1、中 国 海 洋 大 学 试 题 答案学年第 2 学期 试题名称 ： 热力学与统计物理 （A） 共 2 页 第 1 页 专业年级： 学号 姓名 授课教师名 杨爱玲 分数 一 填空题（共 40 分）1N 个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为 r，系统的自由度为（ Nr ） 。系统的状态可以用（ 2Nr ）维 空间中的一个代表点表示。2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为 ，则每一微观状态出现的概率为（ 1/ ） ，系统的熵为（ kln ） 。3玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理 ）原理，其中（费米）系统的分布必须满足 0 fs
2、 1。4玻色系统和费米系统在满足（ 经典极限条件(或 e - 1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。5 给出内能变化的两个原因，其中（ ）项描述传热， （ ）项描述做功。lll daadU ldalad6对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（ 升高 ） ；如果温度足够低，则会发生（ 玻色 爱因斯坦凝聚 ） 。这时系统的能量 U0（0） ，压强 p0（ 0） ，熵 S0（0） 。7已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为 ，粒子的平均能量为（2kTb 2/4a ） 。xapmzyx22)(18当温度（ 很低 ）或粒子数密度（ 很大 ）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9如果
3、系统的分布函数为 s，系统在量子态 s 的能量为 Es，用 s 和 Es 表示：系统的平均能量为（ ） ，能量涨落为（ sE） （如写成 也得分） 。2()sE2()E10与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数 s 具有特点（ d s / dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分 ） ，同时 s 也满足归一化条件。二计算证明题（每题 10 分，共 60 分）1假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为 0，2 ， 3， 。 。 。 ， 而且都是非简并的，如果系统含有 6 个分子，问：（1）与总能量 3 相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（2）根据公式 计算每种
4、分布的微观态数 ；!lallNa（3）确定各种分布的概率。解：能级： 1， 2， 3， 4，能量值： 0， ， 2，3 ，简并度： 1， 1， 1， 1，分布数： a1, a2, a3, a4, 分布 要满足的条件为： l 6lN3laE满足上述条件的分布有：A： 5,01,.lB： 4,.laC： 3,0,.l各分布对应的微观态数为：6!1;5304!6123ABC所有分布总的微观态数为： 63056ABC各分布对应的概率为：/5.17;30/26.;BCp2表面活性物质的分子在液面（面积为 A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为 m，总粒子数为 N。（1）求单粒子的配分
5、函数 Z1；（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在 x 到 xdx ， y 到 ydy 内，动量在 px 到 pxdp x， py 到 pydp y 内的分子数 dN；（3）写出分子按速度的分布；（4）写出分子按速率的分布。解：（1）单粒子的配分函数 2()12 2()pxymxyAzedpmkThh （2） ()221xyxydpNdNeZh （3）将（1）代入（2 ） ，并对 dxdy 积分，得分子按速度的分布为 22()()mkTvxyxydNevdv（4）有（3）可得分子按速率的分布为：2 22()()mvvkTkTNed3定域系含有 N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级
6、1 0， 2 0，其中 0 大于零且为外参量 y 的函数。求：（1）温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；（2）系统的内能和热容量；（3）极端高温和极端低温时系统的熵。解：（1）单粒子的配分函数为： 00121llZeee 处于基态的粒子数为：011 ;Ne处于激发态的粒子数为：0221;NeeZ温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：0021kTNe极端高温时： 0kT， , 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同；21N极端低温时： 0kT， , 即粒子几乎全部处于基态。210（2）系统的内能：0000l
7、nln()ZeUNeN热容量：0022021()()1()VVCTkkTe（3）极端高温时系统的熵： lnllnNS极端低温时系统的熵：S=04对弱简并的非相对论费米气体，求：（1）粒子数分布的零级近似 f0 与一级修正项 f 1；（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于 。e解：费米气体分布函数为： 1fe（1） 21()fe e ，02f（2）12()DdCV21210()feCVdNe10()fdUeD5金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度 n，（1）简述：T0K 时电子气体分布的特点，并说明此时化学势 0 的意义；（2）证明：T0K 时电子的平均
8、能量 ，简并压强 ；0530025pn（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。（1） 0 表示 T0K 时电子的最能量。电子从 0 的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。f = 1 ( 0)f10T=0K0 (2)0000013220 0100000() 522335fDdCVdUNpnnV(3)T0K 时: 1112fff （T0K 时，只有在 附近 kT 量级范围内的电子可跃迁到高能级，对 CV 有贡献，设这部分电子的数目为 Neff， 则 。每一电子对efkTCV 的贡献为 3kT/2, 则金属中自由电子对 Cv 的贡献为 333()()()
9、222eVef ffkTkkTN晶格的热容量为 Cv3Nk， 4510(:1)2eVffCT6固体的热运动可以视为 3N 个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率 i，内能的表达式为： ，式中的求ikTieU1/0和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于 T3。解：（1）爱因斯坦模型： N 个分子的振动简化为 3N 同频率（ ）的简谐振动，每个振子的能级为 ；1()2n德拜模型：N 个分子的振动简化为 3N 个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限 D， .dB(2) 爱因斯坦模型 : ;12()21l nl eZe /2233ln()()1)kTVUeCNkT高温时： / /1/,3kVeCNk（3）33 4000/ / /01 ()()(1D DikTkT kTi BUdee 上式的第二项与 T 的 4 次方成正比，故 3V授课教师 命题教师或命题负责人 签 字 院系负责人 签 字年 月 日中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸（附页）学年第 学期 试题名称 ： 共 页 第 页
