1、广东水利电力职业技术学院 数学教学部张静华Tel：38490981 Email：,工 程 数 学,常 微 分 方 程,第一节 微分方程的基本概念,第三节 可降阶的高阶微分方程,第二节 一阶微分方程,第四节 二阶常系数线性微分方程, 可分离变量的一阶微分方程, 齐次方程, 一阶线性微分方程, 二阶常系数线性微分方程解的结构, 二阶常系数线性微分方程的解法,目录,第一节 微分方程的基本概念 微分方程,如,未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；,当未知函, 微分方程,凡含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。,数是多元函数时，微分方程中必出现未知函数的偏导数，因而称,为偏微分方程。,例
2、如，梁的横振动,（b2为常数）,就是一个重要的偏微分方程。,本书只讨论常微分方程及其解法。,微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。, 微分方程的阶,例如，,是二阶微分方程。,练习：试说出下列微分方程的阶数,如果将某个函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，则,求微分方程解的过程称为解微分方程。, 微分方程的解,称这个函数为该微分方程的解。,例如，微分方程,函数,是它的解。,函数,（ C 为常数 ）也是它的解。,又如，微分方程,函数,是它的解。,函数,（ C1、C2 为常数 ）也是它的解。,，容易验证：,，容易验证：,由此可知，微分方程的解有两种：, 微分方程的通解,数，这样的解
3、称为微分方程的通解。,含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶,注：含有几个任意常数的函数式，如果它们不能通过运算合,并而使得任意常数的个数减少，则称这函数式中的几个任意常数,相互独的。,例如，函数,中的两个常数 C1、C2 是相,互独立的，,中的 C1、C2 可以合并成一个常数,C，故不是独立的。, 微分方程的特解,不含任意常数的解称为微分方程的特解。,而,微分方程的通解与特解,用来确定特解的条件称为初始条件。,例1 验证,解 ：,是该微分,，且微分方, 初始条件,的通解。,程,，所以,方程的通解.,第二节 一阶微分方程, 可分离变量的一阶微分方程,一般形式：,解法：, 分离变量
4、, 两边分别对各自的变量积分,即得通解.,例2：,解：将方程分离变量，得,得方程的通解,例3：,解：分离变量,两边积分得,，得方程的通解,可以验证，,可设为任意常数.,通解：,两边积分得,解：分离变量,例4：,的特解.,解：方程变形后分离变量得,两边积分得通解,特解,习题：求下列微分方程的通解或满足初始条件的特解,习题,习题解答：1,解：分离变量，得,两边积分,得,通解,习题解答：2,解：分离变量，得,两边积分,通解为,习题解答：3,解：分离变量，得,两边积分,通解为,（c 为任意常数）.,习题解答：4,解：分离变量，得,两边积分,通解为,，即,习题解答：5,解：分离变量，得,两边积分,通解为
5、,，即,习题解答：6,解：分离变量，得,两边积分,通解为,将初始条件 代入上式，得,所求的特解为, 齐次方程,一般形式：,解法：,代入方程 得,分离变量得,例5：,的通解.,解：方程变为,则,分离变量得,两边积分得,习题及解答,求方程 的通解。,解：方程变为,于是原方程化为,， 即,分离变量，得,， 两边积分，得,当 时，称方程 为非齐次的。, 一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程，,其中，,为已知的连续,函数。,由于方程 中的未知函数 y 及其导数,都是一次的，所,以，称方程 为线性的。,特别地，当 时，称方程 为,齐次的；,例如，方程,是一阶线性非齐次方程；,而方程,是一阶线
6、性齐次方程。,又如，方程 及 是一阶微分方程，,但都不是线性微分方程。, 一阶线性齐次微分方程,分离变量后，得,两端积分，得,方程的通解为,的解法, 一阶线性齐次微分方程,的解法, 一阶线性非齐次微分方程,常数变易法：,设方程的解为,，其中 是待定函数。,u,将 y 、 代入方程，化简得,将上式两边积分，得,通解为,的通解为,将上式改写成两项之和,由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程,的通解与其一个特解之和。, 一阶线性非齐次微分方程解的结构,一阶线性非齐次微分方程, 解法举例：例1,公式法：,通解,例1：,解：,将原方程变形为,通解,解：方程变形为,通解为,由初始条件,，得,
7、特解为,例2,例2：求方程 满足初始条件 的特解。,例3：求微分方程,的通解.,解：将原方程变形为,通解,例3,例4,一曲线通过点,，且该曲线上任意一点,处的切线斜率为,，求该曲线方程。,解：设所求曲线的方程为,，由导数的几何意义得,即,通解为,代入初始条件,，得,，故所求的曲线方程为,习题,习题,2、求满足下列条件的微分方程的特解：,1、求下列微分方程的通解：,习题解答1、,解：通解,习题解答1、,解：通解,习题解答1、,解：方程变形为,通解,解：将原方程变形为,通解,习题解答1、,2、 解：将原方程变形为,通解为,故所求方程的特解为,习题解答2、,2、 解：将原方程变形为,通解,特解,习题
8、解答2、,第三节 可降阶的高阶微分方程,二阶及二阶以上的微分方程，统称为高阶微分方程。本节将,讨论某些特殊的高阶微分方程的求解问题。由于这些高阶微分方,程可以通过适当的变量代换化为较阶的微分方程，故称它们为可,降阶的高阶微分方程，求解这些高阶微分方程所用的方法，称为,降阶法。, 型的微分方程,解法： n 次积分,例 1：,解：,1、, 型的微分方程,解法：,，则,代入方程，得,这是一个关于 x ，p 的一阶微分方程，可用第二节介绍的方,法求其通解，,又因,，所以，又得到一个一阶微分方程,对上式两边积分，便得原方程的通解,令,设其通解为,2、,例 2：求微分方程 的通解。,解：所给方程是二阶微分
9、方程，且不显含 y，,则,，代入原方程有,这是一个可分离变量的一阶微分方程，,分离变量，得,故可设,例2,两边积分，得,，,两边积分，得方程的通解为,即,例 3：求微分方程 的通解。,解：所给方程是二阶微分方程，且不显含 y，,则,，代入原方程有,这是一个一阶线性非齐次微分方程，,其通解为,即,，再次积分得到方程的通解,故可设,例3, 型的微分方程,解法：,，则,代入方程，得,这是一个关于 p ，y 的一阶微分方程，可用第二节介绍的方,法求其通解，,又因,， 所以，得到一个可分离变量的一阶微分方程,应用分离变量法，便可求得原方程的通解。,令,设其通解为,3、,例 4：求微分方程 的通解。,例4
10、,解：所给方程是二阶微分方程，且不显含自变量 x .,，则,令,，代入原方程，得,当 时，约去 p ，得,分离变量得,， 两边积分得,即,也即,再分离变量，得,两边积分，得,或,当 时，,有,，这个解已包含在解,之中（令 即得），,故上式就是所给方程的通解。,例4（续）,例5,例5：求方程 满足初始条件,的特解。,解：令,，则,，原方程变为,积分得,由 ，得,所以,即,例5（续）,积分得,又由 ，得,于是,特解为,即,2、求方程 满足初始条件 的特解。,习题,习题,1、求下列微分方程的通解：,习题解答1（1）,习题解答：,解：,习题解答1（2）,解：令,，则,，原方程变为,分离变量,两边积分，
11、得,即,再一次积分，得原方程的通解为,习题解答1（3）,解：令,，原方程变为,，则,即,两边积分，得原方程的通解为,习题解答1（4）,解：令,，则,，原方程变为,当 时，约去 p，得,分离变量,两边积分，得,即,习题解答1（4）（续）,分离变量,两边积分，得,即,（其中，c1，c2为任意常数）,当 时，有,，这个解已包含在解,之中（令 即得），故上式就是所给方程的通解。,2、求方程 满足初始条件 的特解。,习题解答2,解：令,，则,，原方程变为,积分得,由 ，得,所以,即,积分得,（由初始条件，负值舍去）,又由 ，得,于是,特解为,习题解答2（续）,第四节 二阶常系数线性微分方程,形如,( p
12、、q 均为常数 ),的方程称为二阶常系数线性微分方程，,函数,称为自由项。,， 方程 成为,称为二阶常系数线性齐次微分方程；,， 方程 称为 二 阶 常系 数线性 非 齐次微分方,程，,并称方程 为对应于线性非齐次方程 的线性齐次方程。,一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解结构, 二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构,先讨论二阶常系数线性齐次微分方程,定理 1：如果函数 y1 、 y2 是方程 的两个解，那么,也是方程 的解，其中 C 1 、C 2 是任意常数。,定理 2：如果函数 y1 、 y2 是方程 的两个线性无关的特解，,，那么,就是方程 的通解。, 二阶常系数线性非齐次微
13、分方程解的结构,定理 3：如果函数 y * 是二 阶常系 数 线性 非 齐次 微分方程 ,的一个特解，Y 是方程 所对应的齐次方程 的通解，那么,是二阶常系数线性非齐次微分方程 的通解。,定理 4（叠加原理）：如果函数 y1 、 y2 分别是方程,的特解，那么,就是方程 的,特解。,注：以上结论，对于二阶非常系数线性微分方程,也是成立的。,说明,所以，它的解函数 y 与它的导数 ， 必须是同一类函数,二、二阶常系数线性微分方程的解法, 二阶常系数线性齐次微分方程的解法,先讨论二阶常系数线性齐次微分方程,由上节的讨论可知，要找方程的通解，只要先找出它的两,个线性无关的特解 、,，即可得方程 的通
14、解,如何寻找方程 的特解呢？,由于方程 中的 p 、q 都是常,数，,的不同常数倍，这样的函数代入方程 后， 才有 可能 使方 程 ,成为恒等式。,相差一个常数因子，所以，适当地选取常数 r，有可能使,我们想到了指数函数,二阶常系数线性齐次微分方程,，由于它与它的各阶导数都只,满足方程 。,将 对 x 求一阶及二阶导数，得到,将 y ， 和 代入方程 ，得,约去 ，得,以指数函数试解,由此可见，只要 r 满足方程 ，函数 就是微分方程,于是微分方程 的求解问题，就转化为求代数方程 ,二阶常系数线性齐次微分方程, 的解。,的根的问题，,代数方程 称为微分方程 的特征方程。,特征方程 是一个一元二
15、次的代数方程，它的两个根（简称,特征根）可以用下面的公式求出：,特征方程,二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程, 当 时，特征方程 有两个不相等的实根 ，,，此时方程 有两个特解 与,因为,即 、 线性无关，,因此方程 的通解为,特征方程根的判别式情况：,二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程, 当 时，特征方程 有两个相等的实根：,这时只得到方程 的一个特解,，还需要找一个与 线,性无关的解,设,（不是常数）,，其中 为待定函数，,则,二阶常系数线性齐次微分方程,因为,将 ， 和 代入方程 ，得,即,续,二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程,因为 r 是特征方程的重根，故 ，,于是得,，取满足
16、该方程最简单的不为常数的函数,从而 是方程 的一个与 线性无关的解。,所,以方程 的通解为,续,二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程, 当 时，特征方程 有一对共轭复根,其中,， 这时方程 有两个复数解,在实际问题中，常用的是实数形式的解，,应用欧拉公式,二阶常系数线性齐次微分方程,得,于是有,由上节定理 1 知，函数 与 均为方程 的,解，,且它们线性无关，,因此方程 的通解为,续,综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程,的通解步骤如下：, 求出特征方程的两个根 r1，r2；, 根据两个根的不同情况，按下表写出微分方程 的通解：, 写出微分方程 的特征方程,解题步骤,例1 求微分方程 的通解
17、。,解：特征方程为,，有两个不相等的实根,故得原方程的通解为,例1,例2 求微分方程 满足初始条件,解：特征方程为,，有两个相等的实根,故方程的通解为,的特解。,代入初始条件,，求得,所以原方程满足初始条件的特解为,例2,例3 求微分方程 的通解。,解：特征方程为,，有一对共轭复根,故原方程的通解为,例3,练习：求下列微分方程的通解,答案：,练习及答案, 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,由上节中定理 3 可知，线性非齐次方程 的通解 y 等于它的,一个特解 y * 与它所对应的线性齐次方程,的通解 Y 的和，即,方程 的通解 Y 的 求法前面已讨论 过， 因此， 现 在 只需解,决如何求线
18、性非齐次方程 的一个特解 y * ., 型,其中,是 x 的 m 次多项式，,为常数。,则方程 的特解可设为,其中,是与 同次 的待定多项式，,（ m 次）,k 的取法为,例1：求方程 的一个特解。,解：,是 型，其中,对应齐次方程的特征方程为,由于 是特征方程的单根，所以，应取,，而,是一次多项式，,将 ， 代入所给方程，得,例1,故应设特解为,比较两边 x 同次幂的系数，得,由此求得,于是，所求方程的一个特解为,例1（续）,例 2：求方程 的通解。,解：原方程对应的齐次方程为,特征方程为,， 特征根,所以，对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,因,例2,将 ， ， 代入原方程并整理，得
19、,比较两端 x 同次幂的系数，得,于是,所以，方程的通解为,例2（续）, 型,其中 ，A ，B 是实常数，且 0 ，A 与 B 不同时为零。,则方程 的特解可设为,其中 a ，b 为待定系数，,k 的取法规则是：,例3：求微分方程 的通解。,解：所给方程对应的齐次方程为,，其特征方程为,特征根为,，因此，所给方程对应的齐次方程的通解为,所给方程右端,属于,型,这里，,不是特,征根，,应取,，故可设所给方程的一个特解为,例3,由于,其中 a ，b 为待定系数。,对 y * 求一阶导数及二阶导数，得,比较上式两边同类项的系数，得,故所给方程,的一个特解为,例3（续1）,因此，所求方程的通解为,例3
20、（续2）,例4：求微分方程 的通解。,例4,解：方程变形为,方程对应的齐次方程为,，其特征方程为,特征根为,，因此，方程对应的齐次方程的通解为,设方程 ， 的特解分别为 ，,用观察法可知方程 的特解,，由于 不是特征根，故,对方程,其中 a ，b 为待定系数。,对 求一阶导数及二阶导数，得,例4（续1）,比较上式两边同类项的系数，得,故方程 的一个特解为,于是，原方程的特解,通解为,例4（续2）,习题,习题：求下列微分方程的通解,解：原方程对应的齐次方程为,特征方程为,， 特征根,所以，对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,因为,习题解答（1）,将 ， ， 代入原方程并整理，得,比较两端
21、x 同次幂的系数，得,于是,所以，方程的通解为,（1）（续）,解：原方程对应的齐次方程为,特征方程为,， 特征根,所以，对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,因为,（2）,将 ， 代入原方程并整理，得,所以，,于是，,所以，方程的通解为,（2）（续）,解：原方程对应的齐次方程为,特征方程为,， 特征根,所以，对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,因为,（3）,将 ， 代入原方程并整理，得,比较两边同类项的系数，得,于是，,所以，方程的通解为,（3）（续）,例4：设函数,可微，且,，又对右半平面,内任意,闭曲线 C，有, 求, 计算,，其中 L 是从,到,的一段弧.,解： 依题意，有,，即,由,，得,，从而求得, 如图，有,x,0,y,.,.,L1,L2,例（函授）,
