1、1 专项限时集训(四) 解析几何中的范围、定值和探索性问题 (对应学生用书第119页) (限时：60分钟) 1(本小题满分14分)(2017盐城市滨海县八滩中学二模)如图4，点A(1， )为椭圆 3 1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点 x2 2 y2 n 图4 (1)求椭圆方程； (2)若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求ABC面积的最大值， 并求出此时直线BC的方程 解 (1)把点A(1， )代入 1得n6， 3 x2 2 y2 n 故椭圆方程为 1. 4分 y2 6 x2 2 (2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直， 因此其斜率必存在，设AB
2、，AC的斜率分别为k 1 、k 2 ， 由Error!得点B的横坐标为x1 ， 62 3k1 k2 13 点B的纵坐标为y ， 3 2 3k2 16k1 k2 13 即B . ( 1 62 3k1 k2 13 ， 3 2 3k2 16k1 k2 13 ) 同理可得点C的坐标为C ， ( 1 62 3k2 k2 23 ， 3 2 3k2 26k2 k2 23 ) k 1 k 2 0，直线BC的斜率为k BC . 3 设直线BC的方程为y xm，代入方程 1得6x 2 2 mxm 2 60， 3 x2 2 y2 6 32 x B x C m，x B x C ，|BC| |x B x C |2 ，
3、3 3 m26 6 13 1 3 m2 2m26 3 10分 |BC| ， 2 3 3 12m2 又点A到直线BC的距离为d ， |m| 2 S |BC|d ， 1 2 3 6 m212m2 3 6 m26236 当m 2 6，即m 时，ABC面积取得最大值为 . 6 3 此时，直线BC的方程为y x . 14分 3 6 2(本小题满分14分)(2017江苏省宿迁市三模)如图5，在平面直角坐标系xOy中，已 知椭圆C： 1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于 x2 4 y2 3 P，Q两点(点P在x轴上方) 图5 (1)若QF2FP，求直线l的方程； (2)设直线AP，BQ
4、的斜率分别为k 1 ，k 2 ，是否存在常数，使得k 1 k 2 ？若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：56394100】 解 (1)因为a 2 4，b 2 3，所以c 1， a2b2 所以F的坐标为(1,0)， 设P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )，直线l的方程为xmy1， 代入椭圆方程 1，得(43m 2 )y 2 6my90， x2 4 y2 3 则y 1 ，y 2 . 3m6 1m2 43m2 3m6 1m2 43m2 若QF2FP，即 2 ， QF FP 则 2 0， 3m6 1m2 43m2 3m6 1m2 43m23 解得m ， 2 5 5 故直
5、线l的方程为 x2y 0. 6分 5 5 (2)由(1)知，y 1 y 2 ，y 1 y 2 ， 6m 43m2 9 43m2 所以my 1 y 2 (y 1 y 2 )， 9m 43m2 3 2 由A(2,0)，B(2,0)，P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )，x 1 my 1 1，x 2 my 2 1， 所以 ， k1 k2 y1 2x1 x22 y2 y1my21 y2my13 3 2 y1y2y1 3 2 y1y23y2 1 3 故存在常数 ，使得k 1 k 2 . 14分 1 3 1 3 3(本小题满分16分)如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x 0 ，y 0
6、 )是椭圆C： x2 24 1上的一点，从原点O向圆R：(xx 0 ) 2 (yy 0 ) 2 8作两条切线，分别交椭圆于 y2 12 点P，Q. 图6 (1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； (2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k 1 ，k 2 ，求k 1 k 2 的值. 【导学号：56394101】 解 (1)连接OR(图略)设圆R的半径为r，由圆R的方程知r2 ，因为直线 2 OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR| r4，即x y 16. 2 2 0 2 0 又点R在椭圆C上，所以 1， x2 0 24 y2 0 12 联立，解得Error! 所以圆
7、R的方程为(x2 ) 2 (y2 ) 2 8. 6分 2 2 (2)因为直线OP：yk 1 x和OQ：yk 2 x都与圆R相切，所以 2 ， |k1x0y0| 1k2 1 2 2 ， |k2x0y0| 1k2 2 24 化简得(x 8)k 2x 0 y 0 k 1 y 80，(x 8)k 2x 0 y 0 k 2 y 80. 2 0 2 1 2 0 2 0 2 2 2 0 所以k 1 ，k 2 是方程(x 8)k 2 2x 0 y 0 ky 80的两个不相等的实数根，由根与系 2 0 2 0 数的关系，得k 1 k 2 ， y2 08 x2 08 因为点R(x 0 ，y 0 )在椭圆C上，所以
8、 1，即y 12 x ，所以 x2 0 24 y2 0 12 2 0 1 2 2 0 k 1 k 2 . 16分 4 1 2 x2 0 x2 08 1 2 4(本小题满分16分)已知椭圆C： 1(ab0)的离心率为 ，A(a,0)，B(0，b)， x2 a2 y2 b2 3 2 O(0,0)，OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证： |AN|BM|为定值 【解】 (1)由题意得Error!解得Error! 所以椭圆C的方程为 y 2 1. 4分 x2 4 (2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1) 设P
9、(x 0 ，y 0 )，则x 4y 4. 2 0 2 0 当x 0 0时， 直线PA的方程为y (x2) y0 x02 令x0，得y M ， 2y0 x02 从而|BM|1y M | . | 1 2y0 x02 | 直线PB的方程为y x1. y01 x0 令y0，得x N ， x0 y01 从而|AN|2x N | . 10分 | 2 x0 y01 | 所以|AN|BM| | 2 x0 y01 | | 1 2y0 x02 | | x2 04y2 04x0y04x08y04 x0y0x02y02 | | 4x0y04x08y08 x0y0x02y02 |5 4. 当x 0 0时，y 0 1，|BM|2，|AN|2， 所以|AN|BM|4. 综上，|AN|BM|为定值. 16分
