行动为 3a（3） 1,230,1max()52,3iji jQj1,231,23()0ijji因此，在乐观准则下，最优行动为 1a（4） 1()0.8.2(60)8Ha2353()9.因此，在乐观系数为 0.8 时，最优行动为 1a4.2（1） 1,235,1max()02ijjQ1,2,ijj12121212(0,),.,.),nnnnmxd因此，在乐观准则
19、下，最优行动为 1a（2） 1,237,min()2ijjQa1,2,axijj因此，在悲观准则下，最优行动为 1a（3） 1()0.735.729.6Ha2 4因此，在乐观系数为 0.7 时，最优行动为 1a4.3 解：由题可知 10.630.(6)0.3Qa235.4.2.149.9因此，在先验期望准则下，最优行动为 1a4.4 解;(1) :510A(2) ,(,)5aQ35612412345600987532400aaa (3) 1,2.65,123,min()4,506ijjjQaj1,2.61,2.6axin()ijj a因此，在悲观准则下，最优行动为 6a(4) 1()2525H
20、a301463()31428Ha5()1460034.5 解：35612412345605210aaaL11(,).91.0.42.50.14aEa2205198L同理可得 34565.71,.1,.7,2.aaLaa因此，在该先验分布之下 为最优行动。4.6 解：3121230560839aaL4.7 解：312123500aaQ4.8 解：（1） 50,7aWa（2） 2,50L4.9 解：令 为 时的状态， 为 时的状态， 为 时的状态，1%210%2320%为第一种支付办法， 为第二种支付办法，则1a2a1213045aQ因此有 10%20%11 120%,(,4)(,4)5(,4)7
21、.9QaEaBedBedBed 220所以该厂决策者应采取第一种支付办法。4.10 解：由题意知 1,6,53La20,61,因此有 6101106(,)534LaEadd2239在先验期望损失最小的原则下最优行动为 1a4.11 证明： 2 2,LaEaE 4.12 证明：设 m 是先验分布的中位数，a 是任一不同于 m 的行动，且 am,则,(,),2(),ma其中 时，a()因此 ,(,),mL所以 (,), 0aELamPamP 4.15 由题意可知 12150aQ（1） 11,a224.5Ea因此，期望收益决策为 1（2）1210aU11,E225.aa因此，期望效用决策为（3）12
22、157aU11,E229.5aa因此，新期望效用决策仍为 24.16 解: 由题意可知 1123940aQ(1) 11,QaE2239.a因此，按直线效用曲线决策，他应该不参加保险。（2）1218.65.84790aaU11,.6E2287aa因此，在该效用曲线下，不应该参加保险。第五章 貝葉斯決策5.1 解：由題意可知設 X 為三件中的不合格品數，則 (3,)Xb:從而有 3()1012xxpC因此有繼而有,.0.233, ,30.12.xxhx0.120.123()(,) .8mdd. . 200, 0.15496h.12.12200()(,)3.3dd所以 （2）由題意可知 120,12
23、3,aAx0 1 2 31()23()x45()6x7()89()x10()12x3()145()x16 a1a1 112 21 1a21a 211 122 a2a1 21 2222aa12122121a2a2211121a21a(3) 0.120.123(3)(,)0.42mhdd3,61,0.1()8 2213,0.1.98,.()546hm2212,.07.61,0.12()03 3,.39.()4hm280,2.45Wa令 ，則2.415080.628:所以有因此有 （4）由（3）的計算可知後驗風險最小的決策函數為5.2 解：（1）令 ，則xd對上式關於 x 求一階導得 ()1cxcx
24、le若 ，則 ，因此0,c()0l(0)l若 ，則若 ，則,x()lx若 ，則0c0（3）對上式關於 求一階導、二階導得1075,La02,157.60 3011 1,.252.7840.8RaELad 017669.63529 2 2110,.7. 13 312501.7RaELad0.12022, .6528.0.1 739.80.122 222,5.10.736971RaELa d.3 364.521,0().,3ax(), 11xxc cELEeeExc , 0xcexc :222,xcELE因此，（4）由題意可知 因此有 所以 從而 5.3 證明：對上式關於 求一階導、二階導得因此由
25、题意可知 因此有所以1lncBEex 222111()() ni ix nnn xxii ipee 2()nxxe1,Nn:2212cnxxcc nEexeede1lncBn2 2 2233332,xxELEcEcxEcxcx 2233, 0xLcxcx :22 32, 0xEE2211()xxxpxee221()xxpe1,2N:233BcE22331xEcxced5.4 证明：由题意可知 因此 所以 5.5 解:由题意可知 因此 所以 21()xpxe2xaa22()lnpx222 2(),lnxxepaxaaLaEE224()axep2()()()11(,) 12x xxH ppEp 2
26、2222 22 2222242 4244111 111axaxx xaxxaxxa aaaaEeEedeedee 2()8a21()xpxe2()xaa2()11lnlnpxx2()xaae 2()111,lnlnln2xxepaxaLaEEa 2()()()1(,)2x xxH ppEp 5.6 解: 由题意可知 因此 由题意可知 01xe因此 01xxe0,Ga:5.8 解：由题意可知因此 由定理 5.5 可知 为后验分布的 分位数。B2 22 22 211411 14 1xxxxaax xx xa aEeEeded 141422aa1(),0xpxeaa()xpxae2()()()11(
27、,) 212x xxH papaLEEE 221 122 11axx xax axaxx xeedeeda 20()1xpx25xe229401310250xxxee94(,)3N:345.9 解:由题意可知 1122()pxpxeuA因此有 11 11222x MWe 其中 ，1MAA()xux所以 BE5.11 解：由题意可知 ()1nxxnpC因此 ,xBenx:由定理 5.2 得 所以 5.13 解：由题意可知 55()1xxpC因此 1,4xBex:所以 0（1） 由定理 5.1 可知 （2） 为 的中位数B1,4e（3） 由定理 5.2 可知 1,01111()nx nxx xp1
28、BEx10 12,nnExexndxx 10,B 2BExn9180,019583()1x xx xp1045BE1Bxx113054()4Ed1 130()（4） 由定理 5.5 可得 为 的 分位数。B1,4e5.14 解：（1）由题意可知 （2）（3） 00(,).127xRaELa5.15 解：由题意可知 ，其中1(,)xNu:209(,)xxELe5.18 解：（1）由题意可知 因此 2(,)15EVPILa先 验因此，在先验期望准则下最优行动为 2a（2）参照 5.1（3）设 X 为两件中的不合格品数，则 ,Xb:00.15(,),La1.(,),15300.1511(,)40.2
29、789xRaELad 0011(,).893.946x.51311x d3211409,6.38.xu12,(,)5aW21075aW120,(,)155,(,)0La2150aL112(,).703La221,01,xxpC因此 所以 因而有 011,250.718.5RaELa同理可得 因此 在后验风险准则下最优决策函数为 2110()(2)3.856EVPIRamRaam后 验（4） -.4375IEVPIS=先 验 后 验 1.4375.2=09NGC5.20 解：令 ，则:a购 买 ,:不 购 买 ,X:每 棵 桔 子 树 的 产 量 2,:XN由题意可知 2.98（1） 令 ，则1
30、2,Qa043.9E由定理 5.6 可知 公司不应该购买这片桔林的桔子。（2）由题意可知 由定理 5.6 可知 2 0(,)10.827168NEVPILaLD先 验121(0).8745.2()0.475iiiiiiiiimpp111112222220.2.58670.34210.7910.48132.69mppmp223.796,9.628431.54Ra 21,0,x1,012,(,)1L（3）由题可知 1(,)xNu:其中由定理 5.6 可知 10.940.13746.EVPI后 验因此 ，=2341.86SI286NGS=为后验下的最优1a（5） 由题意可知 413524135-20921.86=3213.145.21 解：由题意可知 120,1mD（1）由定理 5.6 可知 54.64NEVPIL先 验（2）由题意可知由定理 5.6 可知 30.2.3I先 验同理 2 21 11 124.3.90084., 0.194. .8u ,NL5,.8491172EVPI先 验先 验
