1、数学校本课程人们为什么要定义复数学习目标：了解数系的扩充与复数的引入的必要性。我们知道，在实数范围内，解方程是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集才能解决对于复数 abi （a、b 都是实数）来说，当 b=0 时，就是实数；当 b0 时叫虚数，当 a=0，b0 时，叫做纯虚数可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事，那么，历史上是如何引进虚数的呢？ 16 世纪意大利米兰学者卡当（ 15011576）在 1545 年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把 10 分成两部分，使它们
2、的乘积等于 40 时，他把答案写成 =40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把 10分成了两部分，并使它们的乘积等于 40给出“ 虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（15961650），他在几何学（ 1637 年发表）中使“虚的数 与“ 实的数 ”相对应，从此，虚数才流传开来 数系中发现一颗新星虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数德国数学家菜不尼茨（16641716）在 1702 年说：“ 虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物” 瑞士数学大师欧拉（1707 1783）说； “一切形如，习的数学武子都是不可能
3、有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地法国数学家达兰贝尔（17171783 ）在 1747 年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b 都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号i，而使用 =一 1）法国数学家棣莫佛（16671754）在 1730 年发现公式了，这就是著名的探莫佛定理欧拉在 1748 年发现了有名的关系式，并且是他在微分公式（1777 年）一文中
4、第一次用 i 来表示一 1 的平方根，首创了用符号 i 作为虚数的单位“虚数” 实际上不是想象出来的，而它是确实存在的挪威的测量学家成塞尔（17451818）在 1779 年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视 德国数学家高斯（17771855 ）在 1806 年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示在直角坐标系中，横轴上取对应实数 a 的点 A，纵轴上取对应实数 b的点 B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点 C 就表示复数abi象这样，由各点都对应复数的平面叫做“ 复平面”，后来又称“高斯平面
5、”高斯在 1831 年，用实数组（ a，b）代表复数 abi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”他又在 1832年第一次提出了“复数” 这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一对应，扩展为平面上的点与复数一对应高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法至此，复数理论才比 较完整和系统地建立起来了 经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了 200 年的幽灵虚数
6、揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集 随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据微积分的发展学习目标：了解导数与微积分的生成背景与其思想的重要性。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分
7、支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
8、”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为
9、微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在 1671 年写了流数法和无穷级数，这本书直到 1736 年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、
10、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686 年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献
11、。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一
12、个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早 10 年左右，但是正是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从 1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是
13、有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布贝努利和他的兄弟约翰贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解
14、决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。微积分的基本内容研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了
15、数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。浅谈杨辉三角的奥秘及应用学习目标：阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问
16、题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。1 杨辉三角与数字 11 的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背 11 的幂，11 的 1 次幂、2 次幂、3 次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与 11 的 n 次幂的关系非常密切。假设 y=11n当 n=0 时： y=1；当 n=1 时： y=11；当 n=2 时： y=121；当 n=3 时： y=1331；当 n=4 时： y=14641；以上是当 n4 时与扬辉三角的前 5 行多一致，接下
17、来我们再来看一下当 n5 时的情况，如下：当 n=5 时： 1 4 6 4 11 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1 当 n=6 时： 1 5 10 10 5 11 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1由上可知：11 的 n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是 11 的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。如下图：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (
18、115)1 6 15 20 15 6 1 (116)其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教我们记 11 的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为 1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而扬辉三角中头尾为 1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。2 杨辉三角与 2 的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15
19、 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )我们知道相加得到的数是 1，2，4，8，16，32，64，刚好是 2 的0，1，2，3，4，5，6，次幂，即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的n-1 次幂。刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下：1与二项式定理的关系：杨辉三角的第 n 行就是二项式 展开式的系数列 。2对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 。3结构特征：杨辉三角除斜边上 1 以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即 。利用以上的性质我们可以预测杨辉三角中任意一行的数字的情况。3 杨辉三角中斜行和水平行之间
20、的关系为了讲解方便我们先讨论杨辉三角中 n 为前 7 行时的情况。分别为每一斜行标号，如图所示：(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第 7 行之前的数字相加得 1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第 7 行之前的数字相加得 1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第 7 行之前的数字相加得 1+3+6+10=20把斜行(4)中第 7 行之前的数字相加得 1+4+10=15把斜行(5)中第 7 行之前的数字相
21、加得 1+5=6把斜行(6)中第 7 行之前的数字相加得 1将上面得到的数字与杨辉三角中的第 7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 由上面可猜想得到：杨辉三角中 n 行中的第 i 个数是斜行 i-1 中前 n-1个数之和，即第 n 行的数分别为 1、斜行(1)中第 n 行之前的数字之和、斜行(2)中第 n 行之前的数字之和、斜行(3)中第 n 行之前的数字之和、斜行(4)中第 n 行之前的数字之和、斜行(n-3)中第 n 行之前的数字之和、1。证明结论：假设当 n=
22、k 时成立，即第 k 行的数分别为 1、斜行(1)中第 k 行之前的数字之和、斜行(2)中第 k 行之前的数字之和、斜行(3)中第 k 行之前的数字之和、斜行(4)中第k 行之前的数字之和、斜行(k-3)中第 k 行之前的数字之和、1。则 n=k+1 时因为杨辉三角中的每一个数是它肩上的两数之和所以第 k+1 行的第一个数为：1第 k+1 行的第二个数为：第 k 行的第一个数 1 与第二个数之和因为第 k 行的二个数等于斜行(1)中第 k 行之前的数字之和所以第 k 行的第一个数 1 与二个数之和就等于斜行(1)中第 k+1 行之前的数字之和。同理可得到第 k+1 行的第三个数为：斜行(2)中
23、第 k+1 行之前的数字之和。第四个数为：斜行(3)第 k+1 行之前的数字之和、综上所述结论成立。4 以杨辉三角为背景的问题分析由上可知，在古老的杨辉三角中存在着很多奥秘，如果把他的这种性质合理的应用到现实生活中或者是教学中，将会让我们更进一步的认识到杨辉三角的美妙及杨辉三角这一伟大的发现的现实意义。4.1 杨辉三角在弹球游戏中的应用如图 1 的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（AG 区奖品最好，BF 区奖品次之，CE 区奖品第三，D 区奖品最差）。A B C D E F
24、 G图 1我们来分析一下为什么小球落到不同区域奖品会有如此大的差别？A 区的奖品价值高于 D 区，说明小球落入 A 区的可能性要比落入 D 区的可能性小，转化为数学问题就是小球落入 A 区和 D 区的概率。小球要落入 D 区的情况有两种，有概率知识得：D1 D2D 就是说，小球落入 D 区的概率是等于它肩上两区域概率之和的 ，据此小球落入各区的概率为可以按以上方法类推，如下：A B C D E F G 图 2观察上图，小球落到 AD 两区的概率要比其它区域小的多，当然奖品就要多一些。从该图中不难发现各区域的概率分子与杨辉三角形完全一致，我们可以利用杨辉三角的性质直接得出小球落到 AD 两区的概
25、率要比其它区域小的多。该题是一道将杨辉三角的性质与概率的性质结合在一起而设置的一种游戏。可想而知，技术人员在设置这个游戏时利用杨辉三角和概率的某些性质而制成的。这是个令人惊喜的游戏，它为课堂教学提供了一个生动的实例。4.2 路径中的杨辉三角小红家到学校之间有很多的交叉路口，每一个交叉路口都有两条路可以走如图 3，一天小红有事需要尽快回家，可是小红却不知该走那条路好，请帮小红找出一条最近的路。解：如图 4（为了讨论方便我们把家看成甲地，学校看成乙地。）从甲地到乙 1地有 2 种走的方法。 甲 图 4 乙 1如图 5，从甲地到乙 2地有 3 种走的方法，等于到 乙 1的走法加上 1。甲 图 5 乙
26、 2如图 6，从甲地到乙 3地有 3 种走的方法，刚好是到乙 2的走法加上1。 甲 12图 6 乙 3 如图 7，从甲地到乙 4地有 6 种走的方法，刚好是到乙 2的走法加上到乙 3的走法。甲 1图 7 乙 4 随着甲乙两地之间距离的增大，从甲地到每一个交叉点的走法如图 8所示： 甲 0 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 91 3 6 10 15 21 28 361 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91 图 8上图所示从甲到每一个交叉点的走法与杨辉三角很相似，由此当我
27、们遇到如上所示的路径的问题我们可以根据杨辉三角来确定它到另一端的走法。其实这个图形在西方数学史上已有记载，它就是法国数学家帕斯卡发现的被世人称为“帕斯卡三角形”。从该图中我们很容易得到二项式任意正整次幂的系数展开。记得华东师大的霍益萍教授讲过：“时间的开放，形式的开放，都是次要的，重要的是思维的开放，思想的开放。” 夸美纽斯也有一句名言：“教一个活动的最好办法是演示。”演示是直观教学的一种，而直观的东西一般容易被人接受。我们常说，发现一个问题往往比解决问题更重要，而“发现”靠的并不都是逻辑思维，直观性的思维有时能出奇制胜。在数学教学中强化直观教学，也许可以使沉闷的课堂教学活泼起来。而杨辉三角中
28、的内在规律是课堂教学中培养学生直观思维的一个非常完美的实例。总上所述，古老的杨辉三角的某些优美的性质在现代生活中得到了充分的体现，令人不由为灿烂的古代文明心生自豪之情。数学史上一个大恩怨的真相学习目标：关于解三次方程的故事数学史上这个著名的大恩怨许多人在中学学习解方程时都听老师讲过。故事说，文艺复兴时期意大利数学家塔塔利亚发现了三次方程的解法，秘而不宣。一位叫卡当的骗子把解法骗到了手，公布出来，并宣称是他自己发现的。塔塔利亚一气之下向卡当挑战比赛解方程，并大获全胜，因为塔塔利亚教他时留了一招。不过，至今这些公式还被称作卡当公式， 塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号，意大利语意思是
29、“结巴”。网上广为流传的一篇数学和数学家的故事一文就是这么介绍的。然而，这个流行版本从总体到细节都是错误的。塔塔利亚不仅留下了名字(其真名叫尼科洛方塔纳)，而且也留下了有关这一争执的著作。后人对此事的看法在很大程度上就是受塔塔利亚一面之词的影响。塔塔利亚与卡当之间并未进行过数学比赛，和塔塔利亚比赛的另有其人。在当时的意大利，两个数学家进行解题比赛成了风气，方式是两人各拿出赌金，给对方出若干道题，30 天后提交答案，解出更多道题的人获胜，胜者赢得全部赌金。塔塔利亚很热衷于参加这种比赛，并多次获胜。当时经常出现的比赛题目是三次方程，因为三次方程的解法还未被发现。意大利博洛尼亚数学家费罗发现了三次方
30、程的一种特殊形式“三次加一次”的解法，临死前传给了学生费奥。费奥的数学水平其实很差，得到费罗的秘传之后便吹嘘自己能够解所有的三次方程。塔塔利亚也自称能够解三次方程，于是，两人在 1535 年进行了比赛。塔塔利亚给费奥出了 30 道其他形式的三次方程，把费奥给难住了。费奥则给塔塔利亚出了 30 道清一色的“三次加一次”方程题，认定塔塔利亚也都解不出来。塔塔利亚在接受费奥挑战的时候，的确还不知道如何解这类方程题。据说，是在最后一天的早晨，塔塔利亚在苦思冥想了一夜之后，突然来了灵感，发现了解法，用了不到两个小时就全部解答了。塔塔利亚欣喜若狂，宽宏大量地放弃了费奥交的赌金。哥 德 巴 赫 猜 想学 习
31、 目 标 ： 了 解 有 关 哥 德 巴 赫 猜 想 的 背 景 与 知 识 ， 提 高 学 生 学 习 数 学 的兴 趣哥 德 巴 赫 （ Goldbach C.， 1690.3.181764.11.20） 是 德 国 数 学 家 ；出 生 于 格 奥 尼 格 斯 别 尔 格 （ 现 名 加 里 宁 城 ） ； 曾 在 英 国 牛 津 大 学 学 习 ；原 学 法 学 ， 由 于 在 欧 洲 各 国 访 问 期 间 结 识 了 贝 努 利 家 族 ,所 以 对 数 学 研究 产 生 了 兴 趣 ； 曾 担 任 中 学 教 师 。 1725 年 ， 到 了 俄 国 ， 同 年 被 选 为 彼
32、得堡 科 学 院 院 士 ； 1725 年 1740 年 担 任 彼 得 堡 科 学 院 会 议 秘 书 ； 1742 年 ，移 居 莫 斯 科 ， 并 在 俄 国 外 交 部 任 职 。【 哥 德 巴 赫 猜 想 的 来 源 】1729 年 1764 年 ， 哥 德 巴 赫 与 欧 拉 保 持 了 长 达 三 十 五 年 的 书 信 往 来 。在 1742 年 6 月 7 日 给 欧 拉 的 信 中 ， 哥 德 巴 赫 提 出 了 一 个 命 题 。 他 写道 ：“我 的 问 题 是 这 样 的 ：随 便 取 某 一 个 奇 数 ， 比 如 77， 可 以 把 它 写 成 三 个 素 数 之
33、 和 ：77=53+17+7；再 任 取 一 个 奇 数 ， 比 如 461，461=449+7+5，也 是 这 三 个 素 数 之 和 ， 461 还 可 以 写 成 257+199+5， 仍 然 是 三 个 素数 之 和 。 这 样 ， 我 发 现 ： 任 何 大 于 7 的 奇 数 都 是 三 个 素 数 之 和 。但 这 怎 样 证 明 呢 ？ 虽 然 做 过 的 每 一 次 试 验 都 得 到 了 上 述 结 果 ， 但 是不 可 能 把 所 有 的 奇 数 都 拿 来 检 验 ， 需 要 的 是 一 般 的 证 明 ， 而 不 是 一 个 别的 检 验 。 “欧 拉 回 信 说 ：
34、 “这 个 命 题 看 来 是 正 确 的 ， 但 是 他 也 给 不 出 严 格 的 证明 。 同 时 欧 拉 又 提 出 了 另 一 个 命 题 ： 任 何 一 个 大 于 2 的 偶 数 都 是 两 个 素数 之 和 ， 但 是 这 个 命 题 他 也 没 能 给 予 证 明 。 ”不 难 看 出 ， 哥 德 巴 赫 的 命 题 是 欧 拉 命 题 的 推 论 。 事 实 上 ， 任 何 一 个大 于 5 的 奇 数 都 可 以 写 成 如 下 形 式 ：2N+1=3+2(N-1)， 其 中 2(N-1) 4.若 欧 拉 的 命 题 成 立 ， 则 偶 数 2(N-1)可 以 写 成 两
35、 个 素 数 之 和 ， 于 是 奇数 2N+1 可 以 写 成 三 个 素 数 之 和 ， 从 而 ， 对 于 大 于 5 的 奇 数 ， 哥 德 巴 赫的 猜 想 成 立 。但 是 哥 德 巴 赫 的 命 题 成 立 并 不 能 保 证 欧 拉 命 题 的 成 立 。 因 而 欧 拉 的命 题 比 哥 德 巴 赫 的 命 题 要 求 更 高 。现 在 通 常 把 这 两 个 命 题 统 称 为 哥 德 巴 赫 猜 想【 哥 德 巴 赫 猜 想 的 小 史 】1742 年 ， 哥 德 巴 赫 在 教 学 中 发 现 ， 每 个 不 小 于 6 的 偶 数 都 是 两 个素 数 （ 只 能 被
36、 1 和 它 本 身 整 除 的 数 ） 之 和 。 如 6 3 3， 12 5 7 等 等 。公 元 1742 年 6 月 7 日 哥 德 巴 赫 写 信 给 当 时 的 大 数 学 家 欧 拉 ， 欧 拉 在 6月 30 日 给 他 的 回 信 中 说 ， 他 相 信 这 个 猜 想 是 正 确 的 ， 但 他 不 能 证 明 。 叙述 如 此 简 单 的 问 题 ， 连 欧 拉 这 样 首 屈 一 指 的 数 学 家 都 不 能 证 明 ， 这 个 猜想 便 引 起 了 许 多 数 学 家 的 注 意 。 从 哥 德 巴 赫 提 出 这 个 猜 想 至 今 ， 许 多 数学 家 都 不
37、断 努 力 想 攻 克 它 ， 但 都 没 有 成 功 。 当 然 曾 经 有 人 作 了 些 具 体 的验 证 工 作 ， 例 如 : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, 等等 。 有 人 对 33108 以 内 且 大 过 6 之 偶 数 一 一 进 行 验 算 ， 哥 德 巴 赫 猜 想(a)都 成 立 。 但 严 格 的 数 学 证 明 尚 待 数 学 家 的 努 力 。 从 此 ， 这 道 著 名 的 数 学 难 题 引
38、起 了 世 界 上 成 千 上 万 数 学 家 的 注 意 。200 年 过 去 了 ， 没 有 人 证 明 它 。 哥 德 巴 赫 猜 想 由 此 成 为 数 学 皇 冠 上 一 颗 可望 不 可 即 的 “明 珠 “。 人 们 对 哥 德 巴 赫 猜 想 难 题 的 热 情 ， 历 经 两 百 多 年而 不 衰 。 世 界 上 许 许 多 多 的 数 学 工 作 者 ， 殚 精 竭 虑 ， 费 尽 心 机 ， 然 而 至今 仍 不 得 其 解 。 到 了 20 世 纪 20 年 代 ， 才 有 人 开 始 向 它 靠 近 。 1920 年 挪 威 数 学 家布 朗 用 一 种 古 老 的
39、筛 选 法 证 明 ， 得 出 了 一 个 结 论 ： 每 一 个 比 大 偶 数n（ 不 小 于 6） 的 偶 数 都 可 以 表 示 为 九 个 质 数 的 积 加 上 九 个 质 数 的 积 ， 简称 9+9。 这 种 缩 小 包 围 圈 的 办 法 很 管 用 ， 科 学 家 们 于 是 从 （ 9 十 9） 开始 ， 逐 步 减 少 每 个 数 里 所 含 质 数 因 子 的 个 数 ， 直 到 最 后 使 每 个 数 里 都 是一 个 质 数 为 止 ， 这 样 就 证 明 了 哥 德 巴 赫 猜 想 。 目 前 最 佳 的 结 果 是 中 国 数 学 家 陈 景 润 于 1966
40、 年 证 明 的 ， 称 为 陈 氏 定理 ： “任 何 充 分 大 的 偶 数 都 是 一 个 质 数 与 一 个 自 然 数 之 和 ， 而 后 者 仅 仅是 两 个 质 数 的 乘 积 。 ”通 常 都 简 称 这 个 结 果 为 大 偶 数 可 表 示 为 “1 + 2”的 形 式 。 哥 德 巴 赫 猜 想 证 明 进 度 相 关在 陈 景 润 之 前 ， 关 于 偶 数 可 表 示 为 s 个 质 数 的 乘 积 与 t 个 质 数 的乘 积 之 和 (简 称 “s + t”问 题 )之 进 展 情 况 如 下 : 1920 年 ， 挪 威 的 布 朗 证 明 了 “9 + 9”。
41、 1924 年 ， 德 国 的 拉 特 马 赫 证 明 了 “7 + 7”。 1932 年 ， 英 国 的 埃 斯 特 曼 证 明 了 “6 + 6”。 1937 年 ， 意 大 利 的 蕾 西 先 后 证 明 了 “5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和 “2 + 366”。 1938 年 ， 苏 联 的 布 赫 夕 太 勃 证 明 了 “5 + 5”。 1940 年 ， 苏 联 的 布 赫 夕 太 勃 证 明 了 “4 + 4”。 1948 年 ， 匈 牙 利 的 瑞 尼 证 明 了 “1+ c”， 其 中 c 是 一 很 大 的 自 然数 。 1956 年 ， 中 国 的
42、王 元 证 明 了 “3 + 4”。 1957 年 ， 中 国 的 王 元 先 后 证 明 了 “3 + 3”和 “2 + 3”。 1962 年 ， 中 国 的 潘 承 洞 和 苏 联 的 巴 尔 巴 恩 证 明 了 “1 + 5”， 中 国的 王 元 证 明 了 “1 + 4”。 1965 年 ， 苏 联 的 布 赫 夕 太 勃 和 小 维 诺 格 拉 多 夫 ， 及 意 大 利 的 朋 比利 证 明 了 “1 + 3 ”。 1966 年 ， 中 国 的 陈 景 润 证 明 了 “1 + 2 ”。 从 1920 年 布 朗 证 明 “9 9“到 1966 年 陈 景 润 攻 下 “1 2”，
43、 历 经46 年 。 自 “陈 氏 定 理 “诞 生 至 今 的 40 多 年 里 ， 人 们 对 哥 德 巴 赫 猜 想 猜 想的 进 一 步 研 究 ， 均 劳 而 无 功 。古代中国篇十进制和二进制的故乡学习目标：了解中国古代的二进制与十进制思想，提高学生学习数学的兴趣，同时增强学生民族自豪感。古代中国是世界四大文明古国之一。在世界数学发展史上，古代中国的数学成就占有相当重要的位置。在人类文化发展的初期，中国人对数学的研究成果，实际上远远领先于古巴比伦和古埃及。早在五、六千以前，古代中国人就发明了简洁的数学符号，到了三千多年前的商朝（约公元前十六世纪到公元前十一世纪），刻在甲骨和陶器上的
44、数字，已经十分常见。通过对当时甲骨文的研究，发现其中有表示一、十、百、千、万、的十三种计数单位，这说明当时中国人的计数方法，已经采用了人类现行的“十进制”。中国人最早使用十进制的另一个例证， 是现行数字符号“0”原本起源于中国的古籍。中国古人在删除文章中错字的时候，采用的就是“圈除”这种方法，久而久之，这个“”就成为表示“不存在”，也就是“零”的符号了。而古印度正式使用“0”这个符号，已经是公元 876 年前后的事了。只有表示“零”的符号“0”产生后，人类发明的十进制才算完备。 因此，中国是当之无愧的“十进制故乡”。中国古人在运算过程中，采用的是“算筹”这种工具。“算筹”就是一些用木、竹制作的
45、匀称小棍，中国古人把这些小棍纵横布置，就可以表示出任何一个自然数来。据考证，至少在两千五百多年前的春秋时代，我国古人的算筹记法就已经相当完备了。这种表示数字的方法，无疑走在世界的前列。我国古人对圆周率的研究，就不用多说了。早在魏晋时期，著名数学家刘徽就计算出了极为准确的圆周率值3.1416。南北朝时期伟大的数学家祖冲之，进一步计算出圆周率的准确值在 3.1415926 和 3.1415927 之间。而欧洲人在 1000 年之后，才计算出如此精确的圆周率。我国周朝数学家商高是世界上最早提出勾股定理的人，早于古希腊的毕达哥拉斯。南宋时期的数学家杨辉，创立了数学史上著名的“杨辉三角”，这是人类数学史
46、上对二项式系数的最早探究。除此之外，中国古人发明的“乘法口诀”（也就是俗称的“九九表”），大大提高了乘法和除法的笔算效率。中国古人发明的算盘，则被世界公认为现代计算机的前身。最奇妙的一件事，莫过于微积分的创始人之一法国数学家莱布尼兹所认为的，中国是现代计算机理论中“二进制”的故乡。莱布尼兹对中国古籍易经有很深入的研究，他认为易经中的八卦图形，所记录的内容就是“二进制”的思想。按照他的说法，易经中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”无疑就是“二进制”思想的体现了。所以说，古代中国的数学家，不愧为现代数学理论的奠基人；古代中国的数学研究成果，不愧为现代数学理论的基础。四色猜想学习目标：了解四色
47、猜想的背景，提高学生学习数学的兴趣。世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四
48、色猜想之谜铺平了道路。进入 20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100 多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。无理数的风波学习目标：通过无理数的故事，把活灵活现的数学展示给学生，提高学生对数学的兴趣。无限不循环小数叫无理数。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。公元前 6 世纪，古希腊有个毕达哥拉斯学派一个宗教、科学和哲学性质的帮会，在数学研究上有很大成绩，以勾股定理、无理数的研究最为著名。毕达哥拉斯学派有一个信条：宇宙间的一切数都能归结为整数或整数之比。毕氏的一个门徒希伯索斯，在研究等腰直角三角形斜边与一直角边之比，或正方形对角线与其一边之比时，发现其比不能用整数之比表达时，便很吃惊。他们证明了这个数不是整数，绞尽脑汁也找
