微分中值定理历史与发展.pdf

1、数 学 史 话微 分 中 值 定 理 历 史 与 发 展 3 33卢 玉 峰 (大 连 理 工 大 学 应 用 数 学 系 辽 宁 大 连 116024)摘 要 本 文 简 述 了 罗 尔 微 分 中 值 定 理 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 和 柯 西 中 值 定 理 产 生 的 历 史 背 景 ;详 细 总 结 了 这些 中 值 定 理 在 各 种 情 形 下 的 推 广 和 进 一 步 发 展关 键 词 罗 尔 中 值 定 理 ;拉 格 朗 日 中 值 定 理 ;柯 西 中 值 定 理 中 图 分 类 号 O17211微 分 中 值 定 理 是 微 分 学 的 基 本 定 理 之

2、一 ,研 究 函 数 的 有 力 工 具 . 微 分 中 值 定 理 有 着 明 显 的 几 何意 义 和 运 动 学 意 义 . 以 拉 格 朗 日 (Lagrange) 微 分 中 值 定 理 为 例 ,它 的 几 何 意 义 :一 个 在 a , b 上 连续 ,在 ( a , b) 内 可 微 的 曲 线 段 f ( x) ,必 有 ( a , b) ,曲 线 在 点 ( , f ( ) ) 的 切 线 平 行 于 连 接 点 ( a ,f ( a) ) 与 ( b, f ( b) ) 的 割 线 . 它 的 运 动 学 意 义 :设 f 是 质 点 的 运 动 规 律 ,则 质 点

3、在 时 间 区 间 a , b上 走过 的 路 程 为 f ( b) - f ( a) ,在 ( a , b) 上 的 平 均 速 度 为 f ( b) - f ( a)b - a ,存 在 ( a , b) 的 某 一 时 刻 ,质 点 在 的 瞬 时 速 度 恰 好 是 它 的 平 均 速 度 .人 们 对 微 分 中 值 定 理 的 认 识 可 以 上 溯 到 公 元 前 古 希 腊 时 代 . 古 希 腊 数 学 家 在 几 何 研 究 中 ,得 到如 下 结 论 :“ 过 抛 物 线 弓 形 的 顶 点 的 切 线 必 平 行 于 抛 物 线 弓 形 的 底 ” ,这 正 是 拉 格

4、 朗 日 定 理 的 特 殊 情况 . 希 腊 著 名 数 学 家 阿 基 米 德 (Archimedes) 正 是 巧 妙 地 利 用 这 一 结 论 ,求 出 抛 物 弓 形 的 面 积 .意 大 利 卡 瓦 列 里 (Cavalieri) 在 不 可 分 量 几 何 学 (1635 年 ) 的 卷 一 中 给 出 处 理 平 面 和 立 体 图形 切 线 的 有 趣 引 理 ,其 中 引 理 3 基 于 几 何 的 观 点 也 叙 述 了 同 样 一 个 事 实 :曲 线 段 上 必 有 一 点 的 切 线平 行 于 曲 线 的 弦 . 这 是 几 何 形 式 的 微 分 中 值 定 理

5、 ,被 人 们 称 为 卡 瓦 列 里 定 理 .人 们 对 微 分 中 值 定 理 的 研 究 , 从 微 积 分 建 立 之 始 就 开 始 了 . 1637 年 , 著 名 法 国 数 学 家 费 马( Fermat) 在 求 最 大 值 和 最 小 值 的 方 法 中 给 出 费 马 定 理 ,在 教 科 书 中 ,人 们 通 常 将 它 称 为 费 马 定理 . 1691 年 ,法 国 数 学 家 罗 尔 ( Rolle) 在 方 程 的 解 法 一 文 中 给 出 多 项 式 形 式 的 罗 尔 定 理 . 1797 年 ,法 国 数 学 家 拉 格 朗 日 在 解 析 函 数 论

6、 一 书 中 给 出 拉 格 朗 日 定 理 ,并 给 出 最 初 的 证 明 . 对 微 分 中 值定 理 进 行 系 统 研 究 的 是 法 国 数 学 家 柯 西 (Cauchy) ,他 是 数 学 分 析 严 格 化 运 动 的 推 动 者 ,他 的 三 部巨 著 分 析 教 程 、 无 穷 小 计 算 教 程 概 论 (1823 年 ) 、 微 分 计 算 教 程 (1829 年 ) ,以 严 格 化 为 其 主 要目 标 ,对 微 积 分 理 论 进 行 了 重 构 . 他 首 先 赋 予 中 值 定 理 以 重 要 作 用 ,使 其 成 为 微 分 学 的 核 心 定 理 . 在

7、 无 穷 小 计 算 教 程 概 论 中 ,柯 西 首 先 严 格 地 证 明 了 拉 格 朗 日 定 理 ,又 在 微 分 计 算 教 程 中 将 其 推广 为 广 义 中 值 定 理 柯 西 定 理 . 从 而 发 现 了 最 后 一 个 微 分 中 值 定 理 .11 微 分 中 值 定 理 产 生 的 历 史微 积 分 中 值 定 理 产 生 形 成 的 历 史 ,在 文 献 1 - 5 中 都 有 详 细 的 叙 述 .费 马 对 微 积 分 作 出 过 重 要 的 贡 献 . 他 在 研 究 极 大 和 极 小 问 题 的 解 法 时 ,得 到 统 一 的 解 法 “ 虚 拟等 式

8、 法 ” ,从 而 得 出 原 始 形 式 的 费 马 定 理 1 , 2 . 所 谓 的 虚 拟 等 式 法 ,用 现 代 语 言 来 说 ,对 于 函 数95Vol111 ,No15Sep . ,2008 高 等 数 学 研 究STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS333收 稿 日 期 :2007 - 12 - 24 ;修 改 日 期 :2008 - 05 - 08基 金 项 目 :教 育 部 高 等 理 工 教 育 数 学 基 础 教 学 改 革 与 实 践 项 目 :数 学 建 模 思 想 融 入 “ 微 积 分 ” 课 程 教 学 的 研 究 与 实

9、践 ,教 高司 函 (2007) 143 号f ( x) ,让 自 变 量 从 x 变 化 到 x + e ,当 f ( x) 为 极 值 时 , f ( x) 和 f ( x + e) 的 差 近 似 为 0 ,用 e除 虚 拟 等式 , f ( x + e) - f ( x)e 0 ,然 后 让 e 0 ,就 得 到 函 数 极 值 点 的 导 数 值 为 0 ,这 就 是 费 马 定 理 :函 数f ( x) 在 x = x0 处 取 极 值 ,并 且 可 导 ,则 f ( x0 ) = 0. 应 该 指 出 :费 马 给 出 以 上 结 论 ,微 积 分 还 处 于 初创 阶 段 ,并

10、 没 有 明 确 导 数 ,极 限 连 续 的 概 念 ,用 现 代 眼 光 来 看 ,其 论 断 也 是 不 严 格 的 . 现 在 看 到 的 费马 定 理 是 后 人 根 据 微 积 分 理 论 和 费 马 发 现 的 实 质 重 新 给 出 的 .罗 尔 在 1691 年 发 表 的 论 著 方 程 的 解 法 给 出 了 “ 在 多 项 式 a0 x n + a1 x n- 1 + + an- 1 x + an =0 的 两 个 相 邻 根 中 ,方 程 na0 x n- 1 + ( n - 1) a1 x n- 2 + + an- 1 = 0 至 少 有 一 个 实 根 . ” 这

11、 是 现 在 教 科书 上 罗 尔 定 理 的 特 例 . 也 就 是 以 上 定 理 被 称 为 罗 尔 定 理 的 原 因 . 最 初 罗 尔 定 理 和 现 代 罗 尔 定 理 不 仅内 容 有 所 不 同 ,而 且 证 明 也 大 相 径 庭 ,它 是 罗 尔 利 用 纯 代 数 方 法 加 以 证 明 的 ,和 微 积 分 并 没 有 什 么联 系 . 现 在 看 到 的 罗 尔 定 理 ,是 后 人 根 据 微 积 分 理 论 重 新 证 明 ,并 把 它 推 广 为 一 般 函 数 .“ 罗 尔 定 理 ”这 一 名 称 是 由 德 国 数 学 家 德 罗 比 什 (Drobis

12、ch) 在 1834 年 给 出 , 并 由 意 大 利 数 学 家 贝 拉 维 蒂 斯(Bellavitis) 在 1846 年 发 表 的 论 文 中 正 式 使 用 的 .拉 格 朗 日 定 理 是 微 分 中 值 定 理 中 最 主 要 的 定 理 . 它 是 指 :“ f ( x) 在 a , b 上 连 续 ,在 ( a , b) 上 可导 ,则 存 在 一 点 ( a , b) ,使 f ( b) - f ( a)b - a = f ( ) . ” 这 一 定 理 是 拉 格 朗 日 在 解 析 函 数 论 一 书 中首 先 给 出 的 ,它 最 初 形 式 为 :“ 函 数 f

13、 ( x) 在 x0 和 x 之 间 连 续 , f ( x) 的 最 大 值 为 A ,最 小 值 为 B ,则f ( x) - f ( x0 )x - x0 必 取 A , B 之 间 一 个 值 . ”历 史 上 拉 格 朗 日 定 理 证 明 有 三 个 ,最 初 的 证 明 是 拉 格 朗 日 在 解 析 函 数 论 中 给 出 的 . 这 个 证明 很 大 程 度 建 立 在 直 观 基 础 上 ,并 不 是 严 格 的 . 它 依 赖 于 这 样 一 个 事 实 :当 f ( z) 0 , f ( z) 在 a ,b 上 单 调 增 加 . 所 用 的 条 件 也 比 现 在 强

14、 ,现 代 中 值 定 理 只 须 f ( x) 在 ( a , b) 上 可 导 ,而 拉 格 朗 日 最 初的 中 值 定 理 ,却 需 f ( x) 在 a , b 上 可 导 ,并 存 在 连 续 导 数 . 并 且 所 用 连 续 概 念 ,也 是 直 观 的 ,“ 假 设变 量 连 续 地 变 化 ,那 么 函 数 将 会 产 生 相 应 变 化 ,但 是 如 果 不 经 过 一 切 中 间 值 ,它 就 不 会 从 一 个 值 过渡 到 另 一 个 值 . ” 十 九 世 纪 初 ,在 以 柯 西 等 为 代 表 的 微 积 分 严 格 化 运 动 中 ,人 们 给 出 了 极

15、限 ,连 续 ,导 数 的 严 格 定 义 ,也 给 拉 格 朗 日 中 值 定 理 以 新 的 严 格 证 明 ,柯 西 在 无 穷 小 计 算 概 论 中 证 明 了 :如果 f ( x) 在 a , b 为 连 续 ,则 必 有 一 个 a , b ,使 f ( ) = f ( b) - f ( a)b - a . 现 代 形 式 的 拉 格 朗 日 定理 ,是 由 法 国 数 学 家 博 ( O. Bonnet) 在 其 著 作 Cours de Calcul Differentiel et integral 中 给 出 的 ,他不 是 利 用 f ( x) 的 连 续 性 ,而 是

16、罗 尔 定 理 对 拉 格 朗 日 定 理 加 以 重 新 证 明 .柯 西 定 理 被 认 为 是 拉 格 朗 日 定 理 的 推 广 . 它 是 指 :设 f ( x) 和 F( x) 在 a , b 上 连 续 ,在 ( a , b) 上可 导 ,并 且 F ( x) 0 ,则 至 少 存 在 一 点 ( a , b) ,使f ( b) - f ( a)F( b) - F( a) =f ( )F ( )柯 西 在 微 分 计 算 教 程 中 给 出 最 初 的 柯 西 定 理 : f ( x) 和 F( x) 在 a , b 上 有 连 续 的 导 数 ,并 且F ( x) 在 a ,

17、b 上 不 为 零 ,这 时 对 于 某 一 点 a , b ,有f ( b) - f ( a)F( b) - F( a) =f ( )F ( ) .柯 西 的 证 明 与 拉 格 朗 日 对 拉 格 朗 日 中 值 定 理 很 相 似 .微 分 中 值 定 理 在 柯 西 的 微 积 分 理 论 系 统 中 占 有 重 要 的 地 位 . 例 如 他 利 用 微 分 中 值 定 理 给 洛 必达 法 则 以 严 格 的 证 明 ,并 研 究 泰 勒 公 式 的 余 项 . 从 柯 西 起 ,微 分 中 值 定 理 就 成 为 研 究 函 数 的 重 要 工06 高 等 数 学 研 究 200

18、8 年 9 月具 和 微 分 学 的 重 要 组 成 部 分 .21 拉 格 朗 日 中 值 定 理 中 点 对 函 数 的 描 述Lagrange 定 理 只 断 言 的 存 在 性 ,至 少 有 一 个 ,但 可 能 不 止 一 个 ,除 了 对 一 些 比 较 简 单 的 函 数 ,无 法 指 明 这 种 点 的 确 切 位 置 . 但 我 们 有 下 面 的 结 论 :如 果 f ( x) 在 ( - , + ) 上 二 次 可 导 ,则 f ( x) 是 形 如 ax 2 + bx + c的 二 次 多 项 式 当 且 仅 当 对任 意 x , y ,满 足 方 程 f ( x) -

19、 f ( y) = f ( ) ( x - y) 的 点 = x + y2 .证 明 直 接 计 算 知 道 ,如 果 f ( x) = ax 2 + bx + c ,则 任 意 x , y ,成 立f ( x) - f ( y) = f x + y2 ( x - y)反 之 ,如 果 对 任 意 x , y ,成 立 f ( x) - f ( y) = f x + y2 ( x - y) . 则 对 任 意 x , hf ( x + h) = f ( x) + hf x + h2 (1)在 上 式 中 对 h 微 分 ,得f ( x + h) = f x + h2 + h2 f x + h2

20、 (2)在 等 式 (2) 中 令 x = - h2 ,得 f h2 = h2 f (0) + f (0) . 在 等 式 (1) 中 令 x = 0 ,得f ( h) = f (0) + hf h2因 此 ,对 任 意 h ( - , ) ,f ( h) = h22 f (0) + hf (0) + f (0)记 a = f (0)2 , b = f (0) , c = f (0) ,即 得 : f ( x) = ax 2 + bx + c.31 拉 格 朗 日 中 值 定 理 和 柯 西 中 值 定 理 的 统 一 形 式拉 格 朗 日 中 值 定 理 和 柯 西 中 值 定 理 可 以

21、看 成 下 列 中 值 定 理 的 特 例 :设 f , g在 区 间 a , b上 连 续 ,在 ( a , b) 内 可 导 ,并 且 g ( a) = 1 , g ( b) = 0 ,则 存 在 一 点 ( a , b) ,使 得 f ( ) = g ( ) ( f ( a) - f ( b) ) .引 入 函 数 F( x) = f ( x) - ( g ( x) f ( a) + (1 - g ( x) ) f ( b) ) ,则 F( a) = F( b) = 0 ,对 F利 用 罗尔 定 理 ,即 得 结 论 .若 取 g ( x) = b - xb - a , x a , b

22、,则 可 得 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ;设 f ( x) 和 F( x) 在 a , b 上 连 续 ,在 ( a , b) 上 可 导 ,并 且 F ( x) 0 ,取 g ( x) = F( b) - F( x)F( b) - F( a) ,x a , b ,对 f , g 应 用 上 述 结 果 ,可 得 柯 西 中 值 定 理 .41 微 分 中 值 定 理 与 积 分 中 值 定 理我 们 熟 知 积 分 学 中 的 积 分 中 值 定 理 :设 f 在 区 间 a , b 上 连 续 ,则 存 ( a , b) ,使 得 baf ( x) d x= ( b - a) f (

23、 ) . 这 个 定 理 的 几 何 意 义 是 由 曲 线 y = f ( x) 在 区 间 a , b 上 覆 盖 的 曲 边 梯 形 的 面 积 等于 以 b - a及 f ( ) 为 边 长 的 长 方 形 面 积 . 如 果 我 们 令 F( x) =xaf ( t) dt ,积 分 中 值 定 理 变 为 : F( b) -16第 11 卷 第 5 期 卢 玉 峰 :微 分 中 值 定 理 历 史 与 发 展F( a) = ( b - a) F ( ) . 由 此 看 出 ,积 分 中 值 定 理 与 微 分 中 值 定 理 实 际 上 说 的 同 一 件 事 ,只 是 一 个 用

24、微 分 形 式 ,一 个 用 积 分 形 式 来 表 达 而 已 .51 复 值 函 数 微 分 中 定 理 的 探 讨微 分 中 值 定 理 不 能 推 广 到 复 变 函 数 上 . 例 如 :设 f ( z) = z3 + 1 , a = - 1 + 32 i , b = - 1 - 32 i ,则 对 于 连 接 a , b线 段 内 任 意 一 点 都 不 能 满 足方 程 f ( b) - f ( a) = f ( ) ( b - a) .因 为 通 过 计 算 容 易 知 道 , a2 + ab + b2 = 94 ,但 f ( z) = 3 z2 ,所 以 对 于 连 接 a

25、, b线 段 内 任 意 一 点 ,不 成 立 3 2 = 94 .61 微 分 中 值 定 理 在 无 穷 区 间 上 的 推 广微 分 中 值 定 理 可 以 推 广 到 无 穷 维 的 区 间 上 . 罗 尔 定 理 推 广 到 无 穷 维 空 间 上 有 下 列 结 果 :设 函 数 f ( x) 在 有 穷 或 无 穷 区 间 ( a , b) 内 可 微 , 而 且 存 在 极 限 (有 穷 或 无 穷 ) limx a+f ( x) =limx b-f ( x) ,则 存 在 一 点 ( a , b) 使 得 f ( ) = 0.证 明 假 定 limx a+f ( x) = l

26、imx b-f ( x) = c. 若 区 间 ( a , b) 为 有 限 区 间 , 定 义 函 数 F( x) =f ( x) , x ( a , b)c , x = a , b ,对 F应 用 罗 尔 定 理 即 可 .若 区 间 ( a , b) 为 无 限 区 间 ,对 P 0 ,直 线 y = c + 或 y = c - 与 曲 线 y = f ( x) 至 少 应 有两 个 交 点 ,设 其 交 点 的 横 轴 坐 标 为 c1 , c2 ,在 c1 , c2 上 应 用 罗 尔 定 理 即 可 .假 定 limx a+f ( x) = limx b-f ( x) = ,无 论

27、 区 间 ( a , b) 为 有 限 或 无 限 ,存 在 A 0 ,使 得 方 程 f ( x) =A 或 f ( x) = - A 总 有 两 个 不 同 的 根 c1 , c2 ,在 c1 , c2 上 应 用 罗 尔 定 理 即 可 .利 用 这 个 推 广 的 罗 尔 定 理 可 以 将 柯 西 微 分 中 值 定 理 推 广 到 无 穷 维 空 间 ,有 下 列 结 果 :设 函 数 f ( x) , g ( x) 在 有 穷 或 无 穷 区 间 ( a , b) 内 可 微 ,且f ( a + 0) , f ( b - 0) , g ( a + 0) , f ( b - 0)皆

28、 存 在 ,而 且 g ( x) 0 , x ( a , b) ,则 存 在 一 点 ( a , b) 使 得f ( b - 0) - f ( a + 0)g ( b - 0) - g ( a + 0) =f ( )g ( )证 明 由 上 述 推 广 的 罗 尔 定 理 , g ( b - 0) g ( a + 0) . 定 义F( x) = f ( x) - f ( b - 0) - f ( a + 0)g ( b - 0) - g ( a + 0) ( g ( x) - g ( a + 0) )于 是 F( x) 在 ( a , b) 内 可 微 ,并 且 F( a + 0) = F(

29、b - 0) = f ( a + 0) ,由 上 述 推 广 的 罗 尔 定 理 ,存 在 一点 ( a , b) ,使 得 F ( ) = 0 ,即f ( b - 0) - f ( a + 0)g ( b - 0) - g ( a + 0) =f ( )g ( )71 多 元 函 数 的 微 分 中 值 定 理一 元 函 数 的 微 分 中 值 定 理 容 易 推 广 到 多 元 函 数 上 去 ,得 到 下 列 多 元 函 数 的 微 分 中 值 定 理 :如 果 n元 函 数 f ( x1 , x2 , , x n) 在 ( a1 , a2 , , an) 的 邻 域 G内 有 一 阶

30、连 续 偏 导 数 ,则 对 G内 任 意一 点 ( b1 , b2 , , bn) ,存 在 ,0 1 ,使 得26 高 等 数 学 研 究 2008 年 9 月f ( b1 , b2 , , bn) - f ( a1 , a2 , , an) = ni = 19f9x i ( a + ( b - a) ) ( bi - ai )证 明 记 F( t) = f ( a1 + t ( b1 - a1 ) , , an + t ( bn - an) ) = f ( a + t ( b - a) ) ,则 F在 0 ,1 上有 连 续 的 导 数 ,并 且 F ( t) = ni = 19f9x

31、i ( a + t ( b - a) ) ( bi - ai ) . 对 F在 区 间 0 ,1 上 应 用 Lagrange 中值 定 理 即 得 上 述 结 论 .81 赋 范 线 性 空 间 上 函 数 的 微 分 中 值 定 理设 X , Y 是 实 的 赋 范 线 性 空 间 , 为 X 中 的 开 集 . f Y , x0 . 如 果 存 在 X 到 Y 的 有 界 线性 算 子 A ( x0 ) 使 得 limu 0 f ( x0 + u) - f ( x0 ) - A ( x0 ) u u = 0 , 称 f 在 x 0 处 可 导 , A ( x0 ) 称 为f ( x) 在

32、 x0 的 导 数 ,记 为 f ( x0 ) = A ( x0 ) . 如 果 f 在 的 每 一 点 都 可 导 ,称 f 在 上 可 导 .在 赋 范 线 性 空 间 上 有 下 列 的 微 分 中 值 定 理 :设 X 是 赋 范 线 性 空 间 , R 是 实 数 集 合 , a , b X , f X R 是 X 上 实 值 函 数 .如 果 f 在 连 接 a , b的 线 段 上 可 导 ,则 存 在 0 1 ,f ( b) - f ( a) = f ( a + ( b - a) ) ( b - a)证 明 记 F( t) = f ( a + t ( b - a) ) ,由 于

33、F( t + h) - F( t)h - f ( a + t ( b - a) ) ( b - a)= f ( a + t ( b - a) + h( b - a) ) - f ( a + t ( b - a) ) - f ( a + t ( b - a) ) ( h( b - a) )h( b - a) ( b - a) 0 ( h 0)我 们 得 到 F在 区 间 0 ,1 上 是 可 微 的 实 函 数 ,并 且 F ( t) = f ( a + t ( b - a) ) ( b - a) . 对 F在 区 间 0 ,1 上 应 用 Lagrange 中 值 定 理 即 得 上 述 结

34、论 .人 们 对 微 分 中 值 定 理 的 研 究 ,大 约 经 历 了 二 百 多 年 的 时 间 . 从 费 马 定 理 开 始 ,经 历 了 从 特 殊 到一 般 ,从 直 观 到 抽 象 ,从 强 条 件 到 弱 条 件 的 发 展 阶 段 . 人 们 正 是 在 这 一 发 展 的 过 程 中 ,逐 渐 认 识 到 微分 中 值 定 理 的 普 遍 性 . 微 分 中 值 定 理 的 形 成 历 史 和 发 展 过 程 深 刻 的 揭 示 了 数 学 发 展 是 一 个 推 陈 出新 ,吐 故 纳 新 的 过 程 ,是 一 些 新 的 有 力 工 具 和 更 简 单 方 法 的 发

35、 现 与 一 些 陈 旧 的 、 复 杂 的 东 西 被 抛 弃的 过 程 ,是 一 个 由 低 级 向 高 级 发 展 过 程 ,是 分 析 、 代 数 和 几 何 统 一 的 过 程 . 正 像 龚 昇 先 生 6 指 出的 :“ 数 学 中 每 一 步 真 正 的 发 展 都 与 更 有 力 的 工 具 和 更 简 单 的 方 法 的 发 现 密 切 联 系 着 ,这 些 工 具 和方 法 同 时 会 有 助 于 理 解 已 有 的 理 论 并 把 陈 旧 、 复 杂 的 东 西 抛 到 一 边 . 数 学 科 学 发 展 的 这 种 特 点 是 根深 蒂 固 的 . ”参 考 文 献1

36、 小 堀 宪 . 数 学 史 M . 东 京 :朝 仓 书 店 ,1956.2 梁 宗 巨 . 数 学 家 传 略 辞 典 M . 济 南 :山 东 教 育 出 版 社 ,1989.3 Edwards C H. The historical development of the of calculus M . Heidelberg2New York :Springer2Verlag ,1979.4 美 波 耶 . 微 积 分 概 念 史 M . 上 海 :上 海 人 民 出 版 社 ,1977.5 Douglas S. Bridges. Foundations of Real and Abstract Analysis , Springer2Verlag , New2York , 1998.6 龚 昇 . 微 积 分 五 讲 . 北 京 :科 学 出 版 社 ,2004.36第 11 卷 第 5 期 卢 玉 峰 :微 分 中 值 定 理 历 史 与 发 展