1、绝密启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学注意事项：1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ， ，则|1
2、2Ax|03BxABA B C D(,3)(,)(,2)(2,3)2若 a 为实数，且 ，则 a = 31aiA-4 B-3 C3 D43根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年190020002100220023002400250026002700A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2
3、006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4向量 ， ，则(1,)a(1,2)b()abA-1 B0 C1 D35设 Sn 等差数列 的前 n 项和。若 a1 + a3 + a5 = 3，则 S5 = nA5 B7 C9 D116一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A B C D181716157已知三点 ， ， ，则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为(,0)(,3)(2,)A B C D531438右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的
4、 a = A0 B2 C4 D149已知等比数列 满足 ，a 3a5 = ，则n14(1)a2 = A2 B1 C D2810已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB = 90，C 为该球面上的动点。若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为A36 B64 C144 D25611如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2，BC = 1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记AOB = x。将动点 P 到A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 ，则 的图象大致为()fx()yfx12设函数 ，则使得 成立的 x 的取值范围是21()ln|)
5、fxx()21)fxA B C D1,3(,(,3(,31(,)(,)3第 II 卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13已知函数 的图象过点 ，则 a = _。3()2fxa(1,4)14若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为_。5021xy2zxy15已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为_。(4,3) 116已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则 a = _。lnyx(1, 2()
6、1yax三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分BAC ，BD=2DC。（1）求 ；sinBC（2）若 ，求 。60A18 （本小题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表。A 地区用户满意度评分的频率分布直方图40 50 60 70 80 90 满意度评分O 1000.0050.0150.0250.035频率/组距0.0100.0200.0
7、300.040B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 50,6),70),8)0,9),10频 数 2 8 14 10 6（1）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） ；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图O0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040频率/组距50 60 70 80 90 100 满意度评分（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级
8、 不满意 满意 非常满意估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由19 （本小题满分 12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点 E，F 分别在 A1B1， D1C1 上，A 1E = D1F = 4，过点 E，F的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ；（2）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值。20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 在 C 上。21(0)xyab2(,)（1）求 C 的方程；（2）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐
9、标轴，l 与 C 有两个交点 A，B ，线段 AB 的中点为 M。证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。21 （本小题满分 12 分）已知函数 。()ln(1)fxax（1）讨论 的单调性；f DD1 C1A1 EFA BCB1（2）当 有最大值，且最大值大于 2a - 2 时，求 a 的取值范围。()fx请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22 （本小题满分 10 分）选修 4 - 1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与 ABC 的底边 BC交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G
10、，且与 AB， AC 分别相切于 E， F 两点。（1）证明：EF BC；（2）若 AG 等于O 的半径，且 ，求四边形 EBCF 的面积。23AEMN23 （本小题满分 10 分）选修 4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （t 为参数，t 0） ，其中 0 cd；则 ；（2） 是 的充要条件。abcd|abcdGAE FONDB CM参考答案一选择题（1）A （2）D （3）D （4）C （5）A （6）D（7）B （8）B （9）C （10）C （11）B （12）A二填空题（13）-2 （14）8 （15） （16）8214xy三解答题（17）解：（）由正
11、弦定理得 ,sinisiniADBADC因为 平分 ，所以2Ci1sB（）因为 ，所以80(),60ABC 31sinicosin2CB由（）知 ，所以 ，即2siinBC3ta0（18）解：（）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值； B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散。（）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。记 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意 ”； 记 表示事件：“B 地区用户的满C C意度等级为不满意” 。由直方图得 的估计值为()AP(0.12.03)1.6的
12、估计值为BC55所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。（19）解：（）交线围成的正方形 如图：EHGF（）作 ，垂足为 M，则EAB1114,2,8AEBMA因为 为正方形，所以HGF0HFC于是 26,6E因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 （ 也正确）97（20）解：（）由题意有 ，224,1abab解得 28,所以 的方程为C214xy（）设直线 12:(0,),(),(),(,)MlykxbAxyBxy将 代入 得284y22(1)80kxkb故 12 2, 1MMxbyk于是直线 OM 的斜率 ，即OkxOMA所以直线 OM 的斜率与直线 的
13、斜率的乘积为定值。l（21）解：（） 的定义域为()fx1(0,)(fxa若 ，则 ，所以 在 单调递增afx)0,)若 ，则当 时， ；当 时， 。所以 在(,)a(fx1(,)a()0fx()fx单调递增，在 单调递减。1(0,)a1（）由（）知，当 时， 在 无最大值；当 时， 在 取得最大0()fx0,)()fx1a值，最大值为 1()lnln1faa因此 等价于12al令 ，则 在 单调递增，()lg()g0,)()0g于是，当 时， ；当 时，01a1a因此， 的取值范围是a(,)（22）解：（）由于 是等腰三角形， ，所以 是ABCADBCA的平分线又因为 分别与 AB，AC 相
14、切于点 E，F，所以O，故AEFDE从而 /BC（）由（）知， ， ，故 是 的垂直平分线.又 为 的弦，所AFEADFEFOA以 在 上O连结 ，则,EMO由 等于 的半径得 ，所以 ，因此 和 都是等AG2AE30OAABCEF边三角形因为 ，所以23E4,因为 ，所以 ，于是1,32OMDN1OD1035,AB所以四边形 的面积为EBCF22036()()（23）解：（）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为220xy3C.230xyx联立 解得 或2,30yxx0,xy,23.xy所以 与 交点的直角坐标为 和2C3(,)3,)2（）曲线 的极坐标方程为 ，其中1 ,0R因此 的极坐标为 ， 的极坐标为A(2sin,)B(3cos,)所以 |3co|4sin)|B当 时， 取得最大值，最大值为 456|（24）解：（）因为 ，2 2(),()ababcdcd由题设 得,cd2()因此（） （）若 ，则 ，即|abc22()()abcd2()44因为 ，所以cdc由（）得 abd（）若 ，则 ，即c22()()abcd2因为 ，所以 ，于是abcdcd2222()()4()4()abcd因此 |c综上， 是 的充要条件abd|c
